Chương 1 đã cung cap một số kiến thức cơ bản về xử lý ảnh, về pixel (điểm ảnh), các hệ mau Cơ sở lý thuyết 18 HVTH: Dương Tân Vũ N/C đánh giá các phép biến đôi đa tỉ lệ và ứng dụng trong xử lý ảnh GVHD: PGS. Lê Tiến Thường và các định dạng ảnh khác nhau trên máy tính. Đây là những kiến thức căn bản để bước vào bộ môn xử lý ảnh. Các phép biến đối đa tỉ lệ 1.
Biến đổi Wavelets.1 Biến đối Wavelets liên tục (CWT) Biến đổi Wavelets liên tục (Continuous Wavelets Transform - CWT) của một hàm f(t) được bat đầu từ một hàm Wavelets mẹ (mother Wavelet) (t). Ham Wavelets mẹ y (t ) có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục nào thoả mãn các tính chất sau đây: Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàmy (t ) là bang 0.7) Tích phân năng lượng của ham trên toàn bộ trục t là một số hữu hạn, tức là: I Di dt <œ (18) Điều kiện (1.8) có nghĩa là hàm yw (t ) phải là một hàm bình phương khả tích nghĩa là ham ự (t) thuộc không gian LỄ (R) các hàm bình phương khả tích. Sau khi ham Wavelets w (t ) được lựa chon, biến đổi Wavelets liên tục của một hàm bình phương khả tích f (t ) được tính theo công thức: Woa.9) {4| Biến đổi này là một hàm của hai tham số thực a và b. Dau * ký hiệu là liên hiệp phức của y (t).
Nếu chúng ta định nghĩa một hàm y, ,(t) theo biểu thức: Vat) = "(, (1.10) | A2 chúng ta có thể viết được: W(a.11) Theo toán học ta gọi đây là tích vô hướng cua hai hamf (t) va ⁄„„(). Cơ sở lý thuyết 19 HVTH: Dương Tân Vũ N/C đánh giá các phép biến đôi đa tỉ lệ và ứng dụng trong xử lý ảnh GVHD: PGS. Lê Tiến Thường +7 h | ` nA A z A 2 2 ~ h A ~ + ` ~ Gia tri Ja là hệ sô chuân hoa đê dam bảo rang tích phân năng lượng của ham +⁄„, (7) sẽ a độc lập với a vab: +00 [Ivan œ =Í luœ)Ÿ & (1.12) —œ —œ Với mỗi giá tri của a thì y, ,(¢) là một ban sao của 1⁄4„(7) được dịch di b đơn vị trên trục thời gian. Do đó b được gọi là tham số dịch.
Đặt tham số dịch b = 0 ta thu được: Volt) = TU) (1.13) la] x2 điều đó cho thấy rang a là tham số tỷ lệ. Khi a >I thì ham Wavelets sẽ được trải rộng còn khi 0 < a <[ thì ham sẽ được co lại. Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa phép biến đổi ngược của biến đổi Wavelets liên tục.15) tid với giá tri của C được định nghĩa là: ————-dlœ (1.16) Biến đổi CWT chỉ tồn tại nêu C dương và hữu hạn. Do đó C được gọi là điều kiện tổn tại của biến đổi Wavelets.
Cùng với hai điều kiện đã nêu ở trên, đây là điều kiện thứ 3 mà một hàm cần phải thoả mãn để có thể được lựa chọn làm hàm Wavelets.Chúng ta có thể xem biến đổi CWT như là một ma trận hai chiều các kết quả của phép tính tích vô hướng giữa hai ham f (t ) và yw, ,(t). Các hang cua ma trận tương ứng với các giá tri của a và các cột tương ứng với các giá trị của b do cách tính biến đổi Wavelets theo tích vô hướng đã trình Cơ sở lý thuyết 20 HVTH: Dương Tân Vũ N/C đánh giá các phép biến đôi đa tỉ lệ và ứng dụng trong xử lý ảnh GVHD: PGS. Lê Tiến Thường bày ở trên: (70).2 Biến đôi Wavelets rời rạc (DWT) Việc tính toán các hệ số Wavelets tại tất cả các tỉ lệ là một công việc hết sức phức tạp. Nếu tính toán như vậy sẽ tạo ra một lượng dữ liệu không 16.
Dé giam thiéu cong viéc tinh toan người ta chỉ chon ra một tập nhỏ các giá tri tỉ lệ và các vi trí dé tiễn hành tính toán. Hon nữa nếu việc tính toán được tiễn hành tại các tỷ lệ và các vi trí trên cơ sở luỹ thừa co số 2 thì kết quả thu được sẽ hiệu quả và chính xác hơn rat nhiều. Quá trình chọn các tỷ lệ và các vị trí để tính toán như trên tạo thành lưới nhị tố (dyadic). Một phân tích như trên hoàn toàn có thé thực hiện được nhờ biến đổi Wavelets rời rac (DWT).
Do đó, việc tính toán biến đổi DWT thực chất là sự rời rac hoá biến đổi Wavelets liên tục (CWT); việc rời rac hoá được thực hiện với sự lựa chọn các hệ số a và b như sau: a=2";b=2"n; (m,n € Z) (1.18) Tiép cận toán hoc cho DWT duoc dựa trên sự thật rằng hàm f(t) có thé được trình bày một cách tuyến tính là: ƒ0@)=>_a,„Œ) (1.19) Trong đó ax là hệ số phân tích và y, là các hàm phân tích, còn được gọi là các hàm cơ sở, nếu phép phân tích là duy nhất. Nếu các hàm cơ sở là trực giao, thì các hệ số có thể được ước lượng từ phương trình sau: a, =(ƒ0).20) Trong đó f(t) được cho từ công thức dau tiên ở trên. Vi dụ, các hàm phân tích trực giao cho biến đổi Fourier là sin(kwot) và cos(kWot).3 Các tính chất của hàm wavelet Tat cả chúng ta đều biết rằng biến đổi Fourier là một biến đổi đã và đang được áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác nhau. Biến đổi Fourier chuyên một hàm tin hiệu từ miễn thời gian sang miễn tần số.
Sử dụng biến đổi Fourier ta có thể biết được trong tín hiệu f (t ) có các thành phan tần số nào. Tuy nhiên biến đổi Fourier có một nhược điểm Cơ sở lý thuyết 21 HVTH: Dương Tân Vũ N/C đánh giá các phép biến đôi đa tỉ lệ và ứng dụng trong xử lý ảnh GVHD: PGS. Lê Tiến Thường cơ bản là với một tín hiệu f (t ) ta không thé biết được rằng tại một thời điểmt thì tín hiệu có các thành phan tan số nào. Một phép biến đổi tốt hơn biến đổi Fourier phải là phép biến đổi có day du tinh nang cua biến đổi Fourier va có khả năng xác định xem tại một thời điểm t bat kỳ trong tín hiệu f(t ) có thành phan tan số nào.
Phép biến đổi Wavelets ra đời đã khắc phục được các nhược điểm của biến đổi Fourier trong phân tích tín hiệu. Biến đôi Wavelets dù chỉ làm việc với các tín hiệu một chiều (liên tục hoặc rời rạc) nhưng sau khi biến đổi xong ta thu được một hàm số hai bién hoặc một tập các cặp giá trị W(a,b) minh họa các thành phan tan số khác nhau của tín hiệu xảy ra tại thời điểm t. Các giá tri W(a;,b) tạo thành một cột G=1, 2., n) cho biết một thành phân tần số có trong những thời điểm t nào và các giá trị W(a¡,b) tạo thành hàng cho biết tại một thời điểm t của tín hiệu f(t ) có các thành phần tân sô nào.Ẽš m=-1i se se se se se se se e m=0 Shift n m=1e fo] ° m=2e ° Hình 7. Minh họa lưới dyadic với các giá tri cuam van Được nghiên cứu từ trước những năm 80 của thé kỷ trước và cũng đã được ứng dung trong một số ngành khoa học và công nghệ khác nhau nhưng biến đổi Wavelets vẫn là một lĩnh vực đang và sẽ tiếp tục được nghiên cứu và phát triển cũng như ứng dụng rộng rãi hơn nữa.
Tham số b trong biến đổi Wavelets cho biết khoảng dịch của hàm Wavelets mẹ và độ phân giải các tần số khác nhau của f(t ) được minh họa bởi hệ số tỷ lệ chính là a. Biến đổi Wavelets ngày càng được áp dụng rộng rãi đặc biệt là trong xử lý tiếng nói, xử lý ảnh số. Tín hiệu tiếng nói là tín hiệu một chiều nhưng do đặc điểm của tiếng nói là tín hiệu không dừng nên việc sử dung Fourier là không đủ dé phân tích một cách đầy đủ các đặc trưng của tiếng nói. Khác với tín hiệu tiếng nói, xử lý tín hiệu ảnh số là xử lý tín hiệu hai chiều và do đặc điểm của ảnh số là bao giờ cũng có tính định hướng và tính định vị.
Tính định hướng của một ảnh nghĩa là trong ảnh bao giờ cũng có một số ít các thành phan tan số nhưng các Cơ sở lý thuyết 22 HVTH: Dương Tân Vũ N/C đánh giá các phép biến đôi đa tỉ lệ và ứng dụng trong xử lý ảnh GVHD: PGS. Lê Tiến Thường thành phan tan số này trải rộng trên toàn bộ không gian ảnh còn tính định vị của ảnh chính là tinh chất biểu thi răng tại một vùng của ảnh có thể có rất nhiều thành phan tần số. Ảnh biểu thị tính định vị rõ nhất chính là ảnh có nhiều biên vùng phân tách ro rệt, tại các đường biên bao giờ cũng có nhiều thành phan tan số khác nhau, còn hau hết các ảnh có tông liên tục déu là những ảnh có tính định hướng.4 Giới thiệu một số họ wavelet 1.1 Biến đổi wavelets Haar Biến đổi Haar Wavelets là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổi wavelets.2 cho thấy dạng của hàm y(t) với biến đổi Haar. Do tính chat đơn giản của biến đổi Haar ma nó được ứng dụng tương đối nhiều trong nén ảnh, khi áp dụng biến đổi này để nén ảnh thì thuật toán nén ảnh trên máy tính có một số điểm khác với công thức toán học của biên đôi Haar: | Hình 8.
Ham w(t) cua bién đổi Haar 1.2 Biến đổi wavelets Meyer Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến đổi Wavelets.Phép biến đổi Wavelets mang tên Meyer cũng là một phép biến đổi thông dụng, bién đổi này có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar. Dạng của ham y(t) với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ: 3§t © —¬f NAW VỤ 5 O 5 Hinh 9. Ham w(t) cua bién đổi Meyer Co sở lý thuyết 23 HVTH: Dương Tân Vũ N/C đánh giá các phép biến đôi đa tỉ lệ và ứng dụng trong xử lý ảnh GVHD: PGS. Lê Tiến Thường 1.3 Biến đối wavelets Daubechies Giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớn trong việc nghiên cứu phát triển phép bién đổi Wavelets.Bién đổi Daubechies là một trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổi Wavelets.Họ biến đổi nay được ứng dụng hết sức rộng rãi, biển đổi Wavelets áp dung trong JPEG2000 là một biến đổi trong họ biến đổi Wavelets Daubechies.
Dưới đây là một số hàm w(t) trong họ biến đổi Wavelets Daubechies (hình 8): ;i L8 Ì ị | O.