Chương I CAC ĐỊNH NGHĨA VA TÍNH CHAT CHUAN BỊ Như đã giới thiệu, ham Green là một khái niệm xuat phat và được nghiên cửu ban dau trong R". Sau đó, ham Green được mở rộng ra cho mặt phẳng phức mớ rộng. Luận văn nay trình bày hàm Green trong mat phẳng phức mở rộng một chiều. Đó là một trong những khái niệm quan trọng trong lý thuyết thế vị phẳng.
Nó được xảy dựng dựa trên những hàm điều hòa và một số hiểu biết vẻ ly thuyết thé vị phẳng. Chính vi thế, chương | luận văn trình bày ngắn gọn những kiến thức và kết quả cơ bản của giải tích phức va lý thuyết thé vị phẳng nhằm cung cắp những vật liệu thật sự cần thiết cho chương 2 và chương 3 như: khái niệm hàm điều hòa, hàm điều hòa dưới, thế vị, năng lượng. tập cực, độ đo cân bằng, mở rộng toán tử Laplace, giới thiệu bài toán Dirichlet, tập mỏng và một số tính chất quan trọng và hữu dụng của chúng. Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1 Cho U là tập con mé của C.
Hàm £:U ->Ä được gọi là hàm điều hòa nêu f e C?(U) và Af =0 trên U. Tập hợp các ham điều hòa trên U được ký hiệu là H(U).2 Cho D là một miễn trong C, (a) Nếu / là hàm chinh hình trên D và w = Re / thì ue H(D). (b) Nếu we H(D) và D là miền đơn liên thì tổn tại hàm chỉnh hình f trên D sao cho = Re f. Hơn nữa, các hàm f như vậy chi sai khắc nhau một hang số.
Đây là kết quả chi ra mối liên hệ giữa hai lớp hàm: hàm điều hòa và hàm chỉnh hình. Kết quả này cung cắp cho chúng ta những ví đụ phong phú về các ham điều hòa. Nguyễn Văn Đông sy SVTH: Vũ Đức Sửu ee ——————~———=——=——=—=———~—==S=== .—_———————~——=—=r—=T=—=——— Như một hệ qua của Định lý 1.2 ta có Định lý giá trị trung bình cho hàm điều hòa. Khi đó: f(œ) = s„ [fos pe" xi0.
Bài toán Dirichlet trên hình tròn Định nghĩa 1.1 Cho miễn Dc Cva ø:êÐ => R là hàm liên tục. Bai toán Dirichlet yêu cầu tìm một hàm điều hoà f trên D sao cho: lim /(z) = @(œ) VweoD. eo Định ly 1.2 (Định lý duy nhất) Với các giả thiết đã cho trong định nghĩa trên, có không quá một hàm / thoả mãn bài toán Dirichlet.£) = c-z (El<1k ) z,đ)=R = Ligi=1 được gọi là nhân Poisson. (b) Nếu A = B(w, ø) và @:ôA -> R là hàm khả tích Lebesgue thi ta gọi hàm 2 @: A -> RR xác định bởi: P,ø(z)= "| z-@ ve” los pe* ao (z © A) là tich phân Poisson.
Cụ P thé hon với r <p va 0<f<2Z tacó: 1 is p-r Poo +re")=— [=P —____qw+ pe*)d0. iia? ip -2preo\O-t+re HỘP “ Định lý 1.4 Với các gia thiết nêu trong định nghĩa trên ta có: (a) P@e H(D). ee ee eo ee ee ee eee eee eee eee GVHD: TS. Nguyén Văn Đông MẸ SVTH: Va Đức Sửu (b) Nếu ø liên tục tại @, € OA thì lim P.
7", Hon nữa nếu ø liên tục trên OA thi f = Pg là nghiệm bai toán Dirichlet trên A. Ham điều hòa đương Trong phan nảy ta sẽ đưa ra một số tính chất của ham diéu hòa dương. Hàm điều hòa dương ở đây được hiểu là hàm điều hòa không am. Đầu tiên là một định lý mang tên “Bat đẳng thức Harnack".
Khi đó, với r < #8, ge [0,2 z | thi R-r PM oo Rap 6) SMetre )s 7 A(z).2 Cho D là một miền trong C_ và z,@ € 2. Khi đó, tổn tại số r sao cho với mọi ham điều hòa dương A trên Ð thi r`h(@) < h(z) < rh(o).3 Cho D là một miền trong C_ và z,œe€ D. Khoảng cách Harnack giữa z và œ là số nhỏ nhất r„(z,@) sao cho với mọi hàm điều hòa đương # trên D thi t,(2,@)'h(@) < h(z) < t„(z.e)h(ø) Nhận xét: r,„(z,ø) >1 và nếu D là một miễn con của C, thì r„ là một ham liên tục trên D. là các hàm điều hòa trên miễn D trong C_ và gid sử rằng A, sh, <h, <.
Khi đó, hoặc A, > x déu địa phương hoặc A, >A déu địa phương, với # là hàm điều hòa trên D. ~~“—=——————————~=—=————=——————————————~—~m===eceyeeễeeEễeeSE SE SEEĂSEE SE SE SA Sen Son Sen Xe" Xe Sm GVHD: TS. Nguyễn Van Đông -9- SVTH: Va Đức Sửu 1. Hàm điều hòa dưới Ham điều hòa dưới được định nghĩa dựa trên hàm nửa liên tục trên nên ta giới thiệu khái niệm hàm nửa liên tục trên trước tiên.
Sau đó, ta giới thiệu Nguyên lý cực dai cho ham diéu hòa dưới và đưa ra một số tiểu chuẩn xác định một hàm là điều hòa dưới (Định ly 1. Đây là các kết quả quan trọng vả được sử đụng thường xuyên trong những chứng minh ở chương 2 và chương 3, Và cuối cùng là một khang định tinh khả tích Lebesgue của các ham điều hòa dưới mà không đồng nhất bằng -90.1 Cho không gian topo X. Ta nói hàm uw: X =»[ =œ,2) là nửa liên tục trên nêu tập { x€ X :w(x)< c} là mở trong X với mỗi ce 8. Ham v là nửa liên tực đưới nếu —v là nửa liên tục trên.
Hàm u:X —>[ =3, ) liên tục © ¿ nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới trên X .2 Cho U là tập con mở của C. Hàm u:U ->[-%,®) được gọi là diéu hod đưới nêu w là hàm nửa liên tục trên và thoả mãn bat đẳng thức trung binh đưới địa phương ie VœeU,3p>0:w(@)<z— ful + re” )dt,0 <r <p Hàm v:U —>[—z,%) được gọi là điểu hoà trên néu—v điều hoà dưới. Tập tất cá các hàm điều hoà dưới trên được kí hiệu là S(U), Định lý 1. (a) Nếu nhận giá trị cực đại toàn cục trên D thì u = cons.
(b) Nếu limsupu(z) < 0 Vợ côD thi w <0 trên D.4 Cho là tập con mở của C và uw: —>[=œ,%} là ham nửa liên tục trên. các khang định sau tương đương: (a) we S(U). SVTH: Va Đức Situ Ham Green trong mặtphẳng (b) Nếu Ö(@.0<!<2Z: 1% ? ~p 3 Sư ớGG: 21 5p eT Te a 115 [= —_ ad ¿cv (c) NéuD là miễn compact tương đối của U va h là hàm điều hoà trên /) thoa man: lim sup(u — hXz)< 0 (£ € AD) thì ush trên D.5 Nếu ƒ;U, + U, là một hàm chính hình giữa hai tập mở U,.U, trong € và nêu we S(U,)thi we ƒ € S(U,).7 Cho U là tập con mở của C và (u,),. Khi đó us lim, cS(U).8 Cho (Q,/) là không gian độ đo với (Q)<œ và U là tập con mở của C.
Đặt v: x3 —>[—œ,œ) là ham thỏa: (a) v đo được trên / x@Q.@) điều hoà dưới trên U với mỗi œ EQ. (c) z+> supv(z,@) bị chặn trên địa phương trên U (với mỗi ø e U có at một lân cận N củaa và một số M > 0 sao cho pv(z.VŸ GVHD: TS. Nguyễn Văn Đông -1I- SVTH: Vũ Đức Sửu Khi đỏ, w(z)= [w(z.ø)4/(ø) điều hoà dưới trên Ư. Khi đó, khả tích địa phương trên D, tức là [l¿¿4<œ với mỗi tập compact K c Ø(đ4 là độ do Lebesgue trong mặt phẳng).
Từ khẳng định ở Định lý 1.9, ta có nhận xét rằng hàm điều hòa dưới bị chặn trên và bị chặn đưới trên các tập compact trong C. Thể vị Thể vị là một khái niệm xuất phát từ vật lý và kỹ thuật. Thế vị mà ta sẽ định nghĩa sau day thì trong vật lý gọi là thé vị logarit, nhưng do ta chi dé cập đến thé vị logarit nên ta gọi thé vị thay cho thé vị logarit. Ta sẽ chí định nghĩa thé vị cho những độ đo hữu hạn có giá compact.
Sau khi định nghĩa thế vị, ta đưa ra một tính chất đặc trưng của thế vị là tính điều hòa và tính điều hòa đưới của nó.1 Cho ¿ là độ đo Borel hữu hạn trên C với giá compact. Thé vị của ¿ là hàm p, :C —»[—z,œ} xác định bởi: p„(z)= Jloglz- ød#(œ).2 Với định nghĩa trên thì: p, điều hòa dưới trên C và điều hoà trên C\ supp ¿. Như vậy, thé vị cũng là hàm điều hòa dưới. Qua đây, nó cung cap thêm sự phong phú cho nguồn các hàm điểu hòa dưới.
Nguyén Van Đông -I3- SLTH: La Đức Sửu Hàm Green trong mặt phẳng 1. Tập cực Tập cực đóng vai trò là các tập không đáng kế trong lý thuyết thế vị, cũng giống như các tập có độ đo 0 trong lý thuyết độ đo. Tập cực được định nghĩa thông qua sự đánh giá năng lượng của độ đo Borel hữu hạn. Vì thế, trước hết ta đưa ra khải niệm năng lượng.1 Cho ¿ là độ do Borel hữu hạn trên với giá compact Ấ.2 (a) Tập con £ của C được gọi la đập cực nếu /(/)= =% với mọi độ đo Borel hữu hạn ¿ z 0 ma supp / là tập con compact của E.
(b) Một tinh chất được gọi là đúng gắn &kắp nai (g.n) trên tập con S của C nếu nó đúng khắp nơi trên S\ £ với £ là tập cực Borel nào đỏ. Tập chi cỏ một phan tử là tập cực. Tập con của một tập cực là tập cực. Ngược lại, một tập không lả tập cực sẽ chứa một tập compact không là tập cực (đó là supp với / là một độ đo nào đó với /(/)> —œ ).3 Cho ¿ là độ đo Borel hữu hạn trên C với giá compact và gia sử /() > =œ.
Khi đó, ,(E) = 0 với mọi tập cực Borel £. Từ định lý trên dé chi ra một tập E không là tập cực, ta có thé chỉ ra rằng có một độ đo Borel hữu hạn đo nó khác 0. Một sự liên hệ thủ vị giữa các tập cực Borel và các tập có độ đo 0 trong lý thuyết độ đo là: mọi tập cực Borel đều có độ đo Lebesgue bằng 0. Đây là một Hệ quả của Định lý 1.
Trang ri TT. Ng Văn Đông - 13- SVTH: Vũ Đức Situ 1. Độ đo cân bằng Trong vật lý, một điện tích được đặt trên chất dẫn điện sẽ tự phân bó đẻ cực tiêu hóa năng lượng. Mà năng lượng xác định trên các độ đo Borel hừu hạn.
Nhưng mọi độ đo Borel hữu hạn ta đều có thẻ chuyển thành độ đo Borel xác suất. Vì thế, ở đây ta chí cần xem xét với các độ đo Borel xác suất trên một tập compact K. Đặc biệt, khi ta xem xét khi nảo nang lượng cực đại hóa thay vi cực tiêu hỏa thi không những thích hợp trong vật lý ma còn hữu ích về mặt toán học. Và khi năng lượng đạt cực đại thì độ đo đó người ta gọi là độ đo cân bằng.
ta giới thiệu khai niệm này và một số tính chất liên quan đến no, Dinh nghĩa 1.