Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Những kiến thức cơ bản được trình bày trong chương này gồm: 1.1 Phương pháp số giải phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều Giả sử chúng ta xét phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều. Phương trình này có thể dùng để miêu tả sự lan truyền nhiệt trong một thanh dài. ut = α2 uxx Phương trình được viết dưới dạng (1.1) 0 < x < L, t>0 với nghiệm là một hàm u = u(x,t) là một hàm số của 2 biến x và t. Ở đây: x là biến không gian, do đó x ∈ [0, L], với L là chiều dài của thanh.
t là biến thời gian, do đó t ≥ 0. Võ Thị Ánh Loan 1 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chúng ta giả sử điều kiện ban đầu là u(x, 0) = f (x), ∀x ∈ [0, L] với hàm số f cho trước và các điều kiện biên là u(0, t) = u(L, t) = 0 Hình 1.1: Thí nghiệm lý tưởng về sự truyền nhiệt trong một thanh trụ dài với điều kiện biên đồng nhất Chia thanh ra thành n đoạn: x0 = 0, x1 = △x, x2 = 2△x, ., xn = L Giá trị của hàm tại các nút trên trục hoành bằng f (x): u(x, 0) = f (x) Giá trị của hàm tại các nút trên trục tung bằng 0: u(0, t) = 0 Giá trị của hàm tại các nút trên biên phải bằng 0: u(L, t) = 0 Tính giá trị của các hàm tại các nút bên trong hình chữ nhật: u(xi , tj ) = ui,j *** Phương pháp sai phân tiến (forward difference method) Tại bước thứ j theo thời gian, ta xấp xỉ đạo hàm bởi sai phân tiến: −ui,j ut ≈ ui,j+1 △t , uxx ≈ ui−1,j −2u △x2 i,j +ui+1,j Thay vào phương trình (1.1), ta có ui,j+1 −ui,j △t = α2 ui−1,j −2u △x2 i,j +ui+1,j Võ Thị Ánh Loan 2 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Hình 1.2: Mô phỏng sai phân tiến 2 ui,j+1 − ui,j = α△x△t 2 (ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j ) 2 2 ui,j+1 = (1 − 2 α△x△t α △t 2 )ui,j + △x2 (ui−1,j + ui+1,j ) 2 Đặt λ = α△x△t2 , ta có ui,j+1 = λui−1,j + (1 − 2λ)ui,j + λui+1,j Ở mỗi bước thời gian, ta cần tìm giá trị nhiệt độ tại n-1 điểm. Với t0 = 0 (n-1 nút trên trục hoành): u(x, 0) = f (x) Với t1 = △t (n-1 nút ở ngay bên trên trục hoành 1 hàng): ui,1 = λui−1,0 + (1 − 2λ)ui,0 + λui+1,0 , với i = 1, ., n-1 u1,1 = λu0,0 + (1 − 2λ)u1,0 + λu2,0 = (1 − 2λ)u1,0 + λu2,0 u2,1 = λu1,0 + (1 − 2λ)u2,0 + λu3,0 u3,1 = λu2,0 + (1 − 2λ)u3,0 + λu4,0 Võ Thị Ánh Loan 3 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ. 0 λ 1 − 2λ un−1,0 Với t2 = 2△t (n-1 nút ở hàng thứ 3 từ dưới lên): ui,2 = λui−1,1 + (1 − 2λ)ui,1 + λui+1,1 , với i = 1,.
0 λ 1 − 2λ un−1,1 Với tj = j△t (n-1 nút ở hàng thứ j+1 từ dưới lên): Võ Thị Ánh Loan 4 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ ui,j = λui−1,j−1 + (1 − 2λ)ui,j−1 + λui+1,j−1 , với i = 1,. 0 λ 1 − 2λ un−1,j−1 Để tính giá trị của hàm u(x, t) ở n-1 nút tại hàng j, ta thực hiện phép nhân ma trận A với vectơ chứa n-1 giá trị của hàng thứ j-1 *** Phương pháp sai phân lùi (backward difference method) Tại bước thứ j theo t, ta xấp xỉ đạo hàm bởi sai phân lùi ut ≈ ui,j −u △t i,j−1 , uxx ≈ ui−1,j −2u △x2 i,j +ui+1,j Thay vào phương trình (1.1), ta có ui,j −ui,j−1 △t = α2 ui−1,j −2u △x2 i,j +ui+1,j 2 ui,j − ui,j−1 = α△x△t 2 (ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j ) Võ Thị Ánh Loan 5 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ 2 2 ui,j−1 = (1 + 2 α△x△t α △t 2 )ui,j − △x2 (ui−1,j + ui+1,j ) 2 Đặt λ = α△x△t2 , ta có ui,j−1 = −λui−1,j + (1 + 2λ)ui,j − λui+1,j Ở mỗi bước thời gian, ta cần tìm giá trị nhiệt độ tại n-1 điểm. Với t0 = 0 (n-1 nút trên trục hoành): u(x, 0) = f (x) Với t1 = △t (n-1 nút ở ngay bên trên trục hoành 1 hàng): ui,0 = −λui−1,1 + (1 + 2λ)ui,1 − λui+1,1 , với i = 1,. −λun−2,1 un−1,0 = + (1 + 2λ)un−1,1 − λun,1 = -λun−2,1 + (1 + 2λ)un−1,1 u1,0 1 + 2λ −λ 0.
0 −λ 1 + 2λ un−1,1 Với t2 = 2△t (n-1 nút ở hàng thứ 3 từ dưới lên): ui,1 = −λui−1,2 + (1 + 2λ)ui,2 − λui+1,2 , với i = 1,. −λun−2,2 un−1,1 = + (1 + 2λ)un−1,2 − λun,2 = -λun−2,2 + (1 + 2λ)un−1,2 u1,1 1 + 2λ −λ 0. 0 −λ 1 + 2λ un−1,2 Với tj = j△t (n-1 nút ở hàng thứ j+1 từ dưới lên): ui,j−1 = −λui−1,j + (1 + 2λ)ui,j − λui+1,j , với i = 1,. 0 −λ 1 + 2λ un−1,j Võ Thị Ánh Loan 7 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Giải hệ phương trình, tìm được nhiệt độ ở hàng j: (u1,j ; u2,j ; .; un−1,j ) *** Phương pháp Crank - Nicolson Tại bước thứ j theo t, ta xấp xỉ đạo hàm bởi sai phân tiến: ui,j+1 − ui,j ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j = α2 (1.2) △t △x2 Tại bước thứ j+1 theo t, ta xấp xỉ đạo hàm bởi sai phân lùi: ui,j+1 − ui,j ui−1,j+1 − 2ui,j+1 + ui+1,j+1 = α2 (1.3), ta được: ui,j+1 − ui,j α2 ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j ui−1,j+1 − 2ui,j+1 + ui+1,j+1 = + △t 2 △x2 △x2 α2 △t ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j ui−1,j+1 − 2ui,j+1 + ui+1,j+1 ui,j+1 − ui,j = + 2 △x2 △x2 2 Đặt λ = α△x△t2 λ λ λ λ (1 + λ)ui,j+1 − ui−1,j+1 − ui+1,j+1 = (1 − λ)ui,j + ui−1,j + ui+1,j 2 2 2 2 Tìm nhiệt độ ở hàng 1 (j=0) − λ2 u0,1 + (1 + λ)u1,1 − λ2 u2,1 = λ2 u0,0 + (1 − λ)u1,0 + λ2 u2,0 − λ2 u1,1 + (1 + λ)u2,1 − λ2 u3,1 = λ2 u1,0 + (1 − λ)u2,0 + λ2 u3,0 − λ2 u2,1 + (1 + λ)u3,1 − λ2 u4,1 = λ2 u2,0 + (1 − λ)u3,0 + λ2 u4,0.
Au(1) = Bu(0) Võ Thị Ánh Loan 8 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ 1 + λ − λ2 0. 0 2 1−λ un−1,0 Tìm nhiệt độ ở hàng j+1 (theo t) − λ2 u0,j+1 + (1 + λ)u1,j+1 − λ2 u2,j+1 = λ2 u0,j + (1 − λ)u1,j + λ2 u2,j − λ2 u1,j+1 + (1 + λ)u2,j+1 − λ2 u3,j+1 = λ2 u1,j + (1 − λ)u2,j + λ2 u3,j − λ2 u2,j+1 + (1 + λ)u3,j+1 − λ2 u4,j+1 = λ2 u2,j + (1 − λ)u3,j + λ2 u4,j. Au(1) = Bu(0) Võ Thị Ánh Loan 9 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ 1 + λ − λ2 0. 0 2 1−λ un−1,j *** Ưu và nhược điểm của 3 phương pháp trên: Các phương pháp sai phân tiến, sai phân lùi và Crank-Nicolson là các phương pháp số được sử dụng để giải quyết phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều, hai chiều và ba chiều.
Dưới đây là một tóm tắt về ưu điểm và nhược điểm của mỗi phương pháp: 1. Phương pháp sai phân tiến (Forward Difference): Ưu điểm: - Đơn giản và dễ triển khai. - Tốc độ tính toán nhanh hơn so với một số phương pháp khác. Võ Thị Ánh Loan 10 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ - Độ ổn định tương đối tốt khi áp dụng cho các vấn đề truyền nhiệt ổn định.
Nhược điểm: - Chỉ đảm bảo tính ổn định nếu sử dụng bước thời gian nhỏ hơn ngưỡng ổn định của phương trình. - Sai số lớn hơn so với các phương pháp khác, đặc biệt khi bước thời gian lớn hơn. Phương pháp sai phân lùi (Backward Difference): Ưu điểm: - Tính ổn định cao và đảm bảo tính ổn định ngay cả khi sử dụng bước thời gian lớn. - Tính chính xác tương đối tốt, đặc biệt đối với vấn đề không gian và thời gian biến đổi chậm.
Nhược điểm: - Đòi hỏi giải hệ phương trình tuyến tính lớn, làm tăng độ phức tạp tính toán. - Có thể gây nhiễu và không ổn định khi sử dụng bước thời gian lớn và trong một số vấn đề không gian biến đổi nhanh. Phương pháp Crank-Nicolson: Ưu điểm: Võ Thị Ánh Loan 11 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ - Tính ổn định cao và đảm bảo tính ổn định ngay cả khi sử dụng bước thời gian lớn. - Tính chính xác tương đối tốt, đặc biệt đối với vấn đề không gian và thời gian biến đổi chậm.
- Giảm thiểu sai số so với phương pháp sai phân tiến và sai phân lùi. Nhược điểm: - Đòi hỏi giải hệ phương trình tuyến tính lớn, làm tăng độ phức tạp tính toán so với phương pháp sai phân tiến. - Tốn nhiều thời gian tính toán hơn so với phương pháp sai phân tiến và sai phân lùi. Tổng quan, các phương pháp sai phân tiến, sai phân lùi và Crank-Nicolson đều có ưu điểm và nhược điểm riêng.
Sự lựa chọn phương pháp nào phụ thuộc vào tính chất của vấn đề cần giải quyết và yêu cầu về độ chính xác và tốc độ tính toán. Đối với các vấn đề truyền nhiệt phức tạp trong không gian hai chiều và ba chiều, việc sử dụng phương pháp Crank-Nicolson thường được ưu tiên do khả năng cân bằng giữa tính ổn định và độ chính xác cao hơn so với phương pháp sai phân tiến và sai phân lùi. Ngoài phương pháp sai phân hữu hạn còn có một số phương pháp khác để giải phương trình truyền nhiệt. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến khác: Võ Thị Ánh Loan 12 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ 1.
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM): Phương pháp này chia không gian thành các phần tử nhỏ hơn và xấp xỉ giá trị của biến cần giải trên các điểm trong mỗi phần tử. Sau đó, sử dụng nguyên lý cân bằng năng lượng, ta có thể xây dựng hệ phương trình tuyến tính và giải nó để tìm ra giá trị biến cần giải. Phương pháp phần tử hữu hạn tăng cường (Finite Element Method with Enrichment): Phương pháp này là một mở rộng của FEM, được sử dụng khi giá trị biến cần giải có đặc điểm không liên tục hoặc phương trình truyền nhiệt có biên độ lớn tại một số vùng cụ thể. Bằng cách sử dụng các hàm cơ sở tăng cường, phương pháp này cung cấp một độ chính xác cao hơn trong các khu vực đặc biệt.