chương 1 - Tổng quan các công trình nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến trong và ngoài nước. - Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến và hướng nghiên cứu của luận án. Tổng quan chung Hệ thống với tham số phân bố (Distributed Parameter Systems - DPS) là hệ đƣợc mô tả bằng tập các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, các phƣơng trình vi tích phân, các phƣơng trình vi phân có trễ hoặc bằng các quan hệ hàm phức tạp. Các hệ thống có tham số tập trung (Lumped Parameter Systems – LPS) đƣợc mô tả bởi tập các phƣơng trình vi phân thƣờng (Ordinary Differential Equations - ODEs).
Với hệ tham số tập trung, các trạng thái và điều khiển là các hàm chỉ phụ thuộc vào thời gian, trong khi đó hệ thống với tham số phân bố chúng là các hàm của thời gian và một hay nhiều biến không gian. Trong thực tế chúng ta hay gặp các đối tƣợng điều khiển mà việc mô tả chúng không thể thực hiện đƣợc bằng các phƣơng trình ODEs. Các đối tƣợng đó đƣợc mô tả bằng các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential Equations - PDEs). Các đối tƣợng đó gọi là các đối tƣợng có tham số phân bố DPS.
Trong các đối tƣợng đó, các đại lƣợng cần điều khiển và ngay cả tác động điều khiển có thể thay đổi không chỉ theo thời gian mà còn theo không gian: một chiều, hai chiều… nhiều chiều. Trạng thái của các đối tƣợng đó đƣợc mô tả không phải bằng tập hợp n toạ độ x1(t),.,qn(p), trong đó p thay đổi trong một vùng nào đó của không gian nhiều chiều. Tƣơng tự nhƣ vậy, tác động điều khiển trong các đối tƣợng đó đƣợc mô tả, nói chung bằng các hàm u1(p),.,un(p) và cũng đƣợc xác định trong một vùng không gian-thời gian nhiều chiều theo biến p. 8 Bài toán điều khiển cho các đối tƣợng dạng này thƣờng gặp trong nhiều mô hình thực tế.
Ví dụ cho các đối tƣợng này thƣờng là các quá trình truyền sóng, các quá trình truyền nhiệt, các quá trình dòng chất lỏng, sự đốt cháy trong các động cơ, các tháp chƣng cất phân đoạn, các lò phản ứng hoá học, các lò phản ứng hạt nhân, sự dao động của các cơ cấu chuyển động linh hoạt v. Khi điều khiển các đối tƣợng loại này sẽ nảy sinh bài toán xây dựng các hệ thống điều khiển tối ƣu theo một nghĩa nào đó, theo một tiêu chuẩn nào đó. Trong trƣờng hợp này, phiếm hàm đƣợc cực tiểu hoá còn phụ thuộc vào các biến không gian, vào hàm trạng thái và tác động điều khiển phân bố trong không gian. Trong giới hạn của luận án chỉ tập trung nghiên cứu hệ với tham số phân bố đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential Equations - PDEs).
Trong toán học, phƣơng trình đạo hàm riêng PDEs là một phƣơng trình liên hệ giữa hàm nhiều biến phải tìm u ( x1 , x2 ,., xn ) , các đạo hàm riêng của chúng và các biến độc lập x1 , x2 ,. Trong trƣờng hợp tổng quát, một phƣơng trình đạo hàm riêng cấp m có dạng nhƣ sau: u u 2u 2u mu mu F x1 , x2 ,.1) Trong phƣơng trình trên có mặt ít nhất một đạo hàm riêng cấp m. Loại phƣơng trình này thƣờng có ba lớp đặc biệt là: phƣơng trình elliptic, hyperbolic và parabolic thông qua các đại diện của chúng là phƣơng trình Laplace, phƣơng trình truyền sóng và phƣơng trình truyền nhiệt. Phƣơng trình PDEs thƣờng đƣợc sử dụng để mô tả các hiện tƣợng vật lý nhƣ âm thanh, dao động, nhiệt, động lực học chất lỏng, độ đàn hồi,v.
Cụ thể, luận án này sẽ tập trung nghiên cứu hệ với tham số phân bố đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng PDEs bậc hai dạng parabolic thông qua đại diện của chúng là một phƣơng trình truyền nhiệt (phƣơng trình dẫn nhiệt Fourier). Tổng quan các công trình nghiên cứu về điều khiển tối ƣu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến trong và ngoài nƣớc. Lý thuyết về điều khiển tối ƣu cho hệ với tham số phân bố (DPS) đã đƣợc nghiên cứu từ thập niên 60 của thế kỷ trƣớc. Buttkovskii và Lerner đã đƣa ra bài báo đầu tiên trong lĩnh vực này vào năm 1960 [36], bắt đầu từ nguyên lý cực đại cho một lớp các hệ thống tham số phân bố.
Điều này đã cho ra một loạt các bài báo từ Butkovskii [32], [34], [35]. Các nghiên cứu này đã đề cập đến việc mô tả bài toán và nguyên lý cực đại cho một hệ tham số phân bố đƣợc mô tả bởi một tập các phƣơng trình tích phân phi tuyến. Tất cả sự phát triển này có thể đƣợc tìm thấy trong cuốn sách đƣợc viết bởi Buttkovskii, đƣợc dịch sang tiếng Anh và đã đƣợc xuất bản vào năm 1969 [33]. Năm 1964, Wang và Tung [84] đã tiếp tục phát triển lý thuyết này, các bài báo của hai ông đã đƣa ra sự mô tả toán học một cách rõ ràng cho hệ DPS bằng các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDEs).
Các tác giả đã thảo luận khái niệm về khả năng điều khiển và khả năng quan sát. Bên cạnh đó, họ đã đƣa ra bài toán điều khiển tối ƣu và các điều kiện tối ƣu hoá cho một lớp các hệ thống với tham số phân bố. Bài báo này cũng đã thảo luận một vài công cụ giải bằng số với các phép tính xấp xỉ rời rạc. Cùng năm đó, Sakawa [79] đã đƣa ra hai phƣơng pháp để điều khiển tối ƣu cho phƣơng trình truyền nhiệt.
Một trong hai phƣơng pháp là áp dụng phƣơng pháp biến phân, nhờ đó mà phƣơng trình tích phân Fredholm loại một đã đƣợc đƣa ra nhƣ là điều kiện cần cho điều khiển tối ƣu. Phƣơng pháp khác là đƣa bài toán về áp dụng kỹ thuật quy hoạch tuyến tính và quy hoạch phi tuyến để tổng hợp bộ điều khiển tối ƣu. Sau đó, năm 1966, Wang [85] đã nghiên cứu bài toán ổn định cho hệ DPS với các bộ điều khiển phản hồi trực tiếp trong khuôn khổ phƣơng trình PDEs, sử dụng phƣơng pháp Lyapunov mà không dùng đến các phép tính xấp xỉ. Sự phát triển này đã dẫn đến một loạt các bài báo bởi nhiều tác giả, họ đƣa ra nhiều phƣơng pháp giải cho bài toán này.
Axelband [20] đã phân tích bài toán bám của một mô hình tổng quát cho hệ DPS tuyến tính, với đầu vào điều khiển biên. Lời giải tối ƣu và một công cụ tổng hợp bộ điều khiển đƣợc đƣa ra bằng tham số sử dụng quy hoạch lồi. 10 Năm 1967, Sage và Chaudhuri [78] đƣa ra kỹ thuật tính toán gradient và kỹ thuật bán tuyến tính hoá (quasi-linearization) để tổng hợp bộ điều khiển tối ƣu, sử dụng các điều kiện cần để tối ƣu hoá đƣợc đƣa ra bởi Wang và Tung [84]. Với bài toán điều khiển cho các hệ thống tuyến tính, bài báo cũng đã đƣa ra kỹ thuật kết hợp để phát triển cho các hệ thống tham số tập trung vào cùng thời điểm chỉ xét trong miền không gian rời rạc.
Kim và Erzberger [65] đã đƣa ra phƣơng pháp hàm Hamilton – Jacobi cho bài toán truyền sóng một chiều, với hàm mục tiêu bậc hai, có điều khiển biên. Các tác giả đã đƣa ra một tập các phƣơng trình Riccati và cho ra lời giải điều khiển tối ƣu cho mạch vòng kín. Các tác giả cũng mô tả kỹ thuật giải cho các phƣơng trình Riccati dựa trên sự mô tả các hàm riêng của hàm Green, điều đó dẫn đến sự cần thiết của lời giải các phƣơng trình vi phân thƣờng. Theo ý tƣởng của Kim và Erzberger, năm 1969, Alvarado và Mukundan [18] đã giải đƣợc phƣơng trình PDEs dạng ma trận Riccati cho bài toán trong lò nung, gia nhiệt một chiều cho tấm kim loại và đã đƣa ra kỹ thuật xấp xỉ để giải phƣơng trình.
Điều này đã thừa nhận lời giải của công thức Hamilton-Jacobi bằng hai phƣơng pháp, cụ thể là phƣơng pháp ma trận Riccati và phƣơng pháp phƣơng trình Kalman. Goldwyn, Sriram và Graham [55] đã chỉ ra rằng có thể áp dụng phép biến đổi Laplace để xác định điều khiển tối ƣu thời gian cho một lớp các bài toán dạng phƣơng trình hyperbolic. Bài báo này đã giải thích sự ảnh hƣởng tự nhiên của phƣơng trình PDEs là một dạng của điều khiển tối ƣu. Phƣơng pháp tổng hợp cận tối ƣu đã đƣợc đƣa ra trong bài báo, điều này đã không dẫn đến dạng “bang-bang” của tín hiệu điều khiển.
Hassan và Solberg [57] đã nghiên cứu bài toán điều khiển tối ƣu hệ DPS tuyến tính với hàm mục tiêu bậc hai trong khoảng thời gian rời rạc. Các tác giả sử dụng chuỗi biểu thức trực giao cho loại phƣơng trình hàm Riccati và đã đƣa ra hệ thống các biểu thức hàm đệ quy bao gồm các ma trận hàm Green. Julio [62] cũng đã đƣa ra phƣơng pháp khác để tính toán bộ điều khiển tối ƣu cho hệ DPS tuyến tính, mà không cần phải giải phƣơng trình PDEs. Trong bài báo khác 11 cùng năm [61], tác giả đã giải bài toán hội tụ của lời giải xấp xỉ rời rạc tới lời giải liên tục khi khoảng thời gian rời rạc hoá tiến tới zero.
Tác giả vẫn sử dụng các công cụ đã biết [78] để giải bài toán tối ƣu, tuy nhiên đã trình bày nguyên lý cực đại và mô tả toán học hệ thống trong miền rời rạc. Một thuật toán xấp xỉ tiếp theo đƣợc đƣa ra bởi Zone và Chang năm 1972 [92] cho một lớp hệ DPS phi tuyến tổng quát với các điều kiện biên hàm phi tuyến, dựa trên sự khai triển chỉ số thực hiện bậc hai. Các điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của thuật toán chỉ ra rằng luôn thoả mãn, điều này phụ thuộc vào đặc tính động học của hệ thống. Cũng trong năm 1972, Davis và Perkins [45] đã đề xuất một phƣơng pháp thiết kế bộ điều khiển tối ƣu cho một lớp hệ DPS với bộ điều khiển tách kênh.
Điều khiển tách kênh có hàm cố định phụ thuộc vào các biến không gian và hàm tự do phụ thuộc vào biến thời gian. Các tác giả đã đƣa ra các điều kiện tối ƣu cho hệ thống này nhƣ là một trƣờng đặc biệt từ các kết quả của Wang và Tung [84]. Bài toán quan sát và vị trí cảm biến tối ƣu cho hệ DPS tuyến tính đã đƣợc nghiên cứu bởi Yu và Seinfeld năm 1973 [91]. Năm 1974 và 1975, Curtain và Pritchard [42], [43] đã phát triển toán tử Riccati theo lý thuyết toán tử vô hạn chiều.