Luận án tiến sĩ dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình navierstokes trên đa tạp riemann với độ cong ricci âm

Luận án tiến sĩ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm, ứng dụng toán học hiện đại.

• Tác giả: Nguyễn Thị Vân
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Thiệu Huy
• Trường học: Đại học Bách khoa Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ toán học
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
• MỞ ĐẦU
• Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
• Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu
• Kết quả của luận án
• Cấu trúc của luận án
• 1. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• 1.1. Giới thiệu hình học Riemann
• 1.1.1. Đa tạp khả vi, đa tạp Riemann
• 1.1.2. Đạo hàm hiệp biến, liên thông Levi-Civita
• 1.1.3. Metric và các toán tử Laplace trên trường ten-xơ
• 1.1.4. Các loại độ cong và phân loại đa tạp không compact
• 1.2. Không gian hàm và phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann
• 1.2.1. Không gian hàm và không gian Sobolev
• 1.2.2. Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính
• 1.2.3. Phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact
• 1.2.4. Các ước lượng L^p - L^q cho nửa nhóm trên đa tạp Riemann không compact với độ cong âm
• 2. Chương 2: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình tiến hoá trên đa tạp Einstein không compact và ứng dụng
• 2.1. Phương pháp Massera cho phương trình tuyến tính
• 2.1.1. Nghiệm hầu tuần hoàn
• 2.1.2. Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận
• 2.2. Sự tồn tại và tính ổn định mũ của các loại nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
• 2.2.1. Sự tồn tại của các loại nghiệm
• 2.2.2. Tính ổn định mũ của các loại nghiệm
• 2.3. Ứng dụng
• 2.3.1. Phương trình Navier-Stokes
• 2.3.2. Phương trình truyền nhiệt dạng vectơ
• 3. Chương 3: Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann không compact
• 3.1. Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Stokes theo phương pháp Massera
• 3.2. Sự tồn tại và tính ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes nửa tuyến tính
• 3.2.1. Sự tồn tại của nghiệm
• 3.2.2. Tính ổn định mũ của nghiệm
• 3.3. Định lí kiểu Serrin trên đa tạp Riemann: Tính ổn định kéo theo tính tuần hoàn
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• Những kết quả đã đạt được
• Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo
• Danh mục các công trình đã công bố của luận án
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Phương trình Navier Stokes trên đa tạp Riemann

Phương trình Navier-Stokes là một trong những phương trình quan trọng trong động lực học chất lỏng, mô tả chuyển động của các dòng chất lỏng và khí. Trên đa tạp Riemann, phương trình này được tổng quát hóa để phản ánh các tính chất hình học phức tạp của không gian. Đặc biệt, khi xét trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm, các tính chất nghiệm của phương trình trở nên phức tạp hơn do ảnh hưởng của độ cong hình học. Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trong bối cảnh này, nhằm hiểu rõ hơn về sự tồn tại, tính ổn định và các tính chất hình học liên quan.

1.1. Đa tạp Riemann và độ cong Ricci

Đa tạp Riemann là một không gian hình học được trang bị một metric Riemann, cho phép đo khoảng cách và góc giữa các vectơ. Độ cong Ricci là một đại lượng hình học quan trọng, phản ánh sự biến dạng của không gian. Khi độ cong Ricci âm, không gian có xu hướng phân kỳ, điều này ảnh hưởng đáng kể đến tính chất tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng, trên các đa tạp với độ cong Ricci âm, nghiệm của phương trình Navier-Stokes có thể có tính ổn định mũ, một tính chất quan trọng trong việc phân tích dáng điệu nghiệm.

1.2. Phương trình Navier Stokes trên đa tạp Riemann

Phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann được biểu diễn thông qua các toán tử vi phân phù hợp với cấu trúc hình học của đa tạp. Cụ thể, toán tử Laplace được thay thế bằng toán tử Laplace-Beltrami, và các toán tử liên thông được sử dụng để mô tả sự biến đổi của các trường vectơ. Trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm, phương trình Navier-Stokes có dạng tổng quát hơn, với các thành phần phụ thuộc vào độ cong hình học. Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích nghiệm tiệm cận của phương trình trong bối cảnh này, sử dụng các phương pháp từ lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và hình học vi phân.

II. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm

Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm là một chủ đề nghiên cứu quan trọng, liên quan đến sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm. Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích tính chất tiệm cận của nghiệm, bao gồm sự tồn tại nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn và hầu tuần hoàn tiệm cận. Các phương pháp từ lý thuyết đa tạp và phương trình vi phân được sử dụng để chứng minh các kết quả này, đặc biệt là trong việc áp dụng nguyên lý Massera và phương pháp Serrin.

2.1. Nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn

Nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann được nghiên cứu thông qua các phương pháp từ lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Cụ thể, nguyên lý Massera được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn, trong khi các phương pháp từ lý thuyết nửa nhóm được áp dụng để phân tích tính ổn định mũ của nghiệm. Trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm, các kết quả này được mở rộng để bao gồm cả nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận, một dạng nghiệm quan trọng trong việc mô tả dáng điệu nghiệm trong thời gian dài.

2.2. Tính ổn định mũ của nghiệm

Tính ổn định mũ của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm là một chủ đề nghiên cứu quan trọng, liên quan đến sự suy giảm nhanh chóng của nghiệm theo thời gian. Các phương pháp từ hình học Riemann và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được sử dụng để chứng minh tính ổn định này, đặc biệt là thông qua việc áp dụng bất đẳng thức nón và các ước lượng Lp-Lq. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc mô hình hóa các dòng chất lỏng trên các bề mặt phức tạp.

III. Ứng dụng và kết luận

Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Các kết quả từ nghiên cứu này có thể được áp dụng trong việc mô hình hóa các dòng chất lỏng trên các bề mặt phức tạp, chẳng hạn như các dòng hải lưu trên đại dương hoặc các luồng khí trong khí quyển. Ngoài ra, các phương pháp từ hình học Riemann và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được sử dụng trong nghiên cứu này cũng có thể được mở rộng để áp dụng cho các phương trình động lực học chất lỏng khác trên các không gian hình học phức tạp.

3.1. Ứng dụng trong mô hình hóa chất lỏng

Các kết quả từ nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm có nhiều ứng dụng trong việc mô hình hóa các dòng chất lỏng trên các bề mặt phức tạp. Ví dụ, các kết quả này có thể được sử dụng để mô tả chuyển động của các dòng hải lưu trên đại dương hoặc các luồng khí trong khí quyển. Các phương pháp từ hình học Riemann và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được sử dụng trong nghiên cứu này cũng có thể được mở rộng để áp dụng cho các phương trình động lực học chất lỏng khác trên các không gian hình học phức tạp.

3.2. Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo

Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm đã đạt được nhiều kết quả quan trọng, bao gồm sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn và hầu tuần hoàn tiệm cận. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều câu hỏi mở cần được giải quyết, chẳng hạn như sự tồn tại nghiệm trên các đa tạp với độ cong Ricci dương hoặc các phương trình động lực học chất lỏng khác. Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các phương pháp hiện có để áp dụng cho các không gian hình học phức tạp hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án. Trước tiên là một số định nghĩa và các tính chất của đa tạp Riemann, một số phép toán và độ cong.

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong không gian hàm Banach, không gian Sobolev và một số tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm đối ngẫu. Cuối cùng, chúng tôi trình bày cách biểu diễn phương trình Navier-Stokes và các ước lượng ƑP — Ƒ# trên các đa tạp Einstein, da tap Riemann khong compact. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trành tiến hoá trên đa tạp Einstein khéng compact va ting dung. Chitng minh su ton tai, duy nhat va tinh ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận của phương trình (3) trên đa tạp Einstein.

Sau đó áp dụng các kết quả tổng quát vào các phương trình Navier-Stokes và phương trình truyền nhiệt dạng vectơ. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trinh Navier-Stokes trén da tạp Riemann không compact. Chứng mình sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes (4) trên đa tạp Riemanmn không compact với độ cong Ricci âm. 10 CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về hình học Riemanmn là các đa tap Riemann va cdc phép toán vi phân trên đa tạp.

Tiếp theo chúng tôi giới thiệu các loại độ cong để làm căn cứ phân loại một số đa tạp Riemann khong compact. Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm không gian hàm Banach và không gian Sobolev cùng với một số định lí được sử dụng trong luận an. Ching tdi mo ta phuong trinh Navier-Stokes trén da tap Riemann khong compact. Trong phan cuối của chương này, chúng tôi nhắc lại một số ước lượng 1P — L1 của nửa nhóm Stokes trên đa tạp được sử dụng trong Chương 2 và Chương 3.1 Giới thiệu hình học Riemann Trong phần này, chúng tôi tóm tắt một số kiến thức cơ bản của hình học Riemamn theo các tài liệu [58, 59, 60].1 Da tap kha vi, da tap Riemann Da tap kha vi Định nghĩa 1.

Da tap d chiéu M 1a khong gian topd Hausdorff sao cho méi điểm của A4 có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong IR#, nghĩa là với mỗi z € .\{, tồn tại một lân cận mở © của +, một tập md V trong R# và một đồng phôi ¿ : 9 — V. Khi đó (9,¿) là một bắn đồ địa phương của MI. Với mỗi € ©, toạ độ của trong bản đồ (O,ø¿) là toạ độ của ¿() trong R“. Họ (Ô¿,œ;) các bản đồ sao cho AI = U;„;¡ ©¿ là một tập bản đồ hay mot atlas cia M.

Một atlas (O;,;);cr của đa tạp .M{ được gọi là khả œ¿ lớp Œ* 11 nếu mọi ánh xạ chuyển óụ =0 9 0ï": øi(0019/) — øj(0,n19/) khả vi lớp Œ® (với 9;ñn9; # 0). Khi = œ thi M dude goi là da tap tron. a) M =R_? véi atlas gm một bản dé (Q = JR#, w = 7đ) là đa tạp đ chiều. b) Mặt cầu đơn vị S“ := { (x, .,%a41) € RO: Sự 2= 1} là đa tap d chiều.

Cho các điểm thuộc $“ là N = (0,. Dat Oy = 87\ {N}, Os = 9 2\ {6}, xét hàm ẠN : Qn > R° T1 Tả (#1,.;#a+1) FÈ (TT) và ys: Qs > R° #1 La (#I,. ys là các déng phoi lan ludt ttt Qy va Qg vào IR“. Các hàm ngược là —1 2x1 Qtq al? -1 9ý m2) (Fie ep TERE) “1 221 2za 1— |z| v3 o2) (TẾ MP Tee Te) véi |x|? = at +.

Vi vay, (Qv, en) va (Os,¿s) là các bản đồ địa phương của /{ quanh các điểm N va S. Ta c6 OW NOs = S4\ {N, St, ánh xạ chuyển toạ độ dng = @so Yn: ÓsN =@NO© Ys. đều xác định trên RZ\ {0} và Óws=ởsx: R*\ {0} RZ\{0) x BR ——— aaa Các hàm dys, dgy 1a cdc vi phoi thudc l6p C®. Do dé cdc ban đồ (Qn, pn), (Qs, Ys) là một Œ®%-atlas của $#, Vậy S“ là một đa tạp trơn.

12 Không gian tiếp xúc "Trước tiên, chúng tôi trình bày không gian tiếp xúc trên tập mở trong không gian thuc Euclid., 2) 1a toa d6 Euclid trong R*, U C R17 1a tap md, x € U. Khong gian tiép xtic cia U tai diém 2p, T,,U, lA khong gian {x9} x E, trong dé # là không gian vectơ đ chiều sinh bởi cơ sở 0 ; oO. ôm” M: Định nghĩa 1. Cho U C R#, Ú' C TR° là các tập mở, ƒ : U —> U' là ánh xạ khả vi.

Ta định nghĩa đạo bừm đƒ(#o) tại zọ € U là ánh xạ tuyến tính (eo) + TyU —> Trạ„)Ù" € "`. =5 552006) (ro) - i=1 j=l Dat TU :=U x EU x R¢. khi do, TU 1a tap mé cia JR# x R#, Ta dinh nghia df: TU TU! d ô d e ô ; a (9) a (6a or). i=1 j=l 2 2 4 0 Thay vi df(z, v), ta viet df(x)(v).

Néu f : U > R 1a ham kha vi, v = > Dn thi jai OF; d df ( 9) =3 nại, € Me )RER. Tiếp theo, chúng tôi trình bày không gian tiếp xúc trên đa tạp. Xét đa tạp trơn { với số chiều đ và z € I. Giả sử một bản đồ tai x là œ:9 — R', trong đó © là tập mở trong 1.

Giả sử ó : 9! — IR“ là một bản đồ khác với x € , trong dé 9 1a tap mé trong M. Ánh xạ chuyén doy t: (ANN) > g(AN) cảm sinh một đẳng cấu d(@©#”)(@(#)) : T„¿)U — Tạ„jU", 15 Khi đó, ø € 7 „jÐ và đ(ó o @~!)(g(2))(0) € T2 („j©! cùng biểu diễn một vectƠ tiếp xúc tại @(z). Không gian gồm các lớp tương đương theo quan hệ tương đương này được gọi là không gian tiếp súc của /MI tại điểm +, kí hiệu là 7M. TM là hợp rời rạc của các không gian tiếp xúc 7{ với mọi z € M TM = |) TM.

œeI Phép chiếu mt: TMM wr a. Bo ba (TM, 7,M) dude goi lA phan thé tiép xiic cia M. Cho TM = (T,M)* la khong gian déi ngdu cia TM tai x. Khi đó, không gian đối tiếp xúc của da tap M là TM = |) TIM.

reM Trường vectd Dinh nghia 1. Cho (TM, 7, M) 1A mét phân thớ tiếp xúc. hát cắt của T1 là một ánh xạ khả vi s : M4 —> TMI sao cho o s = Idyy. Tap cac nhat cat cha TM được kí hiệu là (71).

Một nhát cắt của phân thớ vectơ 7 được gọi là frường vecta trên VI. Dạng ngoài Giả sử .M là đa tạp đ chiều và z €. Ta ký hiệu APT7M là tập hợp các p-dạng phản đối xứng trên 7M. Dặt MPM = (J A'TTM.

zEM Noi riéng, ALM = T*M. Dạng ngoài bậc p trên M la anh xa yn ttt M vao APM sao cho 7 on = Id, trong dé z là phép chiếu chính tắc từ AI vào MI. Kí hiệu @?(4) là tập hợp dạng ngoài bậc p trên {. Chúng tôi nhắc lại một số phép toán của dạng ngoài.

Tích ngoài của dựng ngoài 1ị bậc p vdi dang ngodi 7 bac p’, ki hiéu n Aq, la dạng ngoài bậc p + được định nghĩa là 1. = ph," » sign(o)n(x)(Xo1); thờ : Xz@))(#)(Xzœ+n): thờ 'Ấz(p+p))› TES, 4 pl trong đó Ấ,., Xp¿„ trong 7;/M{, 5; là các hoán vị của {1,. Các tích trong của dạng ngoài 1 bậc p uới trường vecto X, ki hiéu i(X)n, la một dạng ngoài bậc p — 1 xác định bởi i(X)n(a)(Mi,., Ấp 1), với mọi Xị,. Đạo hàm ngoài là toán tử địa phương duy nhất từ O(MI) = C®(WI) ® Q1(X0 @.ƒ, với mọi trường vectơ X € I(7MI).

d) Véi mdi dang ngoai n € 2?(M) và n! € Q?'(Q), ta có đín A 1ƒ) = đị A1ƒ + (1n A dị, Ten-xd Dat E := T,M, 1a không gian tiếp xúc ctia da tap d chiéu M tai x. E* = Al(T*M) la khong gian déi ng&u., ea) IA cd sé ctia E va (e!,., e%) là cơ sở của #*. Với p,q là các số nguyên, fen-zơ kiểu (p,q) là một dạng tuyến tính xác định trên ExEx---xExE'xE"x-. p lan q lan 15 Nếu 7' là ten-xơ kiểu (p,g) và 7” là ten-xơ kiểu (p,ø') thì 7'@ 7” là một ten-xơ kiéu (p + p’,q+¢) sao cho (T @T’)(X,Y) = T(X)T'(Y).

Tập hợp các ten-xơ kiểu (p, g) là không gian vectơ có số chiều d?†%. Cơ sở của không gian vectơ này cho bởi ej Bj @-- BEV’ ®-+: eS es ” 4 với i,j,. Ví dụ, ten-xơ kiểu (2,1) có thể viết là T= The, @ ej @ ij k=1,.d Da tap Riemann Dinh nghia 1. Cho M IA da tap kha vi.

Mét ten-xo kiéu (2,0) g: C®(WI) x C*(M) —> C®(MI) sao cho 0z := 0ÌT,(M)x1,(M) : Tr(M) x Tr(M) — R (Xz, Yz) > Gx(Xx, Yz) = ø()(X, Y) là một tích vô hướng trên 77„⁄{, với mọi z € M, goi la mét metric Riemann trên M (dé don giản ta viết ø thay ø;). Ta nói (M1, g) là da tap Riemann. Vì tích vô hướng đối xứng nên g(+)(X,Y) = g(x)(Y, X) với mọi vectơ X,Y € T,M. Chú ý rằng, nếu (©, ¿) là bản đồ với hệ toạ độ tương ứng (z,.,#a) thì với mỗi z € ©) ta có ato) ((5-) @.

(52) @) =a a) Xét R# với metric Euelid sinh bởi tích vô hướng chính tắc ø trên không d d gian tiếp xúc 7„lR°. Cụ thể là nếu X = Yo a; 0 ,Y =>) " thì a On; j=l Ox; Vi du 1. d =1 16 Do đó 0¡j — Oi va d d GX, Y) = (X,Y) = » Ö¡j3⁄Uj = ». i=l ij=l Metric g 1A mot metric Riemann.

Khi do, (R?,g) 1A mot da tap Riemann. b) Mặt cầu đơn vị d+1 S:= Ệ =(a4,-.,%a11) ERO: Soa = 7 m VỚI 4 „(X,Y)= ~-~—53 (X,Y), aol XY) = Gy ye (XY) trong đó mọi € S*, X,Y € 7,94, (-,-) là tích vô hướng chính tắc, d |j#|= 3} 1z, với (%;) là toạ độ của điểm x trong ban dé (Qn, yn). Khi ij=l do, (S%,g) 1A mot da tap Riemann. c) Siêu mặt hyperbolic thực HỦ := {# = (zo.

Khi đó, (H#, g) 1a mot da tap Riemann. Bán kính nội xạ Cho (M,g) la da tap Riemann, x € M,v € T,M. Khi do, ton tai € > 0 va một đường trắc địa Cy : [0,<] 7 M de thoả mãn ¢,(0) = 2, S00) =v. Cho M 1a da tap Riemann, x € M, V, := {v € T,M : c„ xác định trên |0, I]}.

Ánh xạ exp, :V; > M uv C(1) được gọi là ánh xạ mũ. 17 Xét hinh cau Euclid d,(0) = {y € R*: |y| < p} C T,M. Cho M 1a da tap Riemann, + € M.