I. Giới thiệu về phương trình vi phân hàm trung tính
Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình vi phân hàm trung tính là một lĩnh vực quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân. Từ cuối thế kỷ XIX, H. Lyapanov đã khởi xướng nghiên cứu này, đặt nền tảng cho lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Trước đây, việc nghiên cứu thường tập trung vào việc tìm nghiệm tường minh thông qua tích phân. Tuy nhiên, không phải lúc nào việc tích phân cũng khả thi, dẫn đến việc các nhà toán học chuyển sang nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm mà không cần tìm nghiệm tường minh. Những vấn đề lớn trong lý thuyết này bao gồm tính ổn định và tính dao động của nghiệm. Khái niệm hàm số hầu tuần hoàn của Bohr đã mở ra hướng đi mới cho việc nghiên cứu tính dao động của nghiệm phương trình vi phân.
II. Nghiệm giới nội và nghiệm hầu tuần hoàn
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các loại nghiệm của phương trình vi phân hàm trung tính, bao gồm nghiệm giới nội và nghiệm hầu tuần hoàn. Định lý Massera là một trong những kết quả quan trọng trong lĩnh vực này, cho thấy rằng một phương trình có nghiệm tuần hoàn khi và chỉ khi nó có một nghiệm giới nội. Kết quả này đã được nhiều nhà nghiên cứu mở rộng và áp dụng cho các lớp phương trình khác nhau. Việc tìm kiếm các điều kiện để tiêu chuẩn Massera xảy ra là một thách thức lớn, và nhiều nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng tiêu chuẩn này có thể kiểm chứng được trong một số trường hợp cụ thể. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong lý thuyết phương trình vi phân.
III. Phương trình trung tính rời rạc và ứng dụng
Chương này nghiên cứu các phương trình trung tính rời rạc và thuần nhất, cùng với các ứng dụng của chúng. Việc nghiên cứu phương trình rời rạc thường nảy sinh tự nhiên trong lý thuyết phương trình vi phân. Đặc biệt, chương này áp dụng một kết quả để nghiên cứu nghiệm của phương trình tiến hoá không đặt chỉnh liên kết với một C-nửa nhóm cho trước. Khái niệm hàm hầu tuần hoàn tiệm cận được sử dụng để nghiên cứu các điều kiện phổ trong trường hợp phương trình thuần nhất. Các kết quả của chương này đã được công bố trong nhiều công trình nghiên cứu và cho thấy sự phát triển của lý thuyết dáng điệu tiệm cận trong bối cảnh phương trình vi phân hàm trung tính.
