I. Giới thiệu và mục tiêu nghiên cứu
Luận án tập trung vào dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ, một vấn đề trung tâm trong lý thuyết định tính các hệ vi phân tiến hóa. Mục tiêu chính là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu, và tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn của nghiệm. Các bao hàm thức vi phân này xuất phát từ nhiều bài toán thực tế trong sinh học, hóa học, kỹ thuật và kinh tế, nơi trễ thời gian đóng vai trò quan trọng. Luận án sử dụng các công cụ từ giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm, và định lý điểm bất động để phân tích các vấn đề này.
1.1. Bối cảnh và lý do chọn đề tài
Các bao hàm thức vi phân phát sinh từ nhiều bài toán thực tế, bao gồm bài toán điều khiển, chính quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục, và các bất đẳng thức vi biến phân. Trễ thời gian là yếu tố tự nhiên trong các hệ tiến hóa, giúp mô tả chính xác hơn các quá trình thực tế. Luận án tập trung vào các hệ không ô-tô-nôm, nơi tính chất không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy gây khó khăn trong việc áp dụng lý thuyết Lyapunov truyền thống.
1.2. Mục tiêu cụ thể
Luận án nhằm xây dựng các tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lực đa trị, chứng minh sự tồn tại tập hút lùi, và thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường. Ngoài ra, luận án cũng nghiên cứu tính hút của nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn, một vấn đề quan trọng trong các bài toán sinh-hóa và chuyển đổi tín hiệu.
II. Phương pháp nghiên cứu và công cụ sử dụng
Luận án sử dụng nhiều phương pháp và công cụ toán học để giải quyết các vấn đề nghiên cứu. Các công cụ chính bao gồm lý thuyết nửa nhóm, độ đo không compact, và giải tích đa trị. Đặc biệt, định lý điểm bất động cho ánh xạ nén được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và tính ổn định. Lược đồ nghiên cứu tập hút lùi của Caraballo và Kloeden được áp dụng để phân tích dáng điệu nghiệm của các hệ không ô-tô-nôm.
2.1. Lý thuyết nửa nhóm và độ đo không compact
Lý thuyết nửa nhóm được sử dụng để nghiên cứu tính giải được của các bao hàm thức vi phân. Các ước lượng theo độ đo không compact giúp kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lực, một yếu tố quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại tập hút lùi.
2.2. Giải tích đa trị và định lý điểm bất động
Giải tích đa trị và định lý điểm bất động cho ánh xạ nén được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của các bao hàm thức vi phân. Các kỹ thuật này đặc biệt hiệu quả trong việc xử lý các hệ không duy nhất nghiệm.
III. Kết quả chính và ứng dụng
Luận án đạt được nhiều kết quả quan trọng, bao gồm các tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lực, sự tồn tại tập hút lùi, và tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường. Các kết quả này được áp dụng vào các bài toán thực tế như hệ vi phân lưới, bài toán điều khiển với phản hồi đa trị, và các phương trình đạo hàm riêng.
3.1. Tập hút lùi cho hệ có trễ hữu hạn
Luận án đề xuất cách kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lực bằng cách chứng minh tính nén của toán tử GT,t trên không gian hàm trễ. Kết quả này được áp dụng cho hệ vi phân lưới, một mô hình quan trọng trong xử lý ảnh và kỹ thuật điện.
3.2. Tập hút lùi cho hệ có trễ vô hạn
Đối với hệ có trễ vô hạn, luận án đề xuất một tiêu chuẩn mới cho tính compact tiệm cận dựa trên tính co theo độ đo không compact. Kết quả này được áp dụng cho bài toán điều khiển với phản hồi đa trị, một vấn đề phức tạp trong lý thuyết điều khiển.
3.3. Tính ổn định tiệm cận yếu
Luận án sử dụng định lý điểm bất động để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho hệ có trễ vô hạn. Kết quả này được áp dụng cho bài toán điều khiển với phản hồi đa trị trong không gian Banach.
IV. Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo
Luận án đã đạt được các mục tiêu nghiên cứu đề ra, bao gồm việc xây dựng các tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận, chứng minh sự tồn tại tập hút lùi, và thiết lập tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân có trễ. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các kết quả này cho các hệ phức tạp hơn, chẳng hạn như các hệ ngẫu nhiên hoặc các hệ trong không gian vô hạn chiều.
