Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở bao gồm khái niệm về không gian ham Banach chấp nhận được trên toàn bộ đường thẳng R; khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nó; khái niệm về họ tiến hóa, nhị phân mũ của họ tiến hoá. e Chương 2: Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định địa phương thuộc ể-lớp của phương trình tiến hóa nửa 3 tuyến tính có dạng du bj p= Alult) + flt,u) voit eR (1) u(0) = uạ € X, ở đây, toán tử tuyến tính A() có thể không bị chặn sinh ra họ tiến hóa (U(t,s));>„ trên không gian Banach X, toán tử phi tuyến ƒ lấy giá trị trong không gian Banach và thỏa mãn điều kiện ¿-Lipschitz. Chứng minh tinh chat hit cia da tap khong ổn định địa phương và trình bày ứng dụng của lý thuyết này cho mô hình Fisher-Kolmogorov. Một số kết qủa của đề tài e Bài báo được đăng ở tạp chí khoa học Trường Đại học Hải Phòng: Dinh Xuan Khanh (2018), Da tạp bất biến chấp nhận được không ổn định diaf phương của phương trành tiến hóa tra tuyến tính chứa trễ.
e Đề tài NCKH sinh viên: Nguyễn Thành Luân, Hoàng Thanh phương, Da tạp tích phân không ổn định địa phương của phương trành tiến hóa mửa tuyến tính chúa trễ. CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, không gian hàm Banach chấp nhận được trên toàn bộ đường thang R (xem [14]), tính nhị phân mũ của họ tiến hoá.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian hàm chấp nhận được (xem [14]). Một không gian vector # gồm các hàm thực đo được Borel trên IR được gọi là không giøn hàm. Banach trên (R,, À), trong đó 8 là đại số Borel và À là độ đo Lebesgue trên IR, nếu nó thỏa mãn các điều kiện Sau: (1) Eg la dan Banach với chuẩn|| - ||z„, tức là, (Ea, || - ||z„) là không gian Banach và nếu ¿ € 2s, ý là hàm thực đo được Borel sao cho |ớ(-)| < I¿(-)|,À-hầu khắp nơi thì ý € #g và ||#||z; < lle||z:: (2) Hàm đặc trưng xa € 2g với mọi A € Ö có độ đo hữu hạn và supper |ÏX:¿+ijl[z¿ < %; imfseg ||Xr¿z+aJl[z; > 9; (3) Erp + Li¿se(R), tức là với mọi đoạn compact J C R tén tai 87 > 0 sao cho J, |f()|dt < Ø2|Íflls, với moi f € Bp.
Không gian hàm Banach #2 được gọi là chấp nhận được nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: (i) Tén tai hang s6 M > 1 sao cho moi [a,b] C R và moi y € Ep ta c6 b M(b— q) / i(ty|at < MOO pone. + Hơn nữa tồn tại Mị, Nz > 0 sao cho ||T*|/e < M, ||; |g < No voi moi TER. Không gian L,(R), 1 < p < oo, va không gian t+1 M = M(R):= J ƒ€ 1„(R): sup | f(z)|dr < 00 (1.1) teR t+1 với chuẩn ||ƒ|lw := sup ƒ |ƒ(7)|dr là các không gian ham Banach chấp nhận teR + được. Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như là không gian Lorentz L„„, l <ø < œ, l1 < g< œ cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được.
Nếu Ep 1A không gian hàm Banach chấp nhận được thi Ep M(R). Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được. Cho Eạ là không gian hàm Banach chấp nhận được. Tu có các khẳng định sau: (a) Cho p € Ly,toc(R) sao cho p > 0 va Ayp € Eg.
Voi moi o > 0 ta xác dinh Mop va Mp nhu sau: t Asz(9) = / etltlo(s)ds, Mp(t) = / oY p(s)ds. —O© t Khi do, Moy, Mp € Ep. Va ta c6 danh gid No l—e? Ni l1_-e IlA„ellz: < IA+7zllz. lA„ellz: < IAazlls.
(1-2) trong đó A7 va Ny, No duoc rác định trong Định nghĩa 1. Hơn nữa, nếu € M(R) (điều nàu được thoả mãn nếu @ € E (xem Chú y 1.4)) thi Mp va Alp bi chan va ta cing cé: No l—e? Ni l—e? |APlloo S ArT ello: Ao ¥lloo < |Arglloo (13) (b) Ep chita céc ham gidm cap mi e~¢!!| vdi moi t € R va hang 86 a > 0 66 dinh. (c) Ex khong chita céc ham tang cap mie? vdi moit € R va hang s6 b > 0 cố định. Tiếp theo chúng ta định nghĩa không gian liên kết của không gian hàm Banach như sau.
Cho # là không gian hàm Banach chấp nhận được và ký hiệu 5(#2ạ) là hình cầu đơn vị trong #g. Nếu T¡ ={g:R— R|ø là đo được và / |g(t)|dt < co} —oo thì định nghĩa tập ER tất cả các hàm nhận giá trị thực đo được trên ÏR sao cho pv € Ly, | \p(t)w(t)|dt < k voi moi y € S(Ee) +eR trong đó k chỉ phụ thuộc vào ÿ. Khi đó, 2 là không gian định chuẩn với chuẩn được cho bởi (xem [ð, Chương.]) leg == sup { [ teR Chúng ta gọi Fÿ là không gian liên kết của Ep. Cho F2; là khong gian ham Banach chap nhan dugc va EQ khong gian liên kết của nó.
Khi đó, từ [5, Chương.] ta có Bất đẳng thức Holder: / Iz()@)|# < lllz,|l0||; - với mọi g € Em, Ú € Bp. Gid stt Eg lA không gian hàm Banach chap nhận được sao cho khong gian lién két HQ cla né ciing 1a khong gian ham Banach chấp nhận được. Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng „ chứa hàm g-bất biến mã, nghĩa là với hàm ¿ € # dương, bất biến mũ và > 0 cố định hàm h„ được xác định bởi hy(t) = ||e ”"l¿(-)||z, vớiteTR (1.2 Bất đẳng thức nón Trong phần này, ta trình bày khái niệm nón và định lý về bất đẳng thức nón làm cơ sở để chứng mỉnh tính hút của đa tạp đối với các nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. Một tập đóng K trong không gian Banach W/ được gọi 1A non nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 8 () z€K thì Àz €K với mọi À > 0, (ii) 21,2 € K th #1 t#a€ K, (ii) +z € K thì z =0.
Cho nón K trong không gian Banach W/. Với +, € W ta xác định quan hệ z < nếu — z € K. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phan trén W. Cho nóớn K trong không gian Banach W sao cho K la bat biến uới toán tử A € £(W), A có bán kính phổra < 1.
Giả sử +z,z€ W thoả mãn # < Az-+-z. Khi đó, tồn tại € W là nghiệm của phương trình = Au + z 0à thoả mãn x < y. Dặt S+z := Az + z suy ra ø < Sz. Với mọi ø,9 : z < ụ ta có SụT— 5z = A(u— +) € K => Sx < Sy.
Theo quy nạp ta có n-1 S”+= A"r+ ` Az ¿=1 œ< 8œ < §°z<. Chon q sao cho r4 = lim ¥/||A"|| < ¢ < 1, suy ra ton tai N > 0: N—->Co || A" || <q’ Vn > N => lim ||A"z|| = 0. n—-oo Xét phuong trinh U= Au+z© (I— A)u=z. Do rg <1 suy ra (I — A)! vay = (I — A) tz = OX, A’z.
Ta 06 n-1 œ< S"ze@ A"z + Alz—aeK. ¡=0 Do K dong va cho n > oo ta suy ra x < ÿ.3 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Trong phần này, ta nhắc lại một số khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh (xem [9, 10]). Cho không gian Banach X, ho (T());>o C £(X) gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu: (Œ) 7Œ+s)=7)7@), Vt,s > 0, (ii) T(0) = I todn tir dong nhat, (ii) lim T(t) = T(0)x, Va € X. Toán tử 4: D1) C X — X xác định bởi.
1 At := jim, ro — #) trên miền xác định D(4) = ( Ex: tim, +(T(h)a — x) ton tại } gọi là toán 10 tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(£));>o trên không gian Banach X. Cho (A, 2(4)) là toán tử đóng trong không gian Banach X. Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là = {\EC| (AI — A) là song ánh}. Khi đó R(A, A) := (AT — A) },À€ p(4) là giải thức của A, ơ(4) := C\ ø(4) gọi là tập phổ của A.
Khi đó, ta có các tính chat sau: (i) NéuX€C sao cho R(A)x := Ïe-*T(t)ada ton tai, Vx € X, thi A € p(A) va R(A, A) = RA). +00 Chti ¥ rang, cong thtte R(A, A)x = f e-*T(s)ads goi là biểu diễn tích phân của giải thức. Tích phân ở đây là tích phân Riemamn suy rộng +00 t / e *T(s)ads = lim | e **T(s)zds.2 Tính ổn định và nhị phân mũ Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân mũ của nửa nhóm đó (xem [9, 10]). Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều: Định nghĩa 1.
Nửa nhóm liên tục mạnh (7());¿>o với toán tử sinh (A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại e > 0 sao cho lim e“||T(t)|| = 0. †->oœ Tiếp theo là khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm. Nửa nhóm (7(£));>o trên không gian Banach X được gọi là có nhị phân mũ (hoặc hụperbolic) nêu X có thể viết thành tổng trực tiếp X = X:@X¿, các không gian con đóng Xì, X¿ bất biến đối với (T'{));¿>o sao cho hạn chế (71(#));>o của (7());>o trên X, và (72(£))¿>o của (T());>o trên X;¿ thỏa mãn các điều kiện: () Nửa nhóm (T¡(#));>o là ổn định mũ đều trên X; () Nửa nhóm (7›(#));>o có nghịch đảo trên X¿ và (7;(£)~1);„o ổn định mũ đều trên X¿. Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũ của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng của nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây.
Cho A: D(A) C X > X là toán tử đóng trên không gian Banach X. Khi đó s(A) := sup{Red : A € o(A)} được gọi là cận phổ của A. Cho nửa nhóm liên tục mạnh 7 = (T())¡>o với toán tử sinh (4, D(1)). Khi đó, số thực Wo i= wo(T ) = wo(A) = int €R:4M > 1 sao cho ||T(t)|| < Me", Vt > of được gọi là cận tăng của 7.
Tuy nhiên, người ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử sinh vì trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh có thể xác định cụ thể.