Luận văn thạc sĩ về các phép biến hình theo quan điểm nhóm trong toán học

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu hay nghiên cứu các phép biến hình theo quan điểm nhóm, khảo sát thực trạng, phân tích nguyên nhân, đề xuất giải pháp cải thiện thực tiễn.

• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Danh Nam
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
• Đề tài: Nghiên Cứu Các Phép Biến Hình Theo Quan Điểm Nhóm
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
• 1.1. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH
• 1.2. Tích các phép biến hình
• 1.3. Phép biến hình afin
• 1.4. Nhóm afin
• 1.5. Bất biến của nhóm afin
• 2. NHÓM XẠ ẢNH
• 2.1. Phép biến hình xạ ảnh
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về các phép biến hình trong toán học nhóm

Các phép biến hình trong toán học là một lĩnh vực quan trọng, đặc biệt khi nghiên cứu từ quan điểm nhóm. Chúng không chỉ giúp định nghĩa các hình mà còn bảo toàn các tính chất hình học. Việc hiểu rõ về các phép biến hình sẽ giúp giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp. Theo nghiên cứu của Đào Quang Duy, các phép biến hình được phân loại thành nhiều nhóm khác nhau, mỗi nhóm có những đặc điểm và ứng dụng riêng.

1.1. Khái niệm và định nghĩa về phép biến hình

Phép biến hình được định nghĩa là ánh xạ từ mặt phẳng hoặc không gian lên chính nó. Mỗi điểm trong không gian sẽ có một ảnh tương ứng qua phép biến hình. Điều này tạo ra các hình mới từ các hình đã cho, giúp nghiên cứu các tính chất hình học.

1.2. Lịch sử phát triển của phép biến hình

Khái niệm về phép biến hình đã được phát triển từ thời kỳ cổ đại, với những đóng góp quan trọng từ các nhà toán học như Euclid và Felix Klein. Họ đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm, giúp hình thành các lý thuyết hiện đại.

II. Vấn đề và thách thức trong nghiên cứu phép biến hình

Mặc dù các phép biến hình đã được nghiên cứu rộng rãi, nhưng vẫn còn nhiều thách thức trong việc áp dụng chúng vào các bài toán thực tiễn. Một trong những vấn đề lớn là xác định các bất biến của các nhóm biến hình khác nhau. Điều này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các tính chất hình học và cách chúng tương tác với nhau.

2.1. Các thách thức trong việc xác định bất biến

Việc xác định các bất biến của nhóm biến hình là một thách thức lớn. Các nhà nghiên cứu cần phát triển các phương pháp mới để phân tích và chứng minh các tính chất này, từ đó áp dụng vào các bài toán hình học cụ thể.

2.2. Ứng dụng thực tiễn của phép biến hình

Các phép biến hình không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như vật lý, đồ họa máy tính và kiến trúc. Việc hiểu rõ về chúng sẽ giúp cải thiện các kỹ thuật thiết kế và phân tích hình học.

III. Phương pháp nghiên cứu các phép biến hình trong nhóm

Nghiên cứu các phép biến hình theo quan điểm nhóm yêu cầu sử dụng các phương pháp toán học hiện đại. Các phương pháp này bao gồm phân tích đại số, hình học và lý thuyết nhóm. Việc áp dụng các phương pháp này giúp làm rõ mối quan hệ giữa các phép biến hình và các tính chất hình học.

3.1. Phân tích đại số trong nghiên cứu phép biến hình

Phân tích đại số là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu các phép biến hình. Nó cho phép xác định các tính chất bất biến và mối quan hệ giữa các nhóm biến hình khác nhau.

3.2. Hình học và lý thuyết nhóm trong nghiên cứu

Hình học và lý thuyết nhóm cung cấp nền tảng cho việc phân loại và phân tích các phép biến hình. Sự kết hợp giữa hai lĩnh vực này giúp phát triển các lý thuyết mới và ứng dụng trong thực tiễn.

IV. Ứng dụng thực tiễn của các phép biến hình trong toán học

Các phép biến hình có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Chúng được sử dụng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp, từ đó giúp phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

4.1. Ứng dụng trong giải toán hình học

Các phép biến hình giúp giải quyết nhiều bài toán hình học, từ việc chứng minh các tính chất hình học đến việc tìm kiếm các hình tương đương. Điều này rất quan trọng trong giáo dục toán học.

4.2. Ứng dụng trong đồ họa máy tính

Trong đồ họa máy tính, các phép biến hình được sử dụng để tạo ra các hình ảnh 3D từ các mô hình 2D. Điều này giúp cải thiện trải nghiệm người dùng và tạo ra các sản phẩm trực quan hơn.

V. Kết luận và tương lai của nghiên cứu phép biến hình

Nghiên cứu các phép biến hình theo quan điểm nhóm mở ra nhiều hướng đi mới cho toán học. Tương lai của lĩnh vực này hứa hẹn sẽ có nhiều phát triển mới, đặc biệt trong việc ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau. Việc tiếp tục nghiên cứu và phát triển các phương pháp mới sẽ giúp nâng cao hiểu biết về các phép biến hình.

5.1. Tương lai của nghiên cứu phép biến hình

Nghiên cứu về các phép biến hình sẽ tiếp tục phát triển, với nhiều ứng dụng mới trong các lĩnh vực như vật lý, khoa học máy tính và kỹ thuật. Điều này sẽ mở ra nhiều cơ hội cho các nhà nghiên cứu và sinh viên.

5.2. Khuyến khích nghiên cứu và ứng dụng

Khuyến khích các nhà nghiên cứu và sinh viên tham gia vào các dự án nghiên cứu về phép biến hình sẽ giúp phát triển lĩnh vực này. Việc chia sẻ kiến thức và kinh nghiệm sẽ tạo ra một cộng đồng nghiên cứu mạnh mẽ.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Phép biến hình là một công cụ quan trọng trong hình học, được sử dụng để nghiên cứu các tính chất bất biến của các hình học khác nhau. Theo báo cáo ngành, việc nghiên cứu các nhóm phép biến hình đã trở thành một lĩnh vực trọng tâm trong toán học hiện đại, đặc biệt trong hình học sơ cấp và hình học đại số. Luận văn tập trung nghiên cứu các phép biến hình theo quan điểm nhóm, bao gồm nhóm afin, nhóm xạ ảnh, nhóm dời hình, nhóm đồng dạng và nhóm tròn trong mặt phẳng, nhằm hệ thống hóa các bất biến và ứng dụng của chúng trong giải toán sơ cấp.

Mục tiêu nghiên cứu là phân tích chi tiết các nhóm phép biến hình 1-1 trong không gian hai và ba chiều, xác định các bất biến đặc trưng của từng nhóm, đồng thời vận dụng các bất biến này để giải quyết các bài toán hình học sơ cấp. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các nhóm biến hình trong mặt phẳng và không gian, với các ví dụ minh họa và bài toán ứng dụng cụ thể trong hình học Ơclít và hình học xạ ảnh.

Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển phương pháp giải toán hình học dựa trên các phép biến hình, giúp nâng cao hiệu quả và tính sáng tạo trong giảng dạy và học tập hình học ở bậc phổ thông và đại học. Các chỉ số đánh giá hiệu quả bao gồm số lượng bài toán được giải thành công, mức độ ứng dụng của các bất biến trong thực tế giảng dạy, và sự phát triển của các mô hình hình học mới dựa trên nhóm biến hình.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên lý thuyết nhóm biến hình, trong đó tập hợp các phép biến hình 1-1 trong mặt phẳng hoặc không gian với phép toán tích lập thành một nhóm. Các nhóm chính được nghiên cứu gồm:

• Nhóm Afin (Af(An)): Tập hợp các phép biến hình afin biến không gian afin An thành chính nó, bảo toàn tính thẳng hàng, đồng phẳng, tỉ số đơn và tính song song. Nhóm này là nhóm con của nhóm biến hình 1-1.

• Nhóm Xạ ảnh (Af(Pn)): Tập hợp các phép biến hình xạ ảnh của không gian xạ ảnh Pn, bảo toàn các tính chất xạ ảnh như thẳng hàng, đồng quy, tỉ số kép. Nhóm này chứa nhóm afin và mở rộng phạm vi nghiên cứu.

• Nhóm Dời hình (Isom(En)): Tập hợp các phép dời hình bảo toàn khoảng cách trong không gian Ơclít En, bao gồm các phép tịnh tiến, đối xứng, quay. Nhóm này là nhóm con của nhóm afin.

• Nhóm Đồng dạng: Tập hợp các phép đồng dạng bảo toàn tỉ số độ dài và góc, mở rộng nhóm dời hình.

• Nhóm Tròn trong mặt phẳng: Bao gồm các phép biến hình bảo toàn đường tròn, trong đó phép nghịch đảo đóng vai trò quan trọng, biến đổi đường thẳng thành đường tròn và ngược lại.

Các khái niệm chính bao gồm phép biến hình 1-1, bất biến của nhóm biến hình, tỉ số đơn, tỉ số kép, phép nghịch đảo, phép vị tự, và các khái niệm hình học liên quan như đường thẳng, đường tròn, tam giác, tứ diện.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp phân tích lý thuyết kết hợp với phương pháp chứng minh hình học và mô hình hóa toán học. Cỡ mẫu nghiên cứu là toàn bộ các nhóm biến hình 1-1 trong không gian hai và ba chiều, với các phép biến hình cơ bản và các nhóm con đặc trưng.

Phương pháp chọn mẫu là lựa chọn các nhóm biến hình tiêu biểu có tính ứng dụng cao trong hình học sơ cấp và đại học. Phân tích được thực hiện qua các bước:

• Xác định các tính chất bất biến của từng nhóm biến hình.

• Xây dựng mô hình toán học cho các nhóm biến hình và các phép biến hình cơ bản.

• Áp dụng các bất biến để giải các bài toán hình học sơ cấp, bao gồm chứng minh thẳng hàng, đồng quy, song song, tính tiếp xúc và trực giao.

• So sánh kết quả với các nghiên cứu trước đây và các mô hình hình học khác như hình học Ơclít, hình học xạ ảnh.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng 12 tháng, bao gồm giai đoạn thu thập tài liệu, xây dựng lý thuyết, thực hiện các bài toán minh họa, và tổng hợp kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Nhóm biến hình 1-1 lập thành nhóm với phép tích: Tập hợp các phép biến hình 1-1 trong mặt phẳng hoặc không gian với phép toán tích đóng kín, có phần tử đơn vị là phép đồng nhất và tồn tại phép biến hình đảo ngược. Điều này tạo nền tảng cho việc nghiên cứu các nhóm con như nhóm afin, nhóm xạ ảnh, nhóm dời hình.

2. Bất biến của nhóm Afin: Nhóm afin bảo toàn tính thẳng hàng, đồng phẳng, tỉ số đơn, tính song song và các khái niệm như trung điểm, đường trung bình, trọng tâm. Ví dụ, trong mặt phẳng, phép biến hình afin biến tam giác thành tam giác tương đương afin với các tính chất bất biến được giữ nguyên.

3. Bất biến của nhóm Xạ ảnh: Nhóm xạ ảnh mở rộng nhóm afin, bảo toàn các tính chất xạ ảnh như tỉ số kép, đồng quy, hàng điểm điều hòa. Các phép biến hình xạ ảnh có thể biến đường thẳng thành đường tròn và ngược lại, tạo điều kiện giải quyết các bài toán về đường tròn và tiếp xúc.

4. Bất biến của nhóm Dời hình và Đồng dạng: Nhóm dời hình bảo toàn khoảng cách và góc, nhóm đồng dạng bảo toàn tỉ số độ dài và góc, mở rộng nhóm dời hình. Ví dụ, định lý Pitago là bất biến của nhóm dời hình, trong khi định lý Talét là bất biến của nhóm afin và đồng dạng.

5. Ứng dụng phép nghịch đảo trong nhóm tròn: Phép nghịch đảo biến đổi đường thẳng thành đường tròn và ngược lại, bảo toàn góc và tính tiếp xúc, giúp giải các bài toán liên quan đến đường tròn, tính tiếp xúc và trực giao.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy các nhóm biến hình có cấu trúc nhóm chặt chẽ, với các bất biến đặc trưng phù hợp với từng loại hình học. Việc phân biệt rõ ràng các bất biến của nhóm afin, xạ ảnh, dời hình và đồng dạng giúp xác định phạm vi áp dụng và phương pháp giải toán phù hợp.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã hệ thống hóa các nhóm biến hình theo quan điểm nhóm, đồng thời mở rộng ứng dụng vào giải toán sơ cấp, đặc biệt là các bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy, song song, và các bài toán về đường tròn.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng tổng hợp các bất biến của từng nhóm và biểu đồ thể hiện mối quan hệ bao hàm giữa các nhóm biến hình (nhóm xạ ảnh ⊃ nhóm afin ⊃ nhóm đồng dạng ⊃ nhóm dời hình).

Ý nghĩa của nghiên cứu nằm ở việc cung cấp một khung lý thuyết thống nhất cho việc vận dụng các phép biến hình trong giảng dạy và giải toán hình học, giúp nâng cao hiệu quả và tính sáng tạo trong học thuật.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển tài liệu giảng dạy dựa trên nhóm biến hình: Xây dựng giáo trình và bài tập minh họa các bất biến của nhóm biến hình, giúp học sinh và sinh viên hiểu sâu về các phép biến hình và ứng dụng trong giải toán. Thời gian thực hiện: 6-12 tháng; Chủ thể: các trường đại học, trung tâm đào tạo.

2. Ứng dụng mô hình xạ ảnh và afin trong giải toán sơ cấp: Khuyến khích sử dụng mô hình xạ ảnh và afin để giải các bài toán hình học sơ cấp, đặc biệt các bài toán về thẳng hàng, đồng quy, tiếp xúc. Thời gian: liên tục; Chủ thể: giáo viên, học sinh.

3. Tổ chức hội thảo chuyên đề về nhóm biến hình và ứng dụng: Tạo diễn đàn trao đổi giữa các nhà toán học, giáo viên để cập nhật kiến thức và phương pháp mới. Thời gian: hàng năm; Chủ thể: các viện nghiên cứu, trường đại học.

4. Phát triển phần mềm hỗ trợ giải toán hình học dựa trên nhóm biến hình: Xây dựng công cụ tính toán và minh họa các phép biến hình, giúp người học trực quan hóa các bất biến và giải bài toán hiệu quả. Thời gian: 12-18 tháng; Chủ thể: các nhóm nghiên cứu công nghệ giáo dục.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên và giảng viên toán học: Nâng cao kiến thức về phép biến hình và ứng dụng trong giảng dạy hình học sơ cấp và đại học, giúp thiết kế bài giảng và bài tập hiệu quả.

2. Sinh viên ngành Toán học và Sư phạm Toán: Hiểu sâu về lý thuyết nhóm biến hình, các bất biến và phương pháp giải toán hình học hiện đại.

3. Nhà nghiên cứu toán học ứng dụng: Khai thác các mô hình biến hình trong nghiên cứu hình học, hình học đại số và các lĩnh vực liên quan.

4. Học sinh trung học phổ thông có định hướng chuyên sâu về toán học: Tiếp cận các phương pháp giải toán hình học nâng cao, phát triển tư duy logic và sáng tạo.

Câu hỏi thường gặp

1. Phép biến hình là gì và tại sao lại quan trọng trong hình học?
   Phép biến hình là ánh xạ từ mặt phẳng hoặc không gian lên chính nó, biến đổi các điểm theo quy tắc nhất định. Nó quan trọng vì giúp nghiên cứu các tính chất bất biến của hình học, từ đó giải quyết các bài toán hình học hiệu quả.

2. Nhóm afin khác nhóm dời hình như thế nào?
   Nhóm afin bảo toàn tính thẳng hàng, đồng phẳng và tỉ số đơn, trong khi nhóm dời hình bảo toàn khoảng cách và góc. Nhóm dời hình là nhóm con của nhóm afin, có tính chất phong phú hơn về bất biến.

3. Phép nghịch đảo có ứng dụng gì trong giải toán?
   Phép nghịch đảo biến đổi đường thẳng thành đường tròn và ngược lại, bảo toàn góc và tính tiếp xúc, giúp giải các bài toán liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến và trực giao một cách đơn giản và trực quan.

4. Làm thế nào để xác định một tính chất là bất biến của nhóm biến hình?
   Một tính chất là bất biến nếu nó không thay đổi khi áp dụng bất kỳ phép biến hình nào thuộc nhóm đó. Ví dụ, tính thẳng hàng là bất biến của nhóm afin và xạ ảnh.

5. Có thể áp dụng các nhóm biến hình vào giảng dạy hình học phổ thông không?
   Có, việc áp dụng các nhóm biến hình giúp học sinh phát triển tư duy hình học, hiểu sâu về các phép biến hình và giải bài toán hình học một cách sáng tạo và hiệu quả.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa các nhóm phép biến hình 1-1 trong không gian hai và ba chiều, xác định các bất biến đặc trưng của từng nhóm.
• Nghiên cứu làm rõ mối quan hệ bao hàm giữa các nhóm biến hình và hình học tương ứng như hình học afin, xạ ảnh, Ơclít, đồng dạng.
• Vận dụng các bất biến của nhóm biến hình để giải các bài toán hình học sơ cấp, nâng cao hiệu quả và tính sáng tạo trong giải toán.
• Đề xuất phát triển tài liệu giảng dạy, tổ chức hội thảo và phát triển phần mềm hỗ trợ dựa trên nhóm biến hình.
• Khuyến khích các đối tượng từ giáo viên, sinh viên đến nhà nghiên cứu và học sinh chuyên sâu tham khảo để nâng cao kiến thức và ứng dụng thực tiễn.

Next steps: Triển khai các đề xuất về tài liệu và công cụ hỗ trợ, đồng thời mở rộng nghiên cứu sang các nhóm biến hình phức tạp hơn và ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác.

Các nhà nghiên cứu và giảng viên được khuyến khích áp dụng và phát triển thêm các phương pháp dựa trên nhóm biến hình để nâng cao chất lượng giảng dạy và nghiên cứu hình học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH 1. Định nghĩa Trong mặt phẳng hoặc không gian cho một quy tắc f. Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng hoặc không gian ta xác định được duy nhất một điểm M’ thuộc mặt phẳng hoặc không gian theo quy tắc đã cho hay nói cách khác f là một ánh xạ trong mặt phẳng hoặc không gian.

Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép biến hình f, M được gọi là tạo ảnh của M’ và được kí hiệu f: M  M’. Nếu quy tắc f được xác định cho mọi điểm của mặt phẳng hoặc không gian thì f được gọi là một phép biến hình trong trong mặt phẳng hoặc không gian. Như vậy ta thấy mỗi ảnh của một điểm M trong phép biến hình có thể có nhiều tạo ảnh. Do đó, ánh xạ f không nhất thiết là một song ánh.

Nếu mỗi ảnh của một điểm M bất kì trong mặt phẳng ứng với một tạo ảnh duy nhất là M, tức là ánh xạ f là song ánh thì ta nói f là một phép biến hình 1-1. Ví dụ về các phép biến hình 1-1: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay, phép nghịch đảo. Điểm M trong mặt phẳng hoặc không gian được gọi là điểm bất động (hay điểm kép) của một phép biến hình f nếu f(O) = O. Nếu mọi điểm của mặt phẳng hoặc không gian đều là điểm bất động của f thì f được gọi là phép đồng nhất, kí hiệu là e(M) = M, với mọi điểm M.

Trong mặt phẳng hoặc không gian cho một phép biến hình f và một hình H. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc hình H qua phép biến hình đó tạo thành một hình H’ được gọi là ảnh của hình H và được kí hiệu là f: H  H’ hoặc được viết dưới ngôn ngữ tập hợp là H’ = {M’| M’ = f(M),  M  H}. Nếu f(H) = H thì hình H được gọi là bất động (hay bất biến) qua phép biến hình f. Đặc biệt, nếu H là bất biến đối với phép biến hình f mà mọi điểm của H đều bất động thì hình H được gọi là hình cố định hay hình bất động hoàn toàn.

Chẳng hạn, trong phép đối xứng tâm ĐO tâm đối xứng O là điểm bất động duy nhất và mọi đường thẳng đi qua điểm O đều bất LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Trong phép đối xứng trục Đd thì trục đối xứng d là hình bất động hoàn toàn và mọi đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vuông góc với d đều là bất biến. Trong chương trình sách giáo khoa phổ thông, ở bậc THCS, “phép biến hình” chỉ xuất hiện ngầm ẩn. Lúc này, các từ “phép”, “biến thành… ”, “ảnh” không được sử dụng, vì học sinh chưa được học khái niệm ánh xạ.

Cụ thể, sách giáo khoa đề cập đến đối xứng trục, đối xứng tâm mà không nói đến phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm. Tuy nhiên, ở bậc THPT, phép biến hình được hiểu là một ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm và “đặc trưng hàm” xuất hiện. Tích các phép biến hình Trong mặt phẳng hoặc không gian cho hai phép biến hình f và g. Với mỗi điểm M, f:M  M’ và g: M’ M”.

Phép biến hình biến M  M” được gọi là tích của hai phép biến hình đã cho và được kí hiệu g.f là một phép đồng nhất thì ta nói g là phép biến hình đảo ngược của f. Nếu ff = f2 = e thì ta nói phép biến hình có tính chất đối hợp. Các phép biến hình có tính chất đối hợp như phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đối xứng qua mặt phẳng và phép nghịch đảo. Cho n phép biến hình f1, f2,…,fn-1, fn.

Tích của n phép biến hình đã cho là một phép biến hình được thực hiện một cách liên tiếp theo một thứ tự xác định và được kí hiệu là f = fnfn-1f2f1. Tích các phép biến hình có những tính chất sau đây: 1) Tính chất kết hợp, nghĩa là f(gh) = (fg)h = fgh. Điều này có được do tích các ánh xạ có tính chất kết hợp. Như vậy, bao giờ cũng có thể thay hai hoặc nhiều phép biến hình liên tiếp bởi tích của chúng, hoặc ngược lại, có thể thay một phép biến hình nào đó bởi một tích tương đương.

2) Nói chung, tích các phép biến hình không có tính chất giao hoán. Tích hai phép biến hình f và g được gọi là giao hoán nếu fg = gf. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 7 3) Trong tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng hoặc không gian, phép đồng nhất e là phần tử đơn vị của phép toán tích: ef = fe = f, f. 4) Nếu phép biến hình f là song ánh, tồn tại phép biến hình đảo ngược của f.

Khi đó, tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất e: f-1f = ff-1 = e, f Định lý 1. Tập hợp các phép biến hình 1-1 trong mặt phẳng hoặc không gian với phép toán tích các phép biến hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép biến hình 1-1 hay nhóm biến hình 1-1. Dễ thấy tích của hai phép biến hình 1-1 là một phép biến hình 1-1 (vì tích của hai song ánh là một song ánh). Do vậy, phép toán tích hai phép biến hình đóng kín.

1) Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của phép toán tích các song ánh). 2) Phần tử đơn vị của nhóm là phép đồng nhất e (vì phép đồng nhất là một song ánh). 3) Với mỗi phép biến hình f đều tồn tại phép biến hình đảo ngược f -1 (do f là song ánh) thỏa mãn đẳng thức: ff -1 = f -1f = e (e là phép đồng nhất). Vậy, tập hợp các phép biến hình 1-1 trong mặt phẳng hoặc không gian cùng với phép toán tích lập thành một nhóm.

Một tính chất của hình H được gọi là bất biến đối với nhóm G nếu nó không thay đổi khi ta dùng một phép biến đổi f thuộc G để biến hình H thành một hình khác. Như vậy, ta có thể nói rằng, một tính chất của hình H sẽ gọi là bất biến đối với nhóm G nếu mọi hình H' tương đương với H đối với nhóm G đều có tính chất đó. Hình học nghiên cứu các bất biến của một nhóm được gọi là hình học của nhóm đó. Ví dụ, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm xạ ảnh gọi là hình học xạ ảnh, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm afin gọi là hình học afin, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm dời hình gọi là hình học Ơclít,… Nếu ta xét một nhóm con G’ của nhóm G thì giữa hình học của các nhóm con G’ và hình học của nhóm G có mối quan hệ sau đây: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Do đó những kết quả tìm thấy trong hình học của nhóm G đều áp dụng được vào cho hình học của nhóm G’. (ii) Có những bất biến của nhóm G’ mà không phải bất biến của nhóm G, nghĩa là hình học của nhóm G’ phong phú hơn hình học của nhóm G. Như vậy, nhóm càng rộng thì tính chất hình học của nhóm càng ít, nhưng phạm vi áp dụng của nó càng rộng; nhóm càng hẹp thì các tính chất hình học của nhóm càng phong phú, nhưng phạm vi áp dụng của nó càng hẹp. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ đi nghiên cứu những nhóm con của nhóm biến hình 1-1 trong không gian 2 chiều và không gian 3 chiều.

Phép biến hình afin Trong mặt phẳng hoặc không gian, phép biến hình 1-1 biến mặt phẳng hoặc không gian thành chính nó, biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng được gọi là phép afin hay phép biến hình afin. Một phép biến hình afin trên mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu ta biết ba điểm không thẳng hàng, hơn nữa nếu A, B, C và A’, B’, C’ là hai tam giác trên mặt phẳng thì tồn tại duy nhất phép biến hình afin biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Tương tự như vậy, một phép biến hình afin trong không gian hoàn toàn được xác định nếu ta biết bốn điểm không đồng phẳng, hơn nữa nếu A, B, C, D và A’, B’, C’, D’ là hai tứ diện trong không gian thì tồn tại duy nhất phép biến hình afin biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’. Từ đó ta có kết quả, trong mặt phẳng, phép biến hình afin là phép đồng nhất khi và chỉ khi nó có ba điểm bất động không thẳng hàng.

Nếu phép biến hình afin f có hai điểm bất động phân biệt A, B thì mọi điểm nằm trên đường thẳng AB đều là điểm bất động. Tương tự, trong không gian, phép biến hình afin là phép đồng nhất khi và chỉ khi nó có bốn điểm bất động không đồng phẳng. Nếu phép biến hình afin f có ba điểm bất động phân biệt A, B, C thì mọi điểm nằm trên mặt phẳng (ABC) đều là điểm bất động. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Nhóm afin Định lý 1. Xét tập hợp Af(An) gồm các phép biến hình afin của không gian afin An. Khi đó, Af(An) lập thành một nhóm đối với phép toán tích của hai phép biến hình afin, được gọi là nhóm afin. Với n = 2 và n = 3, ta có nhóm afin trong mặt phẳng và nhóm afin trong không gian.

Nhóm afin là nhóm con của nhóm các phép biến hình 1-1. Thật vậy, tích của hai phép biến hình afin là một phép biến hình afin nên phép toán đóng kín. 1) Phép toán có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của phép toán tích các phép biến hình 1-1). 2) Phép toán có phần tử đơn vị e (phép đồng nhất e là một phép biến hình afin).

3) Với mỗi phép biến hình afin f, luôn tồn tại phép biến hình afin f -1 sao cho: ff -1 = f -1f = e. Nói chung, tích fg  gf nên nhóm afin không phải là nhóm giao hoán. Bất biến của nhóm afin Bất biến afin. Các tính chất bất biến đối với nhóm các phép biến hình afin trong không gian afin An được gọi là các tính chất afin hay các bất biến afin.

Nói cách khác, tính chất afin của một hình được bảo toàn qua một phép biến hình afin bất kì.