I. Tổng Quan Nghiên Cứu Lớp Cegrell và Phương Trình Hessian
Luận văn tập trung nghiên cứu về các lớp Cegrell của hàm m-điều hòa dưới và phương trình Hessian trong các lớp Cegrell này. Đây là một lĩnh vực quan trọng trong giải tích phức đa biến. Nghiên cứu này nhằm mục đích tổng quát hóa các lớp Cegrell cho trường hợp hàm đa điều hòa dưới, đồng thời đi sâu vào sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian phức suy biến. Bài toán này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ cấu trúc của các hàm điều hòa và các không gian liên quan. Các công cụ và kết quả thu được có thể ứng dụng trong nhiều bài toán khác nhau của giải tích phức và hình học. Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “ Các lớp Cegrell của hàm m - điều hoà dưới và Phương trình Hessian trong các lớp Cegrell“. Luận văn sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. Nội dung luận văn gồm 49 trang, trong đó có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
1.1. Giới thiệu hàm m điều hòa dưới và toán tử Hessian
Luận văn bắt đầu bằng việc giới thiệu các khái niệm cơ bản về hàm điều hòa dưới, hàm m-điều hòa dưới, và toán tử Hessian. Các định nghĩa và tính chất của các đối tượng này được trình bày một cách chi tiết. Đặc biệt, luận văn đi sâu vào các tính chất liên quan đến tính dương của các dạng vi phân và mối liên hệ giữa hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hoà dưới và toán tử Hessian, m - dung lượng tương đối và hàm m - cực trị tương đối.
1.2. Định nghĩa Lớp Cegrell và vai trò trong nghiên cứu
Lớp Cegrell đóng vai trò trung tâm trong nghiên cứu này. Đây là một lớp các hàm điều hòa dưới có tính chất đặc biệt về năng lượng. Luận văn trình bày các định nghĩa khác nhau về lớp Cegrell và mối liên hệ giữa chúng. Các tính chất quan trọng của lớp Cegrell, như tính chính quy và tính đầy đủ, cũng được thảo luận chi tiết. Chương 2: Trình bày một số kết quả về các lớp Cegrell của hàm m - điều hoà dưới.
II. Phương Pháp Giải Phương Trình Hessian Trong Lớp Cegrell
Một trong những mục tiêu chính của luận văn là nghiên cứu phương trình Hessian trong lớp Cegrell. Bài toán này liên quan đến việc tìm nghiệm của một phương trình vi phân riêng phần phi tuyến. Luận văn trình bày các phương pháp khác nhau để giải phương trình Hessian, bao gồm phương pháp liên tục và phương pháp thế vị. Các điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm cũng được thảo luận. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian phức suy biến (dd cj )m Ù b n - m = m, trong đó µ là độ đo Radon dương suy biến.
2.1. Nguyên lý so sánh và ứng dụng trong Phương trình Hessian
Nguyên lý so sánh đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính duy nhất của nghiệm phương trình Hessian. Luận văn trình bày các phiên bản khác nhau của nguyên lý so sánh và cách chúng được sử dụng để suy ra tính duy nhất nghiệm. Chương 3: Trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp Cegrell.
2.2. Sử dụng Hàm thế để giải Phương trình Hessian
Hàm thế là một công cụ quan trọng trong việc giải phương trình Hessian. Luận văn trình bày cách xây dựng hàm thế cho các lớp bài toán cụ thể và cách sử dụng chúng để tìm nghiệm. Các tính chất của hàm thế, như tính liên tục và tính chính quy, cũng được thảo luận. Cho WÐ C n , u, v Î SH m (W) Ç L¥loc . Giả sử u, v Î SH m (W) Ç L¥loc sao cho lim (u(z ) - v(z )) ³ 0.
III. Sự Tồn Tại và Duy Nhất Nghiệm Phương Trình Hessian
Luận văn chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình Hessian trong lớp Cegrell dưới các điều kiện nhất định. Các điều kiện này liên quan đến tính chính quy của dữ liệu biên và tính chất của độ đo Radon. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu rõ cấu trúc của lớp Cegrell và phương trình Hessian. Cho W là miền bị chặn trong C n và u, v Î SH m (W) Ç L¥loc sao cho u Ā v trên ¶ W và H m (u ) ³ H m (v ) .
3.1. Điều kiện về Điều kiện biên để tồn tại nghiệm
Luận văn trình bày các điều kiện về điều kiện biên để đảm bảo sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian. Các điều kiện này có thể là các điều kiện liên tục hoặc các điều kiện yếu hơn, tùy thuộc vào phương pháp giải. Luận văn cũng thảo luận về mối liên hệ giữa điều kiện biên và tính chất của nghiệm. Dinew và Kolodziej đã chứng minh rằng với điều kiện biên liên tục đã cho, bài toán Dirichlet của phương trình (1.1) có một nghiệm liên tục duy nhất.
3.2. Vai trò của Dung lượng phức trong sự tồn tại nghiệm
Dung lượng phức là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian. Luận văn trình bày cách sử dụng dung lượng phức để đánh giá kích thước của tập các điểm kỳ dị của nghiệm và để chứng minh sự tồn tại nghiệm dưới các điều kiện nhất định. Cho E Ì W là tập Borel. m - dung lượng của E đối với W được định nghĩa như sau Capm (E , W) = sup {ò H (j ) / SH (W) , 0 Ā j Ā 1}.
IV. Ứng Dụng Của Nghiên Cứu Hessian trong Hình Học Phức
Nghiên cứu về phương trình Hessian và lớp Cegrell có nhiều ứng dụng trong hình học phức. Các kết quả thu được có thể được sử dụng để nghiên cứu các không gian Kähler, các đa tạp Calabi-Yau, và các đối tượng hình học khác. Ngoài ra, nghiên cứu này cũng có thể có ứng dụng trong vật lý lý thuyết. Ông đã sử dụng phương pháp liên tục để giải bài toán Dirichlet không suy biến cho phương trình (1.1) trong các miền m - giả lồi mạnh.
4.1. Ứng dụng trong Nghiên cứu Không gian Kähler
Không gian Kähler là một loại không gian hình học phức đặc biệt có nhiều ứng dụng trong toán học và vật lý. Luận văn trình bày cách sử dụng các kết quả về phương trình Hessian để nghiên cứu cấu trúc của không gian Kähler và để giải các bài toán liên quan. Ký hiệu b là dạng Kahler chuẩn trong C n và W là một miền m - siêu lồi bị chặn trong Ā n , tức là tồn tại một hàm m - điều hòa dưới liên tục f : W® ¡ - sao cho {f < c} Ð W, với mỗi c < 0 .
4.2. Ứng dụng tiềm năng trong Vật lý lý thuyết
Mặc dù chưa được khai thác triệt để, các kết quả về phương trình Hessian và lớp Cegrell có tiềm năng ứng dụng trong vật lý lý thuyết, đặc biệt là trong các lĩnh vực liên quan đến lý thuyết dây và lý thuyết trường lượng tử. Nghiên cứu sâu hơn về các ứng dụng này là một hướng đi đầy hứa hẹn. Gần đây, Abdullaev và Sadullaev đã quan tâm đến các tập m - cực và m - dung lượng của các hàm m - điều hòa dưới.
V. Kết Luận và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Lớp Cegrell
Luận văn đã trình bày một số kết quả quan trọng về lớp Cegrell của hàm m-điều hòa dưới và phương trình Hessian. Các kết quả này mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong giải tích phức đa biến và hình học phức. Việc nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của lớp Cegrell và các ứng dụng của phương trình Hessian là một nhiệm vụ quan trọng trong tương lai. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
5.1. Các vấn đề mở trong Nghiên Cứu Hàm m điều hòa
Vẫn còn nhiều vấn đề mở trong việc nghiên cứu hàm m-điều hòa và phương trình Hessian. Ví dụ, việc tìm các điều kiện yếu hơn để đảm bảo sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian là một bài toán thú vị. Ngoài ra, việc nghiên cứu các lớp hàm điều hòa dưới khác và mối liên hệ giữa chúng cũng là một hướng đi hứa hẹn. Cố định v Î SH m (W) với - 1 Ā v < 0 . Khi đó theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg ta có 1 C ò { (dd cv )m Ù wn - m Ā j òK Ù Ā c m n- m u (dd v ) w u 1 .
5.2. Hướng phát triển Kết hợp với Học Máy và AI
Một hướng phát triển tiềm năng là kết hợp các kết quả về phương trình Hessian và lớp Cegrell với các công cụ của học máy và trí tuệ nhân tạo (AI). Điều này có thể giúp tự động hóa việc giải phương trình Hessian và khám phá các cấu trúc mới trong hình học phức. Ví dụ, có thể sử dụng mạng nơ-ron để xấp xỉ nghiệm của phương trình Hessian hoặc để phân loại các không gian Kähler khác nhau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.
