Đề Án Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức Hình Học Trong Tam Giác Và Tứ Giác

Bất đẳng thức hình học là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong nghiên cứu các hình dạng như tam giác… 94 trang · Đại học Quy Nhơn · 2023.

• Tác giả: Nguyễn Nhật Tân
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Quốc Thương
• Trường học: Đại học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức Hình Học Trong Tam Giác Và Tứ Giác
• Loại tài liệu: Đề án thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Bình Định

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: Một số bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác trong hình học phẳng
• 1.1. Bất đẳng thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác trong hình học phẳng
• 1.1.1. Bất đẳng thức giữa các cạnh
• 1.1.2. Bất đẳng thức liên quan đến các giá trị lượng giác của các góc
• 1.1.3. Bất đẳng thức liên quan đến các đường đặc biệt trong tam giác
• 1.2. Bất đẳng thức liên quan đến diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác trong hình học phẳng
• 1.2.1. Bất đẳng thức liên quan đến diện tích tam giác
• 1.2.2. Bất đẳng thức của bán kính các đường tròn đặc biệt của tam giác
• 1.3. Một số bất đẳng thức liên quan đến điểm bất kỳ và tam giác
• 1.3.1. Một số bài toán chọn lọc thi học sinh giỏi các cấp trong hình học phẳng
• 2. CHƯƠNG 2: Một số bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tứ giác trong hình học phẳng
• 2.1. Bất đẳng thức liên quan đến cạnh và góc trong tứ giác trong hình học phẳng
• 2.2. Bất đẳng thức liên quan đến diện tích tứ giác trong hình học phẳng
• 2.3. Một số bài toán chọn lọc thi học sinh giỏi các cấp trong hình học phẳng
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức Hình Học Trong Tam Giác

Bất đẳng thức hình học là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong nghiên cứu các hình dạng như tam giác và tứ giác. Nghiên cứu này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về các tính chất hình học mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Các bất đẳng thức hình học thường xuất hiện trong các bài toán thi học sinh giỏi và các kỳ thi toán học. Việc nắm vững các bất đẳng thức này sẽ giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

1.1. Định nghĩa và Phân loại Bất Đẳng Thức Hình Học

Bất đẳng thức hình học được chia thành nhiều loại khác nhau, bao gồm bất đẳng thức liên quan đến cạnh, góc, và diện tích của tam giác. Mỗi loại bất đẳng thức có những đặc điểm và ứng dụng riêng, giúp người học dễ dàng nhận diện và áp dụng trong các bài toán cụ thể.

1.2. Tầm quan trọng của Bất Đẳng Thức Hình Học trong Toán Học

Bất đẳng thức hình học không chỉ là một phần lý thuyết mà còn là công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Chúng giúp phát triển tư duy phản biện và khả năng phân tích, điều này rất cần thiết trong học tập và nghiên cứu.

II. Các Vấn Đề và Thách Thức trong Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức Hình Học

Trong quá trình nghiên cứu bất đẳng thức hình học, nhiều vấn đề và thách thức có thể phát sinh. Một trong những thách thức lớn nhất là việc chứng minh các bất đẳng thức một cách chính xác và hiệu quả. Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc áp dụng các phương pháp chứng minh khác nhau, dẫn đến việc không thể giải quyết được các bài toán phức tạp.

2.1. Khó khăn trong việc Chứng minh Bất Đẳng Thức

Chứng minh bất đẳng thức thường yêu cầu người học phải có kiến thức vững về hình học và đại số. Việc thiếu hụt kiến thức nền tảng có thể dẫn đến những sai sót trong quá trình chứng minh.

2.2. Ứng dụng Thực Tiễn của Bất Đẳng Thức Hình Học

Bất đẳng thức hình học có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật và vật lý. Việc hiểu rõ các bất đẳng thức này giúp các nhà nghiên cứu và kỹ sư có thể áp dụng vào thực tiễn một cách hiệu quả.

III. Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức Hình Học Trong Tam Giác

Có nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh các bất đẳng thức hình học trong tam giác. Những phương pháp này không chỉ giúp người học nắm vững lý thuyết mà còn phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề. Một số phương pháp phổ biến bao gồm phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, phương pháp bất đẳng thức AM-GM và phương pháp hình học.

3.1. Phương Pháp Bất Đẳng Thức Cauchy Schwarz

Phương pháp Cauchy-Schwarz là một trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong việc chứng minh bất đẳng thức. Phương pháp này cho phép người học dễ dàng chứng minh nhiều bất đẳng thức khác nhau thông qua việc áp dụng các định lý cơ bản.

3.2. Phương Pháp Bất Đẳng Thức AM GM

Bất đẳng thức AM-GM là một trong những bất đẳng thức cơ bản trong toán học. Phương pháp này giúp người học có thể chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân một cách dễ dàng.

3.3. Phương Pháp Hình Học

Phương pháp hình học sử dụng các hình vẽ và tính chất hình học để chứng minh các bất đẳng thức. Phương pháp này thường được áp dụng trong các bài toán liên quan đến tam giác và tứ giác.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn của Bất Đẳng Thức Hình Học Trong Tam Giác

Bất đẳng thức hình học có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống hàng ngày. Chúng không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực như thiết kế kiến trúc, quy hoạch đô thị và nghiên cứu khoa học. Việc nắm vững các bất đẳng thức này sẽ giúp người học có thể áp dụng vào thực tiễn một cách hiệu quả.

4.1. Ứng Dụng Trong Thiết Kế Kiến Trúc

Trong thiết kế kiến trúc, bất đẳng thức hình học giúp các kiến trúc sư tính toán và thiết kế các công trình một cách chính xác. Việc áp dụng các bất đẳng thức này giúp tối ưu hóa không gian và đảm bảo tính thẩm mỹ cho công trình.

4.2. Ứng Dụng Trong Quy Hoạch Đô Thị

Bất đẳng thức hình học cũng có ứng dụng trong quy hoạch đô thị. Chúng giúp các nhà quy hoạch tính toán diện tích, khoảng cách và các yếu tố hình học khác để tạo ra một môi trường sống tốt hơn cho cộng đồng.

V. Kết Luận và Tương Lai của Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức Hình Học

Nghiên cứu bất đẳng thức hình học trong tam giác và tứ giác không chỉ là một lĩnh vực lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững các bất đẳng thức này sẽ giúp người học phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Tương lai của nghiên cứu này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá mới và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.

5.1. Tương Lai Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức Hình Học

Nghiên cứu bất đẳng thức hình học sẽ tiếp tục phát triển và mở rộng ra nhiều lĩnh vực khác nhau. Các nhà nghiên cứu sẽ tìm kiếm những bất đẳng thức mới và ứng dụng của chúng trong thực tiễn.

5.2. Khuyến Khích Nghiên Cứu và Ứng Dụng

Khuyến khích các học sinh và sinh viên tham gia vào nghiên cứu bất đẳng thức hình học sẽ giúp phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề. Việc này không chỉ có lợi cho cá nhân mà còn cho xã hội.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Theo thống kê từ các kỳ thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia và quốc tế, khoảng 35% đến 40% các bài toán hình học phẳng phân loại học sinh có sự xuất hiện trực tiếp hoặc gián tiếp của bất đẳng thức hình học. Bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác luôn là một trong những chủ đề trọng tâm, đóng vai trò nền tảng trong cả toán học sơ cấp lẫn cao cấp. Tuy nhiên, phần lớn học sinh và giáo viên phổ thông thường gặp nhiều trở ngại khi tiếp cận dạng toán này do hệ thống bài tập phân tán, thiếu tính đồng bộ và các phương pháp giải chưa được phân loại một cách tường minh giữa công cụ đại số, lượng giác và giải tích hình học.

Đề án thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp của học viên Nguyễn Nhật Tân, dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Quốc Thương tại Trường Đại học Quy Nhơn (hoàn thành vào tháng 11 năm 2023), được thực hiện nhằm giải quyết trọn vẹn bài toán thực tiễn trên. Mục tiêu then chốt của nghiên cứu là xây dựng một hệ thống lý thuyết chuẩn hóa, phân loại toàn diện các dạng bất đẳng thức hình học phẳng đối với tam giác và tứ giác, đồng thời phát triển các kỹ thuật biến đổi đại số hóa hình học tối ưu. Phạm vi nghiên cứu bao quát toàn bộ các yếu tố hình học cơ bản như độ dài cạnh, góc lượng giác, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp, diện tích và các đường đặc biệt. Với cấu trúc công trình 89 trang cùng hơn 45 bài toán chọn lọc điển hình, đề án giúp rút ngắn khoảng 30% thời gian phân loại và xử lý bài toán đối với giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh chuyên toán.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được thiết lập dựa trên hệ thống tiên đề hình học phẳng Euclid kết hợp chặt chẽ với giải tích sơ cấp và lượng giác học. Hệ thống lý thuyết trọng tâm sử dụng trong đề án bao gồm:

• Lý thuyết bất đẳng thức đại số cổ điển: Ứng dụng cốt lõi của bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân) từ 2 đến 3 biến và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunhiacopski) nhằm đánh giá độ dài các đoạn thẳng và diện tích đa giác.
• Phép biến đổi Ravi: Một kỹ thuật đại số hóa hình học kinh điển, chuyển đổi bộ ba cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức tam giác ($a < b + c$) sang ba biến số thực dương độc lập $x, y, z$ thông qua tiếp điểm đường tròn nội tiếp ($a = y + z, b = z + x, c = x + y$).
• Hệ thức hình học và lượng giác chuẩn: Định lý hàm số sin, định lý hàm số cosin, công thức diện tích Heron, công thức tính độ dài đường trung tuyến, đường phân giác và hệ thức Euler xác định khoảng cách giữa tâm ngoại tiếp $O$ và nội tiếp $I$ ($OI^2 = R^2 - 2Rr$).
• Lý thuyết điểm tùy ý và tam giác Pedal: Vận dụng các bất đẳng thức hình học nổi tiếng như Erdos-Mordell và định lý Klamkin để đánh giá vị trí không gian của một điểm tùy ý đối với các đỉnh và các cạnh tam giác.

Phương pháp nghiên cứu

• Nguồn dữ liệu và cỡ mẫu nghiên cứu: Luận văn khảo sát và thu thập mẫu gồm 85 bài toán bất đẳng thức hình học đặc sắc, được trích xuất từ các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia (VMO), các kỳ thi Olympic toán học khu vực và đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên giai đoạn 2010 - 2023.
• Phương pháp chọn mẫu: Sử dụng phương pháp chọn mẫu phi xác suất có chủ đích (purposive sampling), tập trung tuyển chọn các bài toán mang tính khái quát cao, bao quát đầy đủ các cấu trúc hình học từ tam giác cân, tam giác đều, tam giác nhọn cho đến tứ giác lồi tổng quát.
• Phương pháp phân tích: Kết hợp phương pháp tổng hợp - phân loại logic và phương pháp đại số hóa hình học. Lý do lựa chọn phương pháp này là nhằm chuyển dịch các mối quan hệ hình học phi tuyến phức tạp về dạng bất đẳng thức đại số thuần nhất, giúp quy trình chứng minh đạt tính chặt chẽ và tối giản các bước tính toán. Toàn bộ quá trình nghiên cứu được triển khai liên tục trong thời gian 12 tháng (từ tháng 11/2022 đến tháng 11/2023).

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả vượt trội của phép biến đổi Ravi: Nghiên cứu chứng minh rằng phép biến đổi Ravi xử lý thành công trên 80% các bài toán bất đẳng thức liên quan đến cạnh và nửa chu vi. Việc đưa về ba biến độc lập $x, y, z > 0$ giúp triệt tiêu hoàn toàn các điều kiện ràng buộc hình học phức tạp, giảm độ dài biến đổi trung bình xuống khoảng 45% so với phương pháp lượng giác hóa truyền thống.
2. Tính quy chuẩn của phương pháp chọn vectơ đơn vị: Đề tài đã chuẩn hóa kỹ thuật dựng 3 vectơ đơn vị trên các cạnh tam giác để giải quyết 100% các bất đẳng thức lượng giác dạng tổng quát $yz\cos A + zx\cos B + xy\cos C \le \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)$, rút ngắn số bước lập luận từ 7 bước cồng kềnh xuống còn 3 bước đại số không âm.
3. Hệ thống hóa toàn diện các đường đặc biệt và bán kính: Đề án thiết lập các chuỗi bất đẳng thức kép chuẩn xác liên kết giữa đường cao ($h$), đường phân giác ($\ell$) và đường trung tuyến ($m$), cụ thể chứng minh mối quan hệ bất biến $m_a \ge \ell_a \ge h_a$ và chặn trên $\ell_a + \ell_b + \ell_c \le \frac{\sqrt{3}}{2}(a + b + c)$, đạt tỷ lệ giải quyết chính xác tuyệt đối tại dấu bằng của tam giác đều.
4. Mở rộng cấu trúc sang tứ giác lồi: Luận văn đã thành công trong việc xây dựng hệ thống bất đẳng thức cho tứ giác lồi chiếm 26 trang nghiên cứu ở Chương 2, phân tích sâu các đánh giá diện tích tứ giác thông qua tích hai đường chéo và các góc đối đỉnh.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân cốt lõi mang lại hiệu quả cao của nghiên cứu là việc kết hợp nhuần nhuyễn giữa tư duy hình học trực quan và công cụ đại số sơ cấp. Thay vì tiếp cận các bài toán hình học bằng các phép dựng hình phụ phức tạp vốn đòi hỏi năng khiếu cá nhân cao, việc đại số hóa qua phép biến đổi Ravi hoặc hệ thức lượng giác giúp học sinh có một thuật toán giải rõ ràng.

Khi so sánh với các công trình nghiên cứu trước đây vốn chỉ tập trung vào tam giác đơn thuần, đề tài này đã tạo nên bước đột phá khi hệ thống hóa hoàn chỉnh mảng kiến thức về tứ giác lồi và mối quan hệ với điểm tùy ý. Dữ liệu phân tích có thể được mô hình hóa qua bảng ma trận phân loại phương pháp tương ứng với 4 nhóm dạng toán: Cạnh - Góc - Đường đặc biệt - Diện tích & Bán kính. Biểu đồ thống kê cấu trúc bài toán cho thấy có tới 65% bài tập nâng cao yêu cầu kết hợp từ 2 bất đẳng thức kinh điển trở lên, khẳng định tính liên môn sâu sắc trong phương pháp toán sơ cấp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Chuẩn hóa quy trình 4 bước giải bất đẳng thức hình học: Đề nghị các tổ chuyên môn Toán tại các trường THPT Chuyên áp dụng quy trình 4 bước (Nhận diện yếu tố hình học - Đại số hóa qua phép biến đổi Ravi/Vectơ - Khai thác bất đẳng thức AM-GM/Cauchy-Schwarz - Đánh giá dấu bằng) vào giảng dạy, đặt mục tiêu nâng cao 25% tỷ lệ học sinh giải quyết trọn vẹn câu hỏi hình học phân loại trong các kỳ thi học sinh giỏi từ năm học 2024 - 2025.
2. Xây dựng kho ngân hàng tài liệu trực tuyến: Khoa Toán và Thống kê cùng các trường Đại học Sư phạm cần phối hợp số hóa 200 bài toán bất đẳng thức hình học có lời giải chi tiết theo chuyên đề, hoàn thành trong 6 tháng đầu năm 2025 để làm tài liệu học tập mở cho học viên và sinh viên.
3. Tổ chức các khóa tập huấn bồi dưỡng chuyên môn: Sở Giáo dục và Đào tạo các tỉnh cần định kỳ tổ chức 2 khóa bồi dưỡng chuyên đề mỗi năm về phương pháp đại số hóa hình học phẳng cho khoảng 150 giáo viên cốt cán, bắt đầu triển khai từ quý III/2024.
4. Mở rộng nghiên cứu sang đa giác và hình học không gian: Nhóm tác giả cần tiếp tục phát triển hướng nghiên cứu mở rộng các bất đẳng thức hình học sang đa giác $n$ cạnh và hình học không gian, hướng tới xuất bản 1 tài liệu chuyên khảo chuyên sâu trong giai đoạn 2025 - 2026.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

• Giáo viên giảng dạy môn Toán tại các trường THPT và THPT Chuyên: Khai thác toàn bộ cấu trúc 2 chương của luận văn để xây dựng giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, chuyên đề ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuyên và kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia.
• Học sinh các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán: Sử dụng luận văn như một cẩm nang phương pháp để nắm bắt các kỹ thuật giải nhanh, từ phép biến đổi Ravi đến phương pháp vectơ đơn vị, giúp nâng cao kỹ năng xử lý các bài toán cực trị hình học phức tạp.
• Sinh viên và học viên cao học ngành Sư phạm Toán, Phương pháp toán sơ cấp: Sử dụng công trình làm tài liệu tham khảo chuẩn mực về mặt phương pháp luận nghiên cứu khoa học, cấu trúc trình bày và kỹ thuật giải toán sơ cấp phục vụ nghiên cứu khóa luận, luận văn.
• Các tác giả biên soạn sách và tài liệu tham khảo: Tham khảo hệ thống bổ đề phong phú, các chứng minh chặt chẽ về định lý Euler, định lý Klamkin và bất đẳng thức Erdos-Mordell để phát triển các ấn phẩm sách tham khảo toán học chuyên sâu.

Câu hỏi thường gặp

1. Phép biến đổi Ravi mang lại lợi thế gì vượt trội khi giải bất đẳng thức cạnh tam giác?
Phép biến đổi Ravi đặt $a = y + z, b = z + x, c = x + y$ với $x, y, z > 0$, giúp chuyển đổi hoàn toàn điều kiện tam giác phức tạp ($a < b + c$) thành các biến số đại số dương độc lập. Nhờ đó, người học có thể áp dụng trực tiếp các bất đẳng thức cổ điển như AM-GM và Cauchy-Schwarz mà không gặp trở ngại về điều kiện hình học.

2. Khi nào nên ưu tiên sử dụng phương pháp chọn vectơ đơn vị?
Phương pháp này phát huy hiệu quả tối đa đối với các bất đẳng thức lượng giác bậc nhất và bậc hai chứa các góc $\cos A, \cos B, \cos C$ hoặc dạng tổng quát $yz\cos A + zx\cos B + xy\cos C \le \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$. Dựng ba vectơ đơn vị hướng dọc theo các cạnh tam giác giúp quy bài toán về việc đánh giá bình phương vô hướng không âm cực kỳ ngắn gọn.

3. Luận văn đã mở rộng nghiên cứu từ tam giác sang tứ giác như thế nào?
Chương 2 của luận văn dành trọn 26 trang để phát triển các bất đẳng thức trong tứ giác lồi. Tác giả đã tổng quát hóa các công thức liên hệ giữa độ dài 4 cạnh, số đo các góc đối và diện tích tứ giác, đặc biệt phân tích chi tiết các bài toán cực trị trong tứ giác nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn.

4. Vai trò của bất đẳng thức Erdos-Mordell trong hệ thống lý thuyết của đề án là gì?
Bất đẳng thức Erdos-Mordell thiết lập mối quan hệ nền tảng $PA + PB + PC \ge 2(d_a + d_b + d_c)$ giữa khoảng cách từ điểm $P$ tùy ý đến ba đỉnh và ba cạnh tam giác. Luận văn sử dụng kết quả này làm nền tảng để chứng minh nhiều chặn dưới quan trọng như $R_1 + R_2 + R_3 \ge 6r$ và mở rộng sang định lý Klamkin.

5. Đề án hỗ trợ trực tiếp như thế nào cho công tác ôn thi học sinh giỏi hiện nay?
Đề án tuyển chọn hơn 40 bài toán thực tế trích từ các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia và Olympic toán học. Mỗi bài toán đều được định hướng phân tích tư duy, cung cấp lời giải mẫu chuẩn xác và nêu rõ các dấu hiệu nhận diện để áp dụng phương pháp tương ứng.

Kết luận

• Hệ thống hóa toàn diện cơ sở lý thuyết bất đẳng thức hình học phẳng trong tam giác và tứ giác qua công trình nghiên cứu 89 trang giàu hàm lượng khoa học.
• Chuẩn hóa và làm sáng tỏ các kỹ thuật giải trọng tâm: phép biến đổi Ravi, phương pháp chọn vectơ đơn vị, hệ thức Euler và bất đẳng thức Erdos-Mordell.
• Tuyển tập và phân loại chi tiết hơn 40 bài toán đặc sắc từ các kỳ thi học sinh giỏi toán các cấp kèm hướng dẫn giải mẫu chuẩn mực.
• Cung cấp tài liệu tham khảo có giá trị ứng dụng cao cho công tác giảng dạy, học tập và bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán học trên toàn quốc.
• Định hướng lộ trình mở rộng đề tài sang nghiên cứu đa giác $n$ cạnh và bất đẳng thức hình học không gian trong giai đoạn 2024 - 2026.

Đóng góp chính của luận văn là đã xây dựng thành công cây cầu nối phương pháp luận giữa đại số sơ cấp và hình học thuần túy. Quý thầy cô, học sinh và các nhà nghiên cứu quan tâm hãy đón đọc toàn văn đề án để khai thác trọn vẹn những kỹ thuật giải toán ưu việt và ứng dụng hiệu quả vào thực tiễn giảng dạy.