I. Bất đẳng thức hình học trong tam giác từ hàm lồi
Chương này tập trung vào việc thiết lập các bất đẳng thức hình học trong tam giác từ hàm lồi, đặc biệt là bất đẳng thức Jensen. Các tính chất hình học của tam giác được khai thác thông qua các hàm lồi, tạo nên các bất đẳng thức mới. Các bất đẳng thức này liên hệ giữa các đại lượng như cạnh, góc, diện tích, và bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Hàm lồi và hàm lõm được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức này, với các ví dụ cụ thể được đưa ra để minh họa.
1.1 Hàm lồi và tính chất
Hàm lồi được định nghĩa và phân tích các tính chất cơ bản. Một hàm số f(x) được gọi là lồi nếu thỏa mãn điều kiện f(αx + βy) ≤ αf(x) + βf(y) với mọi α, β > 0 và α + β = 1. Các tính chất như tổng của các hàm lồi, hàm lồi khả vi bậc hai, và các ví dụ cụ thể được trình bày. Hàm lõm cũng được định nghĩa tương tự với điều kiện ngược lại.
1.2 Bất đẳng thức Jensen và ứng dụng
Bất đẳng thức Jensen là công cụ chính để thiết lập các bất đẳng thức hình học. Định lý Jensen phát biểu rằng với hàm lồi f, ta có f((x1 + x2 + ... + xn)/n) ≤ (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn))/n. Các ứng dụng của bất đẳng thức Jensen trong việc chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến cạnh, góc, và các đại lượng khác trong tam giác được trình bày chi tiết.
1.3 Bất đẳng thức hình học từ đồng nhất thức
Các bất đẳng thức hình học được thiết lập từ các đồng nhất thức trong tam giác. Các hàm lồi và lõm được áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố như cạnh, góc, và bán kính đường tròn. Các ví dụ cụ thể như bất đẳng thức liên quan đến nửa chu vi, diện tích, và các bán kính đường tròn được đưa ra.
II. Quan hệ trội và bất đẳng thức trong tam giác
Chương này nghiên cứu các quan hệ trội giữa các đại lượng hình học trong tam giác và cách chúng được sử dụng để thiết lập các bất đẳng thức. Các quan hệ trội giữa độ dài cạnh, góc, và các yếu tố khác như chiều cao, bán kính đường tròn bàng tiếp được phân tích. Các bất đẳng thức được thiết lập từ các quan hệ trội này, với các ví dụ cụ thể trong tam giác nhọn, tam giác cân, và tam giác tù.
2.1 Quan hệ trội giữa cạnh và góc
Các quan hệ trội giữa độ dài các cạnh và các góc trong tam giác được nghiên cứu. Các bất đẳng thức liên quan đến sự so sánh giữa các cạnh và góc được thiết lập, với các ví dụ cụ thể trong tam giác bất kỳ, tam giác cân, và tam giác tù. Các hàm lồi và lõm được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức này.
2.2 Quan hệ trội giữa chiều cao và bán kính
Các quan hệ trội giữa chiều cao và bán kính đường tròn bàng tiếp trong tam giác được phân tích. Các bất đẳng thức liên quan đến sự so sánh giữa chiều cao và bán kính được thiết lập, với các ví dụ cụ thể trong tam giác nhọn và tam giác tù. Các hàm lồi và lõm được áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức này.
2.3 Quan hệ trội giữa cạnh và trung tuyến
Các quan hệ trội giữa độ dài các cạnh và các trung tuyến trong tam giác được nghiên cứu. Các bất đẳng thức liên quan đến sự so sánh giữa cạnh và trung tuyến được thiết lập, với các ví dụ cụ thể trong tam giác bất kỳ và tam giác cân. Các hàm lồi và lõm được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức này.
