I. Tổng Quan Nghiên Cứu Về Điều Khiển Phương Trình Tiến Hóa
Nhiều quá trình trong tự nhiên và kỹ thuật chứa đựng yếu tố không chắc chắn. Việc mô hình hóa các quá trình này đòi hỏi phải xem xét các đại lượng không chắc chắn. Các lý thuyết như lý thuyết mờ, lý thuyết giá trị tập và lý thuyết neutrosophic đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi. Giải tích mờ được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kỹ thuật điều khiển, xử lý hình ảnh, tín hiệu và kỹ thuật y sinh. Giải tích mờ bắt đầu từ khái niệm tập mờ của Zadeh năm 1960. Đến những năm 1970, lý thuyết tập mờ mới được áp dụng vào thực tiễn. Sau hơn 60 năm, lý thuyết mờ đã trở nên quan trọng trong khoa học và đời sống. Các phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong mô hình hóa các hiện tượng vật lý và kỹ thuật. Tuy nhiên, trong nhiều quá trình thực tế, dữ liệu có thể mơ hồ, không chính xác hoặc không đầy đủ. Để khắc phục điều này, người ta sử dụng môi trường số mờ thay cho dữ liệu chính xác, chuyển phương trình trong không gian thực sang phương trình mờ. Phương trình vi phân mờ được áp dụng trong nhiều bài toán mô hình hóa khác nhau.
1.1. Ứng Dụng Của Phương Trình Vi Phân Mờ Trong Thực Tiễn
Phương trình vi phân mờ được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như hàng không vũ trụ, tài chính, sản xuất, công nghiệp và giao thông. Theo Vorobiev và Seikkala, thuật ngữ "phương trình vi phân mờ" xuất hiện lần đầu vào năm 1978. Hiện nay, có ít nhất ba phương pháp để tìm nghiệm của FDEs (Phương trình vi phân mờ). Các phương pháp này bao gồm sử dụng nguyên lý mở rộng Zadeh, giải một họ các bao hàm vi phân theo tập mức α, và sử dụng các loại đạo hàm mờ.
1.2. Các Phương Pháp Giải Phương Trình Vi Phân Mờ Hiện Nay
Có ba phương pháp chính để giải phương trình vi phân mờ (FDEs). Phương pháp thứ nhất dựa trên nguyên lý mở rộng Zadeh. Phương pháp thứ hai giải một họ các bao hàm vi phân xuất phát từ phương trình vi phân mờ theo tập mức α. Phương pháp thứ ba sử dụng các loại đạo hàm mờ. Khái niệm đạo hàm Hukuhara (đạo hàm H) của một hàm mờ đã được Puri và Ralescu đưa ra vào năm 1983, dựa trên khái niệm hiệu Hukuhara (hiệu H).
II. Thách Thức Với Đạo Hàm Hukuhara Trong Điều Khiển Mờ
Đạo hàm Hukuhara (đạo hàm H) là sự tổng quát hóa của đạo hàm Hukuhara của các toán tử nhận giá trị tập. Tuy nhiên, tồn tại một số vấn đề với đạo hàm H. Thứ nhất là hiệu H của hai số mờ không phải lúc nào cũng tồn tại. Thứ hai, đường kính tập mức của nghiệm nhận được khi sử dụng đạo hàm H là không giảm. Các vấn đề này vẫn còn là câu hỏi lớn cho đến năm 2005, khi đạo hàm Hukuhara suy rộng được khởi xướng bởi Bede và Gal. Tính khả vi suy rộng mạnh (đạo hàm SGH) cho phép phương trình vi phân có hai loại nghiệm: loại có đường kính tập mức không giảm và loại có đường kính tập mức không tăng.
2.1. Vấn Đề Tồn Tại Hiệu Hukuhara Trong Không Gian Số Mờ
Một trong những hạn chế lớn nhất của đạo hàm Hukuhara là hiệu Hukuhara của hai số mờ không phải lúc nào cũng tồn tại. Điều này gây khó khăn trong việc áp dụng đạo hàm Hukuhara để giải các phương trình vi phân mờ. Ngoài ra, đường kính tập mức của nghiệm thu được khi sử dụng đạo hàm Hukuhara thường không giảm, điều này không phù hợp với nhiều bài toán thực tế.
2.2. Giải Pháp Với Đạo Hàm Hukuhara Suy Rộng gH Trong Điều Khiển Phương Trình
Năm 2010, khái niệm về hiệu Hukuhara suy rộng của hai số mờ đã được đề xuất bởi Stefanini. Sau đó, đạo hàm Hukuhara suy rộng (đạo hàm gH) của các hàm có giá trị mờ đã được giới thiệu bởi Bede và Stefanini. Mặc dù hiệu Hukuhara suy rộng có ít điểm hạn chế hơn hiệu Hukuhara, nhưng vẫn chưa khắc phục được thực tế là hiệu Hukuhara suy rộng của hai số mờ không phải lúc nào cũng tồn tại. Bên cạnh đó, vấn đề của điểm nhảy vẫn không biến mất đối với hiệu gH.
III. Không Gian Mờ Tương Quan Tuyến Tính RF A Giải Pháp Mới
Để vượt qua khó khăn này, gần đây, Esmi cùng các cộng sự đã giới thiệu khái niệm hiệu của hai số mờ trong không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) (với A là số mờ không đối xứng). Dựa trên hiệu của hai số mờ trong không gian mờ tương quan tuyến tính, các tác giả đã đưa ra khái niệm đạo hàm Fréchet và đạo hàm tương quan tuyến tính (đạo hàm LC). Không gian mờ tương quan tuyến tính được xây dựng bằng cách cố định một số mờ A bất kì. Sử dụng một ánh xạ phụ thuộc tuyến tính ψA : R2 → RF(A) , ta nhận được các toán tử có dạng qA + r trong đó (q, r) ∈ R2 .
3.1. Ưu Điểm Của Không Gian Mờ Tương Quan Tuyến Tính RF A
Ưu điểm chính của không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) là nó cho phép định nghĩa hiệu của hai số mờ một cách tự nhiên, ngay cả khi A là số mờ không đối xứng. Điều này giúp khắc phục được hạn chế của đạo hàm Hukuhara và đạo hàm Hukuhara suy rộng. Ngoài ra, khi A là số mờ không đối xứng, RF(A) có thể được nhúng vào RF như một không gian con tuyến tính.
3.2. Đạo Hàm Fréchet Và Đạo Hàm Tương Quan Tuyến Tính LC
Dựa trên hiệu của hai số mờ trong không gian mờ tương quan tuyến tính, Esmi và cộng sự đã đưa ra khái niệm đạo hàm Fréchet và đạo hàm tương quan tuyến tính (đạo hàm LC). Đạo hàm LC có thể áp dụng trong không gian RF(A) trong trường hợp A là số mờ bất kì và luôn tồn tại hiệu LC mờ tương quan tuyến tính. Đạo hàm LC thích hợp cho các hàm có giá trị mờ tương quan tuyến tính với A là số mờ bất kì.
IV. Ứng Dụng Đạo Hàm Phân Thứ Trong Phương Trình Vi Phân Mờ
Vào năm 2010, phương trình vi phân mờ phân thứ (FFDEs) trình bày lần đầu tiên bởi Agarwal và cộng sự. Ở đó, các định nghĩa về đạo hàm phân thứ cho các hàm số mờ đã được đề cập. Đạo hàm mờ phân thứ Riemann-Liouville theo hiệu H và chứng minh duy nhất nghiệm của một lớp FFDEs có trễ được nghiên cứu. Năm 2011, đạo hàm phân thứ mờ Riemann-Liouville theo đạo hàm Seikkala đã được đề xuất. Cùng với đó, một số nghiên cứu về FFDEs với các điều kiện ban đầu mờ theo đạo hàm này đã được đề cập.
4.1. Các Loại Đạo Hàm Phân Thứ Mờ Đã Được Nghiên Cứu
Các loại đạo hàm phân thứ mờ đã được nghiên cứu bao gồm đạo hàm phân thứ mờ Riemann-Liouville theo hiệu H, đạo hàm phân thứ mờ Riemann-Liouville theo đạo hàm Seikkala, và đạo hàm phân thứ mờ Caputo kết hợp với đạo hàm SGH. Mỗi loại đạo hàm này có những ưu điểm và hạn chế riêng, và được áp dụng trong các bài toán khác nhau.
4.2. Nghiên Cứu Mới Về Đạo Hàm Phân Thứ Cho Hàm Mờ Tương Quan
Đạo hàm bậc nguyên cho các hàm mờ tương quan tuyến tính đã được Esmi và Shen nghiên cứu. Tuy nhiên, các loại đạo hàm phân thứ cho hàm mờ tương quan tuyến tính chưa được đề cập đến. Điều này thúc đẩy chúng tôi nghiên cứu sâu hơn về các loại đạo hàm phân thứ cho hàm mờ tương quan tuyến tính và ứng dụng khái niệm này trên một số lớp FFDEs. Cụ thể, chúng tôi giới thiệu hai loại đạo hàm phân thứ cho hàm mờ tương quan tuyến tính, đó là đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo.
V. Bài Toán Điều Khiển Được Cho Phương Trình Tiến Hóa Mờ
Tính điều khiển được của một hệ thống luôn dành được nhiều chú ý của các nhà toán học. Khả năng này được biết đến nhiều từ hệ thống lý thuyết toán học của Kalman năm 1960 như là tính đạt được của các trạng thái đầu và cuối. Trong các tài liệu, các khái niệm cơ bản và quan trọng có liên quan đến lý thuyết điều khiển trong không gian hữu hạn chiều đã được đề cập. Shukla và cộng sự đã nghiên cứu bài toán điều khiển gần đúng và đầy đủ của hệ thống điều khiển có trễ nửa tuyến tính thông qua việc đưa về lý thuyết điểm bất động của một toán tử.
5.1. Điều Khiển Logic Mờ Hướng Phát Triển Mới Trong Tự Động Hóa
Điều khiển logic mờ là nhánh phát triển mới của điều khiển tự động kể từ khi giới thiệu các tập mờ bởi Zadeh vào năm 1965. Mô hình mới về điều khiển tự động, điều khiển mờ, đã xuất hiện kể từ khi tập mờ được Zadeh giới thiệu vào năm 1965. Mamdani và các cộng sự là những người đầu tiên xử lý điều khiển bằng kỹ thuật mờ. Điều này đã cho thấy một hướng đi mới trong việc phát triển lý thuyết logic mờ và tính ứng dụng của logic mờ trong các hệ động lực đơn giản.
5.2. Phân Loại Tính Điều Khiển Hoàn Toàn Và Gần Đúng
Khái niệm về tính điều khiển có thể được tách thành tính điều khiển hoàn toàn và tính điều khiển gần đúng. Khái niệm về tính điều khiển hoàn toàn là hệ động lực có thể được điều khiển chính xác từ trạng thái này sang trạng thái khác trong khi khái niệm tính điều khiển gần đúng có nghĩa là hệ động lực có thể được điều khiển đến một vùng lân cận nhỏ của trạng thái cuối cùng sau một khoảng thời gian hữu hạn.
VI. Ổn Định Hóa Phương Trình Tiến Hóa Phân Thứ Không Gian Mờ
Mặc dù có rất nhiều tài liệu được công bố về các hệ động lực mờ, số lượng công trình được thực hiện trong việc phân tích các tính năng vốn có của hệ thống động lực học được mô hình bằng phương trình vi phân mờ còn khá hạn chế. Tính ổn định, khả năng điều khiển, khả năng quan sát có thể được coi là một số đặc điểm vốn có của hệ động lực. Trong các nghiên cứu trước đây, tính ổn định Lyapunov và tính tuần hoàn của tập nghiệm mờ đã được nghiên cứu bằng cách sử dụng bao hàm thức vi phân. Tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng cho phương trình tiến hóa mờ theo đạo hàm Hukuhara có chứa nhiễu cũng đã được xem xét.
6.1. Hạn Chế Trong Nghiên Cứu Ổn Định Hóa Phương Trình Mờ Phân Thứ
Hiện nay số lượng nghiên cứu về bài toán ổn định hóa cho một phương trình tiến hóa mờ phân thứ vẫn còn hạn chế. Khó khăn thường gặp phải là do thiếu các công cụ giải tích mờ tương ứng. Trong luận án này, chúng tôi tìm hiểu tính ổn định tiệm cận...
6.2. Hướng Nghiên Cứu Tính Ổn Định Tiệm Cận Trong Luận Án
Luận án này tập trung vào việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ. Mục tiêu là phát triển các công cụ và phương pháp mới để phân tích và đảm bảo tính ổn định của các hệ thống động lực mờ phân thứ.
