Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính", chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân (Mã số: 9.03), do nghiên cứu sinh Hoàng Thị Phương Thảo thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Nguyễn Thị Kim Sơn và TS. Nguyễn Như Thắng tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (năm 2022).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong thực tiễn kỹ thuật và tự nhiên, nhiều quá trình mô hình hóa chứa đựng các yếu tố bất định, mơ hồ hoặc thiếu chính xác do sai số đo lường, quan sát hoặc lỗi vận hành. Để xử lý các tham số không chắc chắn, lý thuyết mờ (fuzzy set theory) và phương trình vi phân mờ (FDEs) đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như hàng không vũ trụ, tài chính, sản xuất, giao thông, xử lý ảnh và kỹ thuật điều khiển. Tuy nhiên, các công cụ giải tích mờ truyền thống đối mặt với những rào cản toán học lớn:

  • Đạo hàm Hukuhara (đạo hàm H) đòi hỏi điều kiện ngặt về sự tồn tại của hiệu Hukuhara và dẫn đến nghiệm mờ có độ rộng tập mức luôn không giảm theo thời gian.
  • Đạo hàm Hukuhara suy rộng mạnh (SGH) và đạo hàm Hukuhara suy rộng (gH) khắc phục một phần bằng cách cho phép xuất hiện hai loại nghiệm (độ rộng tập mức không tăng hoặc không giảm), nhưng lại làm phát sinh bài toán phức tạp về điểm nhảy (switching point) và phép trừ gH vẫn không phải lúc nào cũng tồn tại.
  • Hướng tiếp cận trên không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ do Esmi và Shen khởi xướng đã giải quyết được sự tồn tại của phép trừ và khắc phục điểm nhảy cho đạo hàm bậc nguyên, nhưng các khái niệm giải tích phân thứ (fractional calculus) trên không gian này chưa từng được xây dựng. Đồng thời, các bài toán điều khiển học cốt lõi như tính giải được của bài toán Cauchy, tính điều khiển được hoàn toàn và bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên không gian $R_F(A)$ vẫn còn bỏ ngỏ.

Mục tiêu và các nhiệm vụ nghiên cứu

Mục tiêu tổng quát của luận án là xây dựng hệ thống giải tích phân thứ trên không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$, từ đó khảo sát tính giải được, tính điều khiển được và bài toán ổn định hóa cho các lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ. Các nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể được xác định gồm:

  1. Xây dựng định nghĩa và chứng minh các tính chất giải tích của hai loại đạo hàm phân thứ: đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo (đạo hàm LC Caputo) trên không gian $R_F(A)$.
  2. Thiết lập điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàm LC Caputo.
  3. Nghiên cứu tính điều khiển được hoàn toàn cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo, xác định điều kiện ứng với biến điều khiển duy nhất và không duy nhất.
  4. Phân tích tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng và xây dựng điều khiển phản hồi trạng thái nhằm ổn định hóa phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm LC Caputo.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Không gian số mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ (bao gồm trường hợp $A$ không đối xứng $R_F^{nsy}(A)$ và $A$ đối xứng $R_F^{sy}(A)$); các hàm mờ tương quan tuyến tính; phương trình tiến hóa mờ phân thứ trong không gian $R_F(A)$.
  • Phạm vi nghiên cứu: Luận án tập trung vào 4 nội dung giải tích và điều khiển:
    1. Giải tích phân thứ trong không gian $R_F(A)$ bậc $p \in (0, 1]$.
    2. Tính giải được của bài toán Cauchy trên đoạn thời gian hữu hạn $I = [0, b]$.
    3. Bài toán điều khiển được hoàn toàn cho hệ phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên đoạn $I = [0, b]$.
    4. Bài toán ổn định hóa và thiết lập điều khiển phản hồi trạng thái trên khoảng thời gian vô hạn $I = [0, \infty)$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu liên quan trong y văn

Lý thuyết tập mờ được khởi xướng bởi Zadeh (1965), đặt nền móng cho giải tích mờ và điều khiển mờ (Mamdani và cộng sự, 1975). Thuật ngữ phương trình vi phân mờ (FDEs) được Vorobiev và Seikkala đưa ra lần đầu tiên vào năm 1978. Theo tổng quan của luận án, y văn ghi nhận ba hướng tiếp cận chính để giải FDEs:

  1. Nguyên lý mở rộng Zadeh: Được phát triển bởi Oberguggenberger và Pittschmann (1999).
  2. Giải họ bao hàm vi phân: Khảo sát theo các tập mức $\alpha$ dựa trên định lý biểu diễn tập mờ (De Blasi, 1976; Baidosov, 1991; Ding, Kandel, 1999).
  3. Sử dụng đạo hàm mờ:
    • Puri và Ralescu (1983) đưa ra đạo hàm Hukuhara (hiệu H).
    • Bede và Gal (2005) đề xuất tính khả vi suy rộng mạnh (SGH).
    • Stefanini (2010), Bede và Stefanini (2013) đưa ra hiệu và đạo hàm Hukuhara suy rộng (gH).
    • Esmi và cộng sự (2017) giới thiệu không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ đối với số mờ không đối xứng $A \in R_F^{nsy}$, định nghĩa phép hiệu luôn tồn tại và đạo hàm Fréchet.
    • Shen (2015, 2017) phát triển hiệu LC, lớp tương đương $\equiv_A$ trên $\mathbb{R}^2$ và đạo hàm LC cho không gian $R_F(A)$ với số mờ $A$ bất kỳ.

Về phương trình vi phân mờ phân thứ (FFDEs):

  • Agarwal và cộng sự (2010) lần đầu tiên trình bày FFDEs.
  • Đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville theo hiệu H được nghiên cứu cho FFDEs có trễ (Mazandarani và cộng sự, 2013).
  • Đạo hàm phân thứ Seikkala (Allahviranloo và cộng sự, 2011).
  • Đạo hàm Caputo kết hợp SGH/gH với cấu trúc hai loại nghiệm (Salahshour và cộng sự, 2012; Hoa, 2015).
  • Đạo hàm Caputo-Fabrizio kết hợp SGH (Agarwal và cộng sự, 2018).
  • Đạo hàm phân thứ mờ granular dựa trên hàm liên thuộc và hiệu granular (Najariyan và Zhao, 2018; Najariyan, 2019).

Về lý thuyết điều khiển và tính ổn định của hệ động lực mờ:

  • Nền tảng điều khiển học Kalman (1960), Klamka (1991, 1993).
  • Điều khiển gần đúng và hoàn toàn cho hệ trễ nửa tuyến tính (Shukla và cộng sự, 2009).
  • Điều khiển hệ phương trình vi tích phân mờ và điều kiện không địa phương (Kwun và Park, 2010; Park và cộng sự, 2011; Najariyan, 2018).
  • Điều khiển hoàn toàn cho hệ phân thứ sử dụng đạo hàm gH (Sun và cộng sự, 2018).
  • Nghiên cứu ổn định Lyapunov bằng bao hàm vi phân (Diamond, 1990), ổn định tiệm cận theo đạo hàm Hukuhara có nhiễu (Subalakshmi, 2014), định lý Kharitonov mở rộng (Giacomin, 2008), đạo hàm Hukuhara tổng quát (Zavieh, 2013), đạo hàm granular (Najariyan, 2020).

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Mặc dù đạo hàm bậc nguyên trên không gian mờ tương quan tuyến tính đã được Esmi (2017) và Shen (2015) nghiên cứu, nhưng giải tích phân thứ trên $R_F(A)$ chưa được thiết lập. Các kết quả điều khiển và ổn định trước đó chủ yếu dựa trên đạo hàm gH (bị phụ thuộc vào phân chia 2 loại nghiệm và điều kiện triệt tiêu điểm nhảy) hoặc đạo hàm Hukuhara (nghiệm có độ rộng mở rộng không tự nhiên). Luận án giải quyết khoảng trống này bằng cách thiết lập giải tích phân thứ trên $R_F(A)$, xử lý tính giải được của bài toán Cauchy, tính điều khiển được hoàn toàn và tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng mà không gặp phải trở ngại về điểm nhảy hay sự không tồn tại của phép trừ mờ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm sử dụng

  • Không gian số mờ $R_F$: Tập hợp các hàm thuộc $u: \mathbb{R} \to [0, 1]$ thỏa mãn tính chuẩn hóa, lồi mờ, liên tục trên và giá đóng bị chặn, trang bị metric supremum $d_\infty(u_1, u_2) = \sup_{0 \le \alpha \le 1} d_H([u_1]^\alpha, [u_2]^\alpha)$.
  • Không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$: Với $A \in R_F$ cố định, $R_F(A) = { \psi_A(q, r) = qA + r \mid (q, r) \in \mathbb{R}^2 }$.
    • Trường hợp $A$ không đối xứng ($A \in R_F^{nsy}$): $\psi_A: \mathbb{R}^2 \to R_F^{nsy}(A)$ là một song ánh. Không gian $(R_F^{nsy}(A), \oplus_A, \odot_A)$ là không gian Banach với metric $d_{\psi_A}(u, v) = \max{|q_u - q_v|, |r_u - r_v|}$.
    • Trường hợp $A$ đối xứng qua $x^$ ($A \in R_F^{sy}$):* $\psi_A$ không là song ánh. Luận án sử dụng quan hệ tương đương $(q, r) \equiv_A (u, v) \iff (q=u, r=v) \lor (q=-u, r=2ux^+v)$ trên $\mathbb{R}^2$. Ánh xạ $\hat{\psi}A: \mathbb{R}^2/\equiv_A \to R_F^{sy}(A)$ (với đại diện $q \ge 0$) là một song ánh. Metric tương ứng là $d{\hat{\psi}_A}(B, C) = \max{|q_B-q_C|, |2(q_B-q_C)x^+r_B-r_C|, |r_B-r_C|}$.
  • Lý thuyết nửa nhóm và hàm đặc biệt: Nửa nhóm liên tục mạnh ($C_0$-semigroup), phép biến đổi Laplace trong không gian mờ, hàm Mittag-Leffler một và hai tham số $E_p(z)$, $E_{p, p}(z)$, tích phân Riemann-Liouville bậc phân thứ $I_{0+}^p$ và đạo hàm Caputo $D_{0+}^p$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng thuần túy phương pháp suy luận toán học giải tích:

  • Phương pháp đánh giá giải tích thực và giải tích hàm: Ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Arzelà-Ascoli, định lý điểm bất động Krasnoselskii.
  • Phương pháp giải tích nửa nhóm và toán tử tuyến tính kết hợp biến đổi Laplace để biểu diễn tường minh nghiệm của phương trình tiến hóa phân thứ.
  • Kỹ thuật phân tách thành phần qua song ánh $\psi_A$ và biểu diễn chuẩn tắc qua lớp thương $\mathbb{R}^2/\equiv_A$.
  • Nguồn tư liệu: Các công trình nghiên cứu công bố quốc tế về giải tích mờ, giải tích phân thứ và lý thuyết hệ thống động lực học.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Sơ lược về không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$

Chương này hệ thống hóa và bổ sung các tính chất đại số, tô pô của không gian số mờ tương quan tuyến tính:

  • Phân loại số mờ đối xứng và không đối xứng: Số mờ $u$ là đối xứng qua $t^$ nếu $u(t^-y) = u(t^*+y)$ với mọi $y \in \mathbb{R}$; ngược lại là không đối xứng.
  • Thiết lập các phép toán đại số $\oplus_A, \odot_A, \ominus_A$ và chuẩn trên $R_F^{nsy}(A)$ qua ánh xạ ngược $\psi_A^{-1}$. Chứng minh các bất đẳng thức metric cho $d_{\psi_A}$.
  • Xây dựng không gian thương $\mathbb{R}^2/\equiv_A$, phép trừ LC ($\hat{\⊟}A$), chuẩn $|\cdot|{\hat{A}}$ và metric $d_{\hat{\psi}A}$ trên $R_F^{sy}(A)$. Chứng minh tính chất bất biến tịnh tiến và tính thuần nhất của $d{\hat{\psi}_A}$.
  • Trình bày phép tính đạo hàm bậc nguyên (đạo hàm Fréchet $\hat{f}'F$, đạo hàm tương quan tuyến tính $\hat{f}'{LC}$) và tích phân Riemann cho hàm nhận giá trị trong $R_F(A)$.

Chương 2: Tính giải được của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ

Chương 2 mở rộng giải tích mờ sang bậc phân thứ $p \in (0, 1]$ và giải quyết bài toán Cauchy:

  • Định nghĩa đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ ($^C_F D_{0+}^p$): $$^C_F D_{0+}^p \hat{f}(t) = ,^F I_{0+}^{RL, 1-p} \hat{f}'F(t) = \psi_A\left(I{0+}^{1-p} q'(t), I_{0+}^{1-p} r'(t)\right)$$ với $A \in R_F^{nsy}$ và hàm mờ $\hat{f}(t) = q(t)A + r(t)$. Luận án chứng minh định lý về tính độc lập của biểu diễn tích phân Riemann-Liouville phân thứ đối với việc chọn phần tử khi hàm $q(t)$ không đổi dấu trên $J$.
  • Định nghĩa đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo ($^C_{LC} D_{0+}^p$): Thiết lập công thức thông qua tích phân Riemann-Liouville LC và biểu diễn chuẩn tắc cho cả hai trường hợp số mờ đối xứng và không đối xứng.
  • Tính giải được của bài toán Cauchy theo đạo hàm Fréchet Caputo: Xét bài toán: $$\begin{cases} ^C_F D_{0+}^p \hat{x}(t) = \hat{f}(t, \hat{x}(t)), \quad t \in I = [0, b] \ \hat{x}(0) = \hat{x}0 \in R_F^{nsy}(A) \end{cases}$$ Chuyển bài toán về phương trình tích phân: $\hat{x}(t) = \hat{x}0 \oplus_A ,^F I{0+}^{RL, p} \hat{f}(t, \hat{x}(t))$. Sử dụng toán tử Picard $\mathcal{F}$ trên không gian $C(I, R_F^{nsy}(A))$ trang bị metric suy rộng $d{1-p}(\hat{x}, \hat{y}) = \sup_{t \in I} { t^{1-p} d_{\psi_A}(\hat{x}(t), \hat{y}(t)) }$. Chứng minh đánh giá quy nạp: $$d_{\psi_A}\left(\mathcal{F}^n\hat{x}, \mathcal{F}^n\hat{y}\right) \le \frac{L^n t^{np+p-1} \Gamma(p)}{\Gamma((n+1)p)} d_{1-p}(\hat{x}, \hat{y})$$ Vì $\lim_{n \to \infty} \frac{L^n t^{np} \Gamma(p)}{\Gamma((n+1)p)} = 0$, toán tử $\mathcal{F}^n$ là ánh xạ co khi $n$ đủ lớn, dẫn đến tính tồn tại duy nhất nghiệm tích phân.
  • Tính giải được của bài toán Cauchy theo đạo hàm LC Caputo: Thiết lập các điều kiện tồn tại nghiệm cho phương trình $^C_{LC} D_{0+}^p \hat{x}(t) = \hat{g}(t, \hat{x}(t))$.

Chương 3: Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo

Chương này tập trung vào tính điều khiển được hoàn toàn của hệ: $$^C_F D_{0+}^p \hat{x}(t) = B\hat{x}(t) \oplus_A \hat{f}(t, \hat{x}(t)) \oplus_A E u(t), \quad t \in I = [0, b]$$

  • Thiết lập phép biến đổi Laplace và tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh ${T(t)}_{t \ge 0}$ sinh bởi toán tử $B$ trong không gian $R_F^{nsy}(A)$.
  • Biểu diễn công thức nghiệm thông qua toán tử truyền $S_p(t)$ và $T_p(t)$ sử dụng hàm dạng Mittag-Leffler.
  • Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển duy nhất: Khi ngoại lực $\hat{f}$ thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục, xây dựng toán tử điều khiển $u(t)$ duy nhất đưa hệ từ trạng thái ban đầu $\hat{x}_0$ đến trạng thái mục tiêu $\hat{x}_1$ tại thời điểm $b$ bằng cách sử dụng toán tử khả nghịch tương ứng của $E$.
  • Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển không duy nhất: Nới lỏng điều kiện của $\hat{f}$ (chỉ yêu cầu tính liên tục và bị chặn dưới các điều kiện compact), áp dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh tồn tại điều khiển $u(t)$ (không duy nhất) đảm bảo tính điều khiển được hoàn toàn.

Chương 4: Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo

Chương này khảo sát tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng và thiết kế luật điều khiển phản hồi cho phương trình: $$^C_{LC} D_{0+}^p \hat{x}(t) = a \odot_A \hat{x}(t) \oplus_A \hat{f}(t, \hat{x}(t)) \oplus_A u(t), \quad t \in [0, \infty), \quad \hat{x}(0) = \hat{x}_0$$

  • Khảo sát tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng trong trường hợp $A \in R_F^{nsy}$: Dựa vào việc chuyển đổi hệ mờ sang hệ phương trình thực 2 chiều qua $\psi_A^{-1}$, thiết lập bất đẳng thức về hệ số $a$ và phổ của hệ nhằm đảm bảo nghiệm suy giảm tiệm cận về 0 khi $t \to \infty$.
  • Khảo sát trường hợp $A \in R_F^{sy}$: Vì không có song ánh từ $R_F^{sy}(A)$ vào $\mathbb{R}^2$, luận án thao tác trên biểu diễn chuẩn tắc $[\tilde{q}(t), \tilde{r}(t)]_{\equiv_A}$. Dựa trên tính đơn điệu của thành phần thực $\tilde{q}(t)$, thiết lập các điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận.
  • Xây dựng điều khiển phản hồi trạng thái: Khi hệ mở không ổn định tiệm cận, thiết kế hàm điều khiển phản hồi $u(t) = K \odot_A \hat{x}(t)$ (hoặc phi tuyến tương ứng) sao cho hệ kín đạt tính ổn định tiệm cận trên nửa trục số thực.

Bảng tổng hợp các cấu trúc toán học chính trong luận án

Không gian số mờ Ánh xạ biểu diễn Cấu trúc metric Loại đạo hàm phân thứ áp dụng Bài toán điều khiển / Ổn định nghiên cứu
$R_F^{nsy}(A)$ ($A$ không đối xứng) Song ánh $\psi_A: \mathbb{R}^2 \to R_F^{nsy}(A)$ $d_{\psi_A}(u, v) = \max{|q_u - q_v|, |r_u - r_v|}$ Đạo hàm Fréchet Caputo $^C_F D_{0+}^p$ Tính giải được Cauchy; Điều khiển được hoàn toàn (duy nhất & không duy nhất nghiệm điều khiển)
$R_F^{sy}(A)$ ($A$ đối xứng qua $x^*$) Song ánh thương $\hat{\psi}_A: \mathbb{R}^2/\equiv_A \to R_F^{sy}(A)$ $d_{\hat{\psi}_A}(B, C) = |B \hat{\⊟}A C|{\hat{A}}$ Đạo hàm LC Caputo $^C_{LC} D_{0+}^p$ Tính giải được Cauchy; Ổn định tiệm cận điểm cân bằng & Điều khiển phản hồi trạng thái

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp mới về lý luận toán học và ứng dụng giải tích mờ:

  1. Đóng góp về mặt giải tích mờ:
    • Xây dựng thành công hai khái niệm đạo hàm phân thứ mới trên không gian mờ tương quan tuyến tính: đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàm LC Caputo bậc $p \in (0, 1]$.
    • Chứng minh các định lý cơ bản về mối liên hệ giữa tích phân phân thứ Riemann-Liouville mờ và đạo hàm phân thứ Caputo mờ.
    • Giải quyết triệt để vấn đề "điểm nhảy" và sự không tồn tại của phép trừ mờ vốn tồn tại trong các nghiên cứu trước đây sử dụng đạo hàm Hukuhara hoặc đạo hàm gH.
  2. Đóng góp về lý thuyết phương trình tiến hóa và tính giải được:
    • Thiết lập các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân cho bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên không gian $R_F(A)$.
  3. Đóng góp về lý thuyết điều khiển và ổn định hóa:
    • Đưa ra tiêu chuẩn cụ thể để phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo đạt tính điều khiển được hoàn toàn trong cả hai trường hợp biến điều khiển duy nhất và không duy nhất.
    • Thiết lập các điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng và đề xuất thuật toán giải tích xây dựng điều khiển phản hồi trạng thái cho hệ theo đạo hàm LC Caputo.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế (theo phạm vi nghiên cứu của văn bản)

  • Luận án mới chỉ tập trung nghiên cứu phương trình tiến hóa mờ phân thứ có bậc $p \in (0, 1]$, chưa mở rộng cho các bậc phân thứ tổng quát $p > 1$.
  • Các lớp phương trình khảo sát dừng lại ở các phương trình với điều kiện ban đầu chuẩn Cauchy địa phương, chưa xét cho bài toán biên phi địa phương phức tạp hoặc hệ có trễ vô hạn trong không gian tương quan tuyến tính.

Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo

Văn bản luận án đề xuất các hướng mở rộng tiếp theo gồm:

  1. Mở rộng nghiên cứu bài toán điều khiển và bài toán ổn định cho các lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ bậc $p \in (1, 2]$.
  2. Nghiên cứu phương trình vi tích phân mờ phân thứ và phương trình mờ có trễ trên không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$.
  3. Khảo sát bài toán điều khiển tối ưu và điều khiển xung cho hệ động lực mờ phân thứ trên $R_F(A)$.
  4. Ứng dụng khung lý thuyết đã thiết lập vào các bài toán mô hình hóa vật lý, sinh học và kỹ thuật thực tế có chứa dữ liệu mờ.

Giá trị tham khảo

Luận án cung cấp hệ thống kết quả giải tích chính xác, là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học: Thuộc chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân, Toán ứng dụng, Điều khiển học toán học, muốn tiếp cận phương pháp giải tích trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu giải tích: Tham khảo cấu trúc xây dựng không gian thương $\mathbb{R}^2/\equiv_A$, kỹ thuật biến đổi Laplace mờ và áp dụng định lý điểm bất động cho phương trình vi phân mờ phân thứ.
  • Kỹ sư và nhà khoa học hệ thống: Tham khảo nguyên lý thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái và phân tích ổn định tiệm cận cho các hệ thống chứa tham số bất định.

Câu hỏi thường gặp

1. Vì sao không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ có cấu trúc đại số khác nhau khi $A$ đối xứng và không đối xứng?

Khi $A$ là số mờ không đối xứng ($A \in R_F^{nsy}$), ánh xạ $\psi_A(q, r) = qA + r$ là một song ánh tuyến tính từ $\mathbb{R}^2$ vào $R_F^{nsy}(A)$, cho phép $R_F^{nsy}(A)$ nhúng vào $R_F$ như một không gian con tuyến tính đầy đủ và phép trừ mờ $\ominus_A$ được định nghĩa trực tiếp qua ánh xạ ngược $\psi_A^{-1}$. Ngược lại, khi $A$ là số mờ đối xứng ($A \in R_F^{sy}$), $\psi_A$ không còn là song ánh (tồn tại nhiều cặp $(q, r)$ cho cùng một số mờ), do đó phải thiết lập quan hệ tương đương $\equiv_A$ trên $\mathbb{R}^2$ và không gian thương $\mathbb{R}^2/\equiv_A$ để xây dựng phép trừ LC ($\hat{\⊟}_A$) và metric tương ứng.

2. Sự khác biệt cốt lõi giữa đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàm LC Caputo trong luận án là gì?

Đạo hàm Fréchet Caputo ($^C_F D_{0+}^p$) được định nghĩa dựa trên đạo hàm Fréchet bậc nguyên và toán tử tích phân Riemann-Liouville phân thứ, áp dụng thuận lợi nhất trên không gian $R_F^{nsy}(A)$ khi số mờ $A$ không đối xứng. Đạo hàm LC Caputo ($^C_{LC} D_{0+}^p$) được xây dựng trên cơ sở hiệu LC và biểu diễn chuẩn tắc qua lớp tương đương, cho phép áp dụng đồng thời cho cả số mờ đối xứng và không đối xứng mà không phụ thuộc vào tính đơn ánh của $\psi_A$.

3. Làm thế nào tác giả chứng minh được tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy ở Chương 2?

Tác giả chuyển bài toán vi phân mờ phân thứ về phương trình tích phân tương đương $\hat{x}(t) = \hat{x}0 \oplus_A ,^F I{0+}^{RL, p} \hat{f}(t, \hat{x}(t))$, sau đó định nghĩa toán tử Picard $\mathcal{F}$ trên không gian $C(I, R_F^{nsy}(A))$ với metric có trọng số $d_{1-p}$. Bằng phương pháp đánh giá quy nạp và sử dụng tính chất hàm Beta $B(p, n p) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(np)}{\Gamma((n+1)p)}$, tác giả chỉ ra lũy thừa bậc cao $\mathcal{F}^n$ là một ánh xạ co với $n$ đủ lớn, từ đó áp dụng định lý điểm bất động Banach để suy ra tính tồn tại và duy nhất nghiệm.

4. Luận án giải quyết bài toán điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển không duy nhất bằng công cụ nào?

Khi điều kiện Lipschitz của ngoại lực $\hat{f}$ bị nới lỏng (hàm chỉ còn liên tục và thỏa mãn các điều kiện chặn compact), tính duy nhất của điều khiển không còn đảm bảo. Tác giả phân tích toán tử hệ thống thành tổng của hai toán tử (một toán tử co và một toán tử hoàn toàn liên tục) và áp dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh sự tồn tại của ít nhất một biến điều khiển $u(t)$ đưa trạng thái hệ về đích chính xác tại thời điểm $b$.

5. Tại sao kết quả của luận án khắc phục được hạn chế của các phương pháp dùng đạo hàm gH trước đây?

Các nghiên cứu sử dụng đạo hàm gH buộc phải chia nghiệm thành 2 loại (nghiệm loại (i) và loại (ii)) tùy thuộc vào sự tồn tại của đạo hàm gH dạng 1 hay dạng 2, đồng thời phải đặt ra các giả thiết loại trừ điểm nhảy (switching points) trên miền xác định. Trong luận án, nhờ cấu trúc của không gian mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ và các phép toán $\ominus_A$ hoặc $\hat{\⊟}_A$ luôn tồn tại, bài toán vi phân mờ phân thứ được giải quyết thống nhất, loại bỏ hoàn toàn hiện tượng phân nhánh nghiệm và sự cố điểm nhảy.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Hoàng Thị Phương Thảo đã xây dựng hệ thống lý thuyết giải tích phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính $R_F(A)$ thông qua việc đề xuất hai khái niệm đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàm LC Caputo. Bằng các công cụ giải tích toán học như định lý điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh và biến đổi Laplace, luận án đã giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy, thiết lập tiêu chuẩn điều khiển được hoàn toàn và đề xuất giải pháp ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi trạng thái. Các kết quả này đóng góp những luận điểm giải tích mới cho chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân, khắc phục được các hạn chế cố hữu về tính không tồn tại của phép trừ mờ và điểm nhảy trong giải tích mờ truyền thống.