MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết của đề tài Hành trình của Cơ học lượng tử bắt đầu với đề xuất của Planck về lượng tử hóa năng lượng và định luật bức xạ để giải thích "tai nạn tử ngoại" trong quang phổ bức xạ của vật đen tuyệt đối. Về sau ý tưởng này đã được Einstein nâng cao một bước khi ông thực hiện các nghiên cứu về hiệu ứng quang điện. Theo thời gian, Cơ học lượng tử đã được cải thiện, giúp chúng ta hiểu được khuôn khổ của vật lý và các nguyên lý của nó, từ đó đã trở thành cơ sở cho sự phát triển của nhiều ngành vật lý mới như thông tin lượng tử, viễn tải lượng tử, máy tính lượng tử và nhiều lĩnh vực khác. Các tính năng cần thiết cho những tiến bộ như vậy được gọi là tương quan lượng tử và chúng có thể truyền tải, lưu trữ và thực hiện các thao tác thông tin một cách hữu ích.
Tuy nhiên, với sự phát triển của khoa học, tương quan lượng tử của hệ hai thành phần đã được nghiên cứu khá chuyên sâu và người ta có thể hiểu khá đầy đủ về bản chất, sự hình thành và ứng dụng của nó. Gần đây, ngày càng có nhiều mối quan tâm tập trung chuyển sang nghiên cứu về tương quan lượng tử trong các hệ lượng tử nhiều thành phần, đặc biệt là hiệu ứng nổi bật rối lượng tử. Mục đích của luận văn là nghiên cứu ảnh hưởng của thành phần cross-kerr lên sự hình thành trạng thái đan rối trong bộ ghép ba dao động tử phi tuyến kiểu Kerr. Cụ thể, các hệ lượng tử được đề xuất bao gồm ba bộ dao động phi tuyến kiểu Kerr, hai dao động tử biên liên kết với dao động tử trung tâm bằng kiểu tương tác tuyến tính và đồng thời được kích thích bởi các xung bên ngoài dưới dạng trường kết hợp.
Các mô hình này có thể được mô tả thông qua các Hamiltonians hiệu dụng giống với các hệ Kerr quang học. Hệ lượng tử phi tuyến kiểu Kerr thường được thảo luận trong nhiều ứng dụng của các hệ vật lý khác nhau. Các mô hình như vậy có thể được áp dụng vào thực tế trong việc mô tả các máy cộng hưởng cơ nano và nhiều hệ quang cơ, ngưng tụ Bose- Einstein [28], hay mô hình Bose Hubbard áp dụng cho các hệ boson [20], [25]. Ngoài ra, các mô hình dao động kiểu Kerr là cũng là chủ điểm của một lượng 1 lớn các công trình liên quan đến các vấn đề hỗn loạn lượng tử [3], [13], [14].
Các mô hình phi tuyến kiểu Kerr đã được chứng minh là các mô hình đáng tin cậy, xử lý đơn giản để tìm ra các nghiệm số và tạo ra các trạng thái đan rối cao và các đặc tính tính lượng tử của nó. Vì tính hấp dẫn của chủ đề này, chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu ảnh hưởng của thành phần cross-kerr lên sự hình thành trạng thái đan rối trong bộ ghép ba dao động tử phi tuyến kiểu Kerr”. Cụ thể, chúng tôi sẽ nghiên cứu khả năng tạo ra rối lượng tử trong hệ lượng tử trong mô hình gồm ba dao động tử phi tuyến kiểu Kerr, hai dao động tử biên tương tác với dao động tử trung tâm bởi kiểu tương tác tuyến tính và chịu tác động của xung bơm bên ngoài dưới dạng trường điện từ kết hợp. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2.
Đối tượng nghiên cứu: Các hệ quang học phi tuyến kiểu Kerr bao gồm ba dao động tử với số chiều hữu hạn hoặc vô hạn. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết trên hệ phi tuyến kiểu Kerr bao gồm ba dao động tử với số chiều hữu hạn hoặc vô hạn. Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu tổng quan hệ phi tuyến kiểu Kerr ba mode và các chuẩn về rối lượng tử. - Nghiên cứu tính toán, thành lập hệ phương trình trạng thái, tiến triển theo thời gian của các trạng thái lượng tử, tiến hành đo độ đan rối của các trạng thái.
- Áp dụng giải số phương trình chuyển động cho ma trận mật độ trong cơ học lượng tử bằng phương pháp mô phỏng, từ đó xem xét khả năng tồn tại các hiệu ứng phi cổ điển thông qua các phép đo tiến hành trên ma trận mật độ thu được dưới sự ảnh hưởng của quá trình mất mát. Cách tiếp cận - Tiếp cận kế thừa các nghiên cứu đã có về các mô hình phi tuyến kiểu Kerr. 2 - Sử dụng hình thức luận các kéo lượng tử phi tuyến để “cắt” không gian các trạng thái của hệ từ vô hạn chiều sang không gian hiệu dụng hữu hạn chiều, nhằm thu được các trạng thái có tính chất đặc thù rất thú vị, là đối tượng nghiên cứu rộng rãi trong quang học lượng tử, đặc biệt là những trạng thái có độ đan rối cao. Phương pháp nghiên cứu - Phân tích và xử lý tài liệu, sử dụng các phương pháp của cơ học lượng tử, quang học lượng tử; xây dựng và xử lý các bài toán trên nền tảng tính toán lượng tử.
- Sử dụng các phần mềm Matlab để mô phỏng, đánh giá số liệu, giải số và vẽ đồ thị. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Tạo ra một tiềm năng định hướng trong việc kiểm soát và hình thành rối lượng tử có ứng dụng trong tính toán lượng tử. CÁC KHÁI NIỆM VÀ HÌNH THỨC LUẬN CƠ BẢN 3 1. Hình thức luận của cơ học lượng tử 1.1 Trạng thái tinh khiết và trạng thái hỗn loạn lượng tử Trong vật lý lượng tử, một trạng thái vật lý có thể được biểu diễn bằng một véc tơ trạng thái trong một không gian véc tơ phức [11].
Sử dụng ký hiệu của Dirac hay còn gọi là ”ket” véc tơ ta có thể viết trạng thái dưới dạng một đối tượng toán học y - một véctơ trong không gian Hilbert. Một hệ lượng tử có trạng thái vật lý được biểu diễn ở dạng y sẽ được gọi là trạng thái tinh khiết, là trạng thái lượng tử nơi chúng ta có thông tin chính xác về hệ lượng tử. Trong trường hợp tổng quát, trạng thái lượng tử của hệ cũng có thể được tạo nên bởi việc trộn lẫn các giá trị thống kê của tham số và được biểu diễn dưới dạng ma trận mật độ. Đối với trạng thái thuần (tinh khiết) toán tử mật độ có dạng: r= y y .1) Nếu ma trận r không ở dạng trạng thái lượng tử tinh khiết, trạng thái đó được gọi là trạng thái hỗn hợp.
Một trạng thái hỗn hợp có thể được biểu diễn dưới dạng r = å pl y l y l , (1.2) l là hỗn hợp các trạng thái y l với xác suất tìm thấy là pl. Một trạng thái hỗn hợp có thể được xem như một sự phân bổ xác suất cổ điển của các trạng thái tinh khiết. Khi có một ma trận mật độ ta có thể sử dụng phép tính độ tinh khiết (purity) để xác định trạng thái là thuần hay hỗn hợp như sau: 𝑃 = 𝑇𝑟[𝜌2 ] (1.3) Nếu P = 1 , ma trận mật độ biểu diễn các trạng thái tinh khiết, ngược lại khi P < 1 , biểu diễn trạng thái hỗn hợp. Động lực học lượng tử Khi nghiên cứu tiến triển của một trạng thái, ta đang đi tìm hiểu trạng thái đó thay đổi như thế nào theo khoảng thời gian từ t0 ® t.
Theo cơ học lượng tử, ta có thể xác định trạng thái thông qua một toán tử unita, tác dụng toán tử này là chuyển trạng thái ở thời điểm t0 sang trạng thái ở thời điểm t thông qua phương trình: y (t ) = Uˆ (t , t0 ) y (t0 ) .4) Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của vật lý lượng tử, nó mô tả sự biến đổi theo thời gian của trạng thái của một hệ lượng tử ¶ ih y (t ) = Hˆ y (t ) , (1.5) ¶t trong đó Ĥ là toán tử tương ứng với tổng năng lượng của hệ và được gọi là Hamiltonian. Phương trình (1.5) tương đương với phương trình ¶ ˆ ˆ ˆ (t , t ) .6) ¶t Từ phương trình (1.6) ta nhận thấy có 3 trường hợp xảy ra. Trường hợp 1. Nếu toán tử Hamiltonian không phụ thuộc thời gian, biểu thức thu được với toán tử Unita Û có dạng: iHˆ Uˆ t , t0 exp t t0 .7) Trường hợp 2.
Nếu toán tử Hamiltonian phụ thuộc thời gian và giao hoán với chính nó theo toàn miền thời gian, toán tử Û có dạng: i t Uˆ t , t0 exp dt ' Hˆ t ' .8) t0 Trường hợp 3. Nếu toán tử Hamiltonian phụ thuộc thời gian và không giao hoán với chính nó theo toàn miền thời gian, toán tử Û có dạng: i t Uˆ t , t0 exp dt ' Hˆ t ' .9) t0 5 trong đó là toán tử trật tự thời gian trong lý thuyết trường lượng tử [11]. Trong khuôn khổ của đề tài các toán tử Hamiltonian là các toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Do đó ta chỉ xét tới trường hợp 1.
Dao động tử điều hòa Hamiltonian của một dao động tử điều hòa [11] có dạng: pˆ 2 m 2 2 Hˆ x , (1.10) 2m 2 trong đó là tần số góc của dao động tử. Toán tử hermite x̂ và p̂ là toán tử tọa độ và toán tử xung lượng. Bằng phương pháp lượng tử hóa.11) aˆ m xˆ i pˆ 2 m † trong đó â và â được gọi là các toán tử sinh và toán tử hủy. Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán [11]: aˆ , aˆ † 1.12) ta có thể viết lại toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa dưới dạng Hˆ aˆ †aˆ 1 .13) trong đó aˆ †aˆ Nˆ được định nghĩa là toán tử số hạt.
Các trạng thái số hạt Trong vật lý lượng tử chúng ta có thể kể đến một số loại trạng thái mà các ứng dụng của chúng đã được ghi nhận cũng như đã được kiểm chứng có nhiều tiềm năng. Lớp trạng thái đầu tiên cần đề cập tới là các trạng thái số hạt hay còn gọi là các trạng thái Fock [6], là trạng thái với số lượng hạt được xác 6 định rõ. Ta ký hiệu trạng thái Fock là n , trong đó n là số hạt của trạng thái. n là hàm riêng của toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa 1 Hˆ n Nˆ n .