Chương 1. Cơ sở lý thuyết ngẫu nhiên. Giản ước bởi nhiễu trong laser vòng Raman dưới ảnh hưởng của bơm tiền Gauxơ một điện tín. Giản ước bởi nhiễu trong laser vòng Raman dưới ảnh hưởng của bơm tiền Gauxơ hai điện tín.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN TRONG QUANG HỌC LƯỢNG TỬ Laser thực sự không bao giờ đơn sắc hoàn toàn. Nhưng trong hầu hết các trường hợp được xem xét, tính chất đơn sắc của laser thường được nhắc đến như là ưu điểm chính của nó. Trong các ứng dụng thì tia laser có tính đơn sắc nhất trong số các ánh sáng hiện nay. Tuy nhiên, trong thực nghiệm ta cần nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ laser tới các hiện tượng khác nhau.
Độ rộng phổ của nó thay đổi từ khoảng 10s 1 đến khoảng 109 s 1. Có một vài cơ chế dẫn tới hiện tượng mở rộng vạch phổ. Có nhiều cách phân loại khác nhau đối với những cơ chế này. Trong kỹ thuật laser, nhiễu được phân thành hai dạng: nhiễu “kỹ thuật”, bao gồm rung động cơ học của buồng cộng hưởng và các loại nhiễu ngoại, và nhiễu “cơ bản” do thăng giáng lượng tử.
Việc lấy trung bình các nghiệm cho chúng ta cơ hội để phản ánh ảnh hưởng của các thăng giáng của laser vào các đại lượng nguyên tử mà chúng ta quan tâm. Bài toán này đã và đang trở thành một trong những bài toán trung tâm của quang học lượng tử kể từ công trình đầu tiên của Eberly và Agarwal [2], [11]. Đặc điểm của quá trình ngẫu nhiên mô tả trường laser phụ thuộc vào mô hình laser. Tất cả các mô hình laser ngẫu nhiên hiện tại có một đặc tính chung, đó là laser là một trường điện từ cổ điển, tức là một quá trình ngẫu nhiên Gauxơ dừng với thời gian tương quan hữu hạn.
Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét một số mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser, lý thuyết cơ bản của nhiễu tiền Gauxơ và ứng dụng của nó. Các mô hình ngẫu nhiên của laser 1. Laser đơn mốt với các thăng giáng pha và biên độ Lý thuyết laser được xây dựng trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử về sự tương tác của trường điện từ với hệ vật chất hoạt. Người ta có thể bắt đầu từ một bức tranh vi mô để dẫn đến một mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser.
Tất cả các tham số đặc trưng của các quá trình ngẫu nhiên mô tả trường laser 6 có thể được xác định bằng lý thuyết vi mô hoàn chỉnh. Bằng cách xem xét kỹ lưỡng lý thuyết này, chúng ta có thể tìm được mô hình mà trường bức xạ do laser phát ra được mô tả bằng biên độ phức: t 0 t ei t , (1.1) trong đó 0 const , t và t là các quá trình ngẫu nhiên độc lập. Lý thuyết mô tả độ rộng phổ đồng nhất dựa trên lược đồ hình 1. Bây giờ ta giả thuyết rằng trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử, hệ mà ta quan tâm được mô tả bằng tập hợp các toán tử l l1 , l2 ,.
Chẳng hạn, đối với trường bức xạ đơn mốt l l , l với l và l tương ứng là toán tử hủy và toán tử sinh photon. Còn đối với nguyên tử hai mức là mô hình của nguyên tử trong môi trường hoạt, ta có l , , z , trong đó và là tổ hợp của các ma trận Pauli [3]. Bây giờ chúng ta đưa vào một tập các toán tử mô tả bể nhiệt m m1 , m2 ,. Đối với trường hợp bức xạ nhiệt, m có thể là các toán tử hủy và sinh của các lượng tử trường với năng lượng .
Nếu Hamilton tương tác chỉ chứa các số hạng lưỡng tuyến tính, thì các phương trình Heisenberg mô tả tiến triển của hệ là tuyến tính đối với các biến l , m. Lúc đó ta có thể bỏ qua m và các phương trình thu được chỉ chứa các toán tử l và các giá trị ban đầu của các toán tử m: f i l Gi m0 .2) dt 7 Bơm Các nguyên tử của Các thăng giáng chân không (phát xạ tự môi trường hoạt tính phát) , +, z Các phonon hoặc các nguyên tử va chạm với nhau Tương tác nguyên tử + trường Các thành của buồng Các trường bức xạ a, cộng hưởng, dao động a+ của các gương, bức xạ nhiệt.1 Giản đồ dẫn đến mô hình đã nêu ở trên Các giá trị cụ thể của các toán tử mi 0 không được biết trước, song từ các tính chất của hệ bể nhiệt cho trước ta có thể biết được các tính chất thống kê của chúng và từ đó ta có các tính chất thống kê của các lực Gi. Nói chung việc phân tích chính xác các tính chất thống kê này không thực hiện được. Song thời gian tương quan thực của các hàm Gi t thường nhỏ so với tất cả các thời gian đặc trưng khác của hệ được xét.
Vì vậy ta giả thuyết rằng hàm tương quan hai thời gian đối với các lực có dạng: Gi t Gk t ' 2 ik t t ' .3) 8 Khi đó phương trình (1.2) tương tự với phương trình Langevin quen thuộc của lý thuyết chuyển động Brown [40]. Phương pháp trên đã được Haken dùng trong lý thuyết laser với sự mở rộng đồng nhất [20]. Bằng các phương pháp gần đúng tiếp theo ta thu được phương trình cho trường laser phức (1. Với sự tuyến tính hóa lời giải dừng dẫn đến các phương trình kiểu Langevin không phụ thuộc vào nhau đối với pha và biên độ: G t , (1.4) t t t , trong đó Gt và t là các nhiễu trắng không liên quan với nhau, tức là các quá trình Gauxơ với các tính chất sau: G t 0, G t G t ' 2l t t ' , (1.4) ta suy ra biên độ và đạo hàm của pha là các quá trình Orstein – Uhlenbeck [40].
Đây là các quá trình Gauxơ với giá trị trung bình không đổi (thường bằng không) xt const và hàm tương quan: xt xt ' 02 exp t t ' .6) và tính chất Gauxơ của xt ta có thể chỉ ra rằng quá trình Orstein – Uhlenbeck là một quá trình Markov [9]. Thông thường các thăng giáng của biên độ rất nhỏ so với những thăng giáng pha. Do đó, trong mô tả laser đơn mốt người ta thường bỏ qua các thăng giáng biên độ. Mô hình như vậy được gọi là mô hình khuếch tán pha [9].
Phần trên đã trình bày hình thức luận dẫn đến sự mở rộng đồng nhất của laser. Khi tính đến cả sự mở rộng không đồng nhất cần phải lấy trung bình các kết quả cuối cùng theo phân bố thống kê của tham số tương ứng có trong các phương trình động lực học liên quan đến tính không đồng nhất của môi trường hoạt tính. Trong việc mô tả laser khí, tham số này là vận tốc nguyên tử với phân bố Maxwell. Mô hình laser với thăng giáng bơm Những năm 70 của thế kỷ trước người ta vẫn nghĩ rằng lý thuyết laser được phát triển đồng thời tại ba địa điểm: Trường phái Lamb [20], Bell Telephone Laboratories [19] ở Mỹ và Nhóm Haken [35] ở Stuttgart, Đức mô tả rất tốt các tính chất kết hợp của ánh sáng laser.
Tuy nhiên năm 1981 Mandel và các cộng sự [25], [37] đã chỉ ra rằng, trong thực nghiệm với laser màu đơn mốt các hiện tượng thăng giáng quan sát thấy có những đặc điểm khác biệt so với những tiên đoán của các mô hình chuẩn [35], [19]. Kaminishi và cộng sự [25] đã dùng lý thuyết Haken để mô tả các kết quả thực nghiệm của họ. Lý thuyết Haken dẫn đến phương trình cho biên độ phức của trường: t t G1 t , 2 (1.7) với là tham số bơm, G1 0 là tham số bảo hòa của môi trường hoạt tính, môi trường này gây ra sự ổn định của laser hoạt động trên ngưỡng và t là nhiễu trắng, mô tả các thăng giáng chân không hay phát xạ tự phát (hình 1. Mặc dù, phương trình (1.7) không phù hợp để giải thích các kết quả thực nghiệm [25].
Tuy vậy, đây là lần đầu tiên người ta đã đề xuất rằng các thăng giáng bơm (xem hình 1.1) có thể đóng một vai trò quan trọng trong laser màu đơn mốt. Thực hiện những ý tưởng này Graham và những cộng sự [18] đã giả thuyết rằng tham số bơm là nhiễu trắng và bỏ qua t trong phương trình (1. Từ giả thuyết này, thay cho quá trình cộng ta có quá trình nhân [14]. Khi đó các phương trình này có thể giải được chính xác bằng phương pháp giải tích.
Bằng cách này người ta đã giải thích tốt các kết quả thực nghiệm trong [25]. Như đã trình bày trong [37], lý thuyết này vẫn chưa mô tả tốt một số kết quả thực nghiệm khác. Họ đã thay nhiễu trắng bằng nhiễu màu, vì thời gian hồi phục của nhiễu bơm có thể không đủ nhỏ khi so với các thời gian đặc trưng khác của hệ laser màu. Song lúc đó phương trình t t G1 , 2 (1.8) 10 không giải được bằng giải tích.
Lý thuyết về nhiễu màu được phát triển tốt [29], nhưng chỉ trong trường hợp đặc biệt nó mang lại những lời giải chính xác bằng giải tích. Dixit và Sahmi [6] đã giải lặp trên máy tính nhiễu màu và thu được các kết quả hợp với thí nghiệm của Short và cộng sự. Laser đa mốt và ánh sáng ngẫu nhiên Chúng ta xem xét một cơ chế dẫn đến sự mở rộng của ánh sáng laser. Trong laser đa mốt, biên độ phức của trường bức xạ có dạng [58]: M t k e i t , k k (1.9) k 1 trong đó M là số mốt, k là các tần số của chúng đối với tần số trung bình L , k là các biên độ không đổi và k là các pha ngẫu nhiên độc lập nhau.
Ta chấp nhận một giả thuyết tự nhiên là các pha này được phân bố đồng đều trong đoạn 0, 2 .