Khám Phá Đại Cương Đại Số Trừu Tượng Hiện Đại - Lý Thuyết và Ứng Dụng

Khám phá đại số trừu tượng hiện đại với 'Modern Abstract Algebra' của Shanti Narayan tập 2. Tìm hiểu sâu hơn về nhóm, vành, trường và các khái niệm nâng cao.

• Tác giả: Shanti Narayan
• Trường học: University Of Delhi
• Chuyên ngành: Modern Abstract Algebra
• Đề tài: Galois Theory
• Loại tài liệu: Text Book
• Năm xuất bản: 1958
• Địa điểm: New Delhi

Tóm tắt

I. Tổng quan về sách Modern abstract algebra by Shanti Narayan

Cuốn sách "Modern abstract algebra by Shanti Narayan", được xuất bản lần đầu bởi S. Chand Publishing, là một trong những giáo trình toán cao cấp kinh điển và có ảnh hưởng sâu rộng trong lĩnh vực đại số. Được biên soạn bởi tác giả Shanti Narayan và sau này có sự đóng góp của P.K. Mittal, tác phẩm này đã trở thành một sách tham khảo đại số nền tảng cho nhiều thế hệ sinh viên và nhà nghiên cứu toán học. Mục tiêu chính của cuốn sách, như tác giả đã nêu trong lời tựa, là trình bày các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết Galois, dẫn dắt người đọc đi từ những khái niệm sơ đẳng nhất đến những đỉnh cao của đại số trừu tượng. Sách được cấu trúc một cách logic, bắt đầu từ các khái niệm cơ bản về lý thuyết tập hợp, sau đó đi sâu vào các cấu trúc đại số cốt lõi. Cách tiếp cận của Shanti Narayan algebra book mang tính tiên đề và trừu tượng, phản ánh đúng tinh thần của toán học hiện đại, nhưng luôn được minh họa bằng các ví dụ cụ thể để giúp người đọc dễ dàng liên kết với toán học cổ điển. Một điểm đặc biệt là cuốn sách nhấn mạnh vào việc sử dụng ký hiệu logic (như ⇒ và ⇔) để làm rõ các chuỗi lập luận, một phương pháp giúp người mới bắt đầu nắm vững cách tư duy toán học chặt chẽ. Cuốn sách không chỉ tập trung vào các nhóm hữu hạn mà còn mở rộng ra các cấu trúc vô hạn, làm cho nó trở nên toàn diện và phù hợp với các nghiên cứu chuyên sâu. Đây không chỉ là một cuốn sách giáo khoa mà còn là một tài liệu quý giá cho bất kỳ ai muốn tìm hiểu sâu về vẻ đẹp và sức mạnh của đại số trừu tượng, đặc biệt là những ai đang tìm kiếm tài liệu đại số trừu tượng pdf chất lượng.

1.1. Giới thiệu tác giả Shanti Narayan và P.K. Mittal

Shanti Narayan, cựu hiệu trưởng trường Cao đẳng Hans Raj, Đại học Delhi, là một nhà giáo dục và tác giả sách toán học uy tín tại Ấn Độ. Các tác phẩm của ông, bao gồm "A Textbook of Modern Abstract Algebra", nổi tiếng với sự rõ ràng, trình bày hệ thống và chiều sâu học thuật. Mục tiêu của ông là phổ biến hóa các nhánh toán học thuần túy cơ bản. Trong lời nói đầu của phiên bản đầu tiên năm 1958, Shanti Narayan đã bày tỏ mong muốn rằng cuốn sách sẽ giúp người đọc "đạt được sự trân trọng và niềm đam mê đối với Đại số trừu tượng". Về sau, cuốn sách được bổ sung và hoàn thiện bởi P.K. Mittal, người đã giúp duy trì sự phù hợp và cập nhật của tài liệu qua nhiều lần tái bản, đảm bảo rằng di sản của Shanti Narayan and P.K. Mittal tiếp tục là nguồn tài liệu tham khảo đáng tin cậy cho sinh viên toán học.

1.2. Vai trò như một algebraic structures textbook kinh điển

Cuốn sách này được công nhận rộng rãi như một algebraic structures textbook (giáo trình về các cấu trúc đại số) kinh điển. Nó trình bày một cách có hệ thống các cấu trúc chính của đại số hiện đại, bao gồm nhóm, vành, trường, không gian vector và đại số tuyến tính. Cách tiếp cận của sách là xây dựng kiến thức tuần tự: từ những khái niệm cơ bản về ánh xạ và phép toán hai ngôi trong Chương I, đến lý thuyết nhóm trong Chương II và III, sau đó là lý thuyết vành và trường trong Chương IV. Cách trình bày này giúp người học xây dựng một nền tảng vững chắc trước khi tiến tới các chủ đề phức tạp hơn như lý thuyết Galois. Chính vì sự toàn diện và cấu trúc chặt chẽ này, S. Chand Modern abstract algebra đã và đang được sử dụng làm tài liệu giảng dạy chính thức tại nhiều trường đại học trên thế giới.

II. Thách thức khi tiếp cận Modern abstract algebra Shanti Narayan

Mặc dù là một tài liệu kinh điển, việc tự học "Modern abstract algebra by Shanti Narayan" không phải là không có thách thức. Bản chất trừu tượng và tiên đề của môn học đòi hỏi người đọc phải có một tư duy logic và khả năng suy luận cao. Một trong những khó khăn lớn nhất là việc chuyển từ tư duy tính toán cụ thể sang việc nắm bắt các cấu trúc đại số tổng quát. Các khái niệm như nhóm, vành, ideal hay mở rộng trường có thể khá xa lạ và khó hình dung đối với những người mới bắt đầu. Thêm vào đó, cuốn sách đi thẳng vào trọng tâm học thuật với một nhịp độ khá nhanh, yêu cầu sự tập trung và nỗ lực đáng kể. Các bài tập trong sách, tuy rất quan trọng để củng cố kiến thức, nhưng lại không đi kèm lời giải chi tiết. Điều này dẫn đến một nhu cầu lớn trong việc tìm kiếm lời giải bài tập đại số trừu tượng Shanti Narayan từ các nguồn bên ngoài. Việc thiếu một tài liệu hướng dẫn giải bài tập chính thức khiến nhiều sinh viên gặp khó khăn trong việc kiểm tra và đánh giá sự hiểu biết của mình. Hơn nữa, để thực sự lĩnh hội được các chương cuối về lý thuyết Galois và ứng dụng của nó, người học cần phải nắm vững toàn bộ kiến thức đã được trình bày ở các chương trước, từ lý thuyết nhóm đến vành đa thức và không gian vector, tạo nên một chuỗi kiến thức liên kết chặt chẽ nhưng cũng đầy thử thách.

2.1. Nhu cầu tìm kiếm lời giải bài tập đại số trừu tượng

Một trong những rào cản chính khi sử dụng cuốn Shanti Narayan algebra book là sự thiếu vắng của phần lời giải cho hệ thống bài tập phong phú. Các bài tập được thiết kế để kiểm tra sự hiểu biết sâu sắc về các định lý và định nghĩa, nhưng việc không có đáp án để đối chiếu khiến người học dễ cảm thấy mất phương hướng. Do đó, nhu cầu tìm kiếm lời giải bài tập đại số trừu tượng Shanti Narayan trở nên vô cùng phổ biến trên các diễn đàn học thuật và trang web giáo dục. Sinh viên thường phải tự tìm tòi, thảo luận với bạn bè hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ từ giảng viên để giải quyết các bài toán khó, một quá trình tuy có thể giúp hiểu sâu hơn nhưng cũng tốn nhiều thời gian và công sức.

2.2. Khó khăn trong việc nắm bắt các cấu trúc đại số phức tạp

Việc nắm bắt các cấu trúc đại số là cốt lõi của môn học. Cuốn sách định nghĩa các hệ thống đại số như nhóm, vành, và trường thông qua một tập hợp các tiên đề. Ví dụ, một nhóm được định nghĩa là một tập hợp với một phép toán hai ngôi thỏa mãn tính kết hợp, có phần tử đơn vị và mọi phần tử đều có phần tử nghịch đảo. Mặc dù định nghĩa rõ ràng, việc hình dung và làm việc với các cấu trúc này trong bối cảnh trừu tượng đòi hỏi một sự thay đổi lớn trong tư duy. Sinh viên phải học cách suy luận từ các tiên đề thay vì dựa vào các ví dụ số học quen thuộc, đây là một bước nhảy vọt về nhận thức và là một trong những thách thức lớn nhất khi nghiên cứu A Textbook of Modern Abstract Algebra.

III. Phương pháp tiếp cận lý thuyết nhóm trong sách Shanti Narayan

Chương II và III của cuốn "Modern abstract algebra by Shanti Narayan" được dành riêng để xây dựng một nền tảng vững chắc về lý thuyết nhóm. Phương pháp tiếp cận của tác giả rất hệ thống và toàn diện. Sách bắt đầu bằng việc giới thiệu các ví dụ cụ thể về nhóm, chẳng hạn như nhóm các số nguyên với phép cộng, nhóm các số hữu tỉ khác không với phép nhân, và đặc biệt là nhóm đối xứng (Symmetric group). Cách tiếp cận này giúp người học làm quen với khái niệm nhóm thông qua các ví dụ quen thuộc trước khi đi sâu vào các tính chất trừu tượng. Sách định nghĩa một nhóm một cách chặt chẽ thông qua ba tiên đề: tính kết hợp của phép toán, sự tồn tại của phần tử đơn vị, và sự tồn tại của phần tử nghịch đảo cho mọi phần tử. Từ đó, các tính chất cơ bản như tính duy nhất của phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo được suy ra một cách logic. Cuốn sách không chỉ tập trung vào các nhóm hữu hạn. Nó trình bày các định lý quan trọng áp dụng cho cả nhóm hữu hạn và vô hạn, ví dụ như Định lý Lagrange. Một điểm nổi bật là cách tác giả tích hợp các ví dụ về nhóm hoán vị (permutation groups) xuyên suốt các chương để minh họa cho các khái niệm của lý thuyết nhóm trừu tượng, thay vì dành một chương riêng cho chúng. Cách tiếp cận này giúp người đọc thấy được mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết và ứng dụng, làm cho các khái niệm về lớp liên hợp (conjugate classes) hay nhóm con chuẩn tắc (normal subgroups) trở nên trực quan hơn.

3.1. Định nghĩa và các tiên đề cơ bản của lý thuyết nhóm

Sách định nghĩa một nhóm (Group) là một tập hợp G cùng với một phép toán hai ngôi thỏa mãn ba tiên đề cốt lõi. Thứ nhất, phép toán phải có tính kết hợp: (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c thuộc G. Thứ hai, tồn tại một phần tử đơn vị e trong G sao cho ea = a = ae với mọi a thuộc G. Cuối cùng, với mỗi phần tử a trong G, tồn tại một phần tử nghịch đảo b trong G sao cho ab = e = ba. Cách trình bày tiên đề này là nền tảng cho toàn bộ lý thuyết nhóm được phát triển trong sách. Tác giả Shanti Narayan nhấn mạnh rằng từ những tiên đề đơn giản này, một cấu trúc toán học phong phú và phức tạp có thể được xây dựng, thể hiện sức mạnh của phương pháp tiên đề trong toán học hiện đại.

3.2. Phân tích nhóm con nhóm cyclic và Định lý Lagrange

Sau khi thiết lập các khái niệm cơ bản, cuốn sách đi sâu vào cấu trúc bên trong của nhóm thông qua các khái niệm về nhóm con (subgroup) và lớp kề (coset). Một trong những kết quả nền tảng đầu tiên được trình bày là Định lý Lagrange, phát biểu rằng cấp của một nhóm con bất kỳ của một nhóm hữu hạn luôn là ước của cấp của nhóm đó. Định lý này là một công cụ cực kỳ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn. Sách cũng dành sự quan tâm đặc biệt đến nhóm cyclic, là những nhóm được sinh bởi một phần tử duy nhất. Việc phân tích cấu trúc của nhóm cyclic trong Shanti Narayan algebra book cung cấp một mô hình đơn giản nhưng quan trọng để hiểu các cấu trúc đại số phức tạp hơn.

IV. Hướng dẫn chi tiết lý thuyết vành và trường từ giáo trình

Tiếp nối lý thuyết nhóm, cuốn "Modern abstract algebra by Shanti Narayan" dành chương IV và V để giới thiệu về lý thuyết vành và trường, hai cấu trúc đại số quan trọng khác. Một vành (Ring) là một tập hợp được trang bị hai phép toán (thường gọi là phép cộng và phép nhân) thỏa mãn các tiên đề nhất định. Cụ thể, tập hợp đó phải là một nhóm Abel đối với phép cộng, phép nhân có tính kết hợp, và hai phép toán liên kết với nhau bởi luật phân phối. Sách trình bày một cách cẩn thận các loại vành khác nhau như vành giao hoán, miền nguyên (integral domain), và trường (field). Một trường là một vành giao hoán mà mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo nhân. Các ví dụ kinh điển như vành các số nguyên (Z), trường các số hữu tỉ (Q), và trường các số thực (R) được sử dụng để minh họa. Một khái niệm trung tâm trong lý thuyết vành là ideal. Sách giải thích rõ vai trò của ideal trong việc xây dựng vành thương (quotient ring), một cấu trúc tương tự như nhóm thương trong lý thuyết nhóm. Chương V tập trung vào vành đa thức (Polynomial Rings), một chủ đề thiết yếu để chuẩn bị cho lý thuyết Galois. Các khái niệm như thuật toán chia, miền phân tích duy nhất (Unique Factorization Domain), và miền ideal chính (Principal Ideal Domain) được thảo luận chi tiết, tạo nền tảng vững chắc cho việc nghiên cứu nghiệm của đa thức.

4.1. Khái niệm vành miền nguyên và các ideal tương ứng

Sách định nghĩa vành như một sự mở rộng tự nhiên của nhóm, bổ sung thêm phép toán thứ hai. Miền nguyên được giới thiệu như một loại vành giao hoán đặc biệt không có ước của không, một tính chất quan trọng được thỏa mãn bởi vành số nguyên. Khái niệm ideal được trình bày không chỉ như một tập con đặc biệt của vành, mà còn là "hạt nhân" của các đồng cấu vành (ring homomorphisms). Sự tương tự giữa ideal trong lý thuyết vành và trường và nhóm con chuẩn tắc trong lý thuyết nhóm được làm nổi bật, giúp người học thấy được sự thống nhất trong các ý tưởng của đại số trừu tượng.

4.2. Xây dựng trường và các mở rộng trường hữu hạn

Trường được xem là cấu trúc đại số "hoàn hảo" nhất trong ba cấu trúc chính, nơi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia (cho số khác không) đều thực hiện được. Cuốn sách khám phá cấu trúc của các trường, bao gồm các trường nguyên tố (prime fields) và đặc số của một trường (characteristic of a field). Quan trọng hơn, sách giới thiệu khái niệm mở rộng trường (field extension), đặc biệt là các mở rộng trường hữu hạn. Đây là bước đệm quan trọng, chuẩn bị các công cụ cần thiết để bước vào "cánh cổng của Lý thuyết Galois" (portals of Galois Theory), như cách gọi của tác giả. Việc hiểu rõ về mở rộng trường là chìa khóa để phân tích bài toán giải phương trình đại số bằng căn thức.

V. Bí quyết chinh phục Lý thuyết Galois với Shanti Narayan

Đỉnh cao của cuốn "Modern abstract algebra by Shanti Narayan" chính là chương VIII và IX, nơi tác giả trình bày một cách tường minh về Lý thuyết Galois. Đây là mục tiêu chính của cuốn sách, và toàn bộ các chương trước đều nhằm xây dựng nền tảng kiến thức cho phần này. Lý thuyết Galois tạo ra một mối liên kết sâu sắc và tuyệt đẹp giữa lý thuyết vành và trường và lý thuyết nhóm. Lý thuyết này nghiên cứu các mở rộng trường thông qua nhóm các tự đồng cấu của chúng, được gọi là nhóm Galois. Cuốn sách bắt đầu bằng cách định nghĩa các khái niệm cốt lõi như mở rộng đại số, đa thức bất khả quy, trường phân rã (decomposition field) và mở rộng chuẩn tắc (normal extension). Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois, một trong những kết quả đẹp nhất của toán học, được chứng minh một cách chi tiết. Định lý này thiết lập một tương ứng một-một giữa các trường con trung gian của một mở rộng Galois và các nhóm con của nhóm Galois tương ứng. Tương ứng này cho phép chuyển các bài toán phức tạp về trường thành các bài toán đơn giản hơn về nhóm hữu hạn. Cuối cùng, sách ứng dụng lý thuyết này để giải quyết hai bài toán cổ điển: tính giải được của phương trình đại số bằng căn thức (solvability by radicals) và các bài toán dựng hình bằng thước và compa. Sách chứng minh định lý Abel-Ruffini, khẳng định rằng không tồn tại công thức nghiệm tổng quát bằng căn thức cho phương trình bậc năm trở lên, một kết quả mang tính cách mạng trong lịch sử toán học.

5.1. Nền tảng và định lý cơ bản của Lý thuyết Galois

Để hiểu Lý thuyết Galois, người đọc cần nắm vững các khái niệm về mở rộng trường, đặc biệt là mở rộng tách được (separable extension) và mở rộng chuẩn tắc. Cuốn A Textbook of Modern Abstract Algebra xây dựng các khái niệm này một cách cẩn thận. Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois được phát biểu và chứng minh, cho thấy một sự đối xứng ngược: trường con càng lớn thì nhóm con tương ứng càng nhỏ và ngược lại. Mối liên hệ này là chìa khóa để hiểu tại sao một số đa thức có thể giải được bằng căn thức trong khi những đa thức khác thì không. Nhóm Galois của đa thức chứa đựng toàn bộ thông tin về cấu trúc nghiệm của nó.

5.2. Ứng dụng giải phương trình và các bài toán dựng hình

Phần cuối của cuốn sách là minh chứng cho sức mạnh của Lý thuyết Galois. Tác giả Shanti Narayan chỉ ra rằng một phương trình đại số có thể giải được bằng căn thức khi và chỉ khi nhóm Galois của nó là một nhóm giải được (solvable group). Vì nhóm đối xứng S_n không giải được với n ≥ 5, nên phương trình bậc năm tổng quát không thể giải được bằng căn thức. Tương tự, lý thuyết này cũng được áp dụng để chứng minh sự bất khả thi của các bài toán dựng hình cổ điển như chia ba một góc hay cầu phương một hình tròn. Các ứng dụng này cho thấy đại số trừu tượng không chỉ là một lý thuyết thuần túy mà còn là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề cụ thể đã tồn tại hàng thế kỷ.

Nội dung chính

TỔNG QUAN HỌC THUẬT: GIÁO TRÌNH "A TEXT BOOK OF MODERN ABSTRACT ALGEBRA" (SHANTI NARAYAN)

---

Tổng quan về giáo trình

A Text Book of Modern Abstract Algebra là giáo trình chuyên ngành Đại số trừu tượng thuộc nhánh Toán học thuần túy (Pure Mathematics), do Shanti Narayan – Hiệu trưởng trường Hans Raj College, trực thuộc Đại học Delhi (University of Delhi) biên soạn, được xuất bản bởi Nhà xuất bản S. Chand & Co. (Ấn bản đầu tiên phát hành năm 1958, ấn bản thứ hai năm 1961 và tái bản năm 1965).

                 LỘ TRÌNH PHÁT TRIỂN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
                
  [Cơ sở Lý thuyết Tập hợp & Ánh xạ] (Chương I)
  [Lý thuyết Nhóm & Nhóm con] (Chương II, III)
  [Lý thuyết Vành & Miền nguyên] (Chương IV, V)
  [Không gian Vector & Đại số Tuyến tính] (Chương VI, VII)
  [Lý thuyết Mở rộng Trường & Lý thuyết Galois] (Chương VIII, IX)

Mục tiêu học tập của giáo trình là cung cấp hệ thống lý thuyết nền tảng về các hệ đại số (algebraic systems), xây dựng tư duy suy diễn toán học hình thức từ các hệ tiên đề, và dẫn dắt người học tiếp cận các kết quả cốt lõi của Lý thuyết Galois (Galois Theory) cùng các ứng dụng đại số và hình học cổ điển.

Cấu trúc giáo trình được tổ chức theo phương pháp tiên đề (axiomatic approach). Tác giả thiết kế lộ trình kiến thức đi từ các khái niệm tập hợp cơ bản, phát triển qua các cấu trúc đại số đơn phép toán (Nhóm), hai phép toán (Vành, Miền nguyên, Trường), hệ đa tuyến tính (Không gian vector, Đại số tuyến tính kết hợp) và hội tụ tại Lý thuyết Galois.

Đặc điểm nổi bật trong phương pháp luận của giáo trình là việc quy ước chặt chẽ hệ thống ký hiệu logic hình thức: sử dụng ký hiệu $\Longrightarrow$ cho suy luận một chiều (one-way implication) và $\Longleftrightarrow$ cho suy luận hai chiều (two-way implication). Cách tiếp cận này chuẩn hóa các chuỗi lập luận diễn dịch, giúp người học phân biệt rõ điều kiện cần, điều kiện đủ và cấu trúc chứng minh định lý.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương và chủ đề chính

Giáo trình bao gồm 9 chương với các chủ đề toán học chuyên sâu:

+-----------+-------------------------------------------------------------------------+
| Chương    | Chủ đề toán học chính                                                   |
+-----------+-------------------------------------------------------------------------+
| Chương I  | Cơ sở lý thuyết tập hợp (Set-Theoretic Preliminaries)                   |
| Chương II | Nhóm và nhóm con (Groups and their Sub-groups)                          |
| Chương III| Nhóm và nhóm con chuẩn tắc (Groups and their Normal Sub-groups)         |
| Chương IV | Vành, vành con và ideal (Rings: Their Sub-rings and Ideals)             |
| Chương V  | Vành đa thức và sự phân tích trong miền nguyên (Polynomial Rings)       |
| Chương VI | Không gian vector và biến đổi tuyến tính (Vector Spaces)                |
| Chương VII| Không gian vector của các biến đổi tuyến tính (Linear Algebras)         |
| Chương VIII| Mở rộng trường hữu hạn và Lý thuyết Galois (Galois Theory)             |
| Chương IX | Tính giải được bằng căn thức và Dựng hình bằng thước - compa            |
+-----------+-------------------------------------------------------------------------+

• Chương I: Cơ sở lý thuyết tập hợp (Set-Theoretic Preliminaries): Thiết lập cơ sở về logic suy luận ($\Longrightarrow, \Longleftrightarrow$), định nghĩa tập hợp, tập rỗng ($\emptyset$), tập con ($S \subseteq T$), tập con thực sự ($S \subset T$), phép hợp ($\cup$), phép giao ($\cap$), tích Descartes ($S \times T$). Trình bày lý thuyết ánh xạ (domain, range, ánh xạ vào, ánh xạ lên, ánh xạ một-một/song ánh, ánh xạ đồng nhất $\iota$), tích của các ánh xạ và tính kết hợp, biến đổi tập hợp, hoán vị (permutations) trên tập hữu hạn $P_n$, phép phân tích hoán vị thành tích các chu trình rời nhau (disjoint cycles) và chuyển vị (transpositions), phân loại hoán vị chẵn/lẻ, tập thay phiên $A_n$. Khảo sát phép toán hai ngôi (binary compositions), bảng phép toán (composition tables), tính kết hợp, giao hoán, phần tử đơn vị và phần tử khả nghịch. Định nghĩa quan hệ hai ngôi, quan hệ tương đương, lớp tương đương, tập thương ($S/R$), tập chính tắc, ánh xạ tự nhiên và cấu trúc dàn (lattices).
• Chương II: Nhóm và nhóm con (Groups and their Sub-groups): Hệ tiên đề nhóm (tính kết hợp, phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo); nhóm Abel; nhóm hữu hạn và vô hạn; cấp của nhóm và phần tử; hệ tiên đề thay thế; đẳng cấu nhóm. Nghiệm của phức và nhóm con, đại số các nhóm con, hệ sinh của nhóm, lớp ghép trái/phải (cosets), quan hệ đồng dư theo nhóm con, Định lý Lagrange ($|G| = [G:H] \cdot |H|$), nhóm cyclic, nhóm quay trùng khớp của các khối đa diện đều.
• Chương III: Nhóm và nhóm con chuẩn tắc (Groups and their Normal Sub-groups): Phần tử liên hợp, quan hệ liên hợp, các lớp liên hợp của nhóm đối xứng $P_n$, chuẩn hóa tử (normaliser), nhóm con liên hợp, nhóm con tự liên hợp / nhóm con chuẩn tắc, nhóm đơn (simple groups), nhóm con hoán tử (commutator subgroup). Đồng cấu nhóm, định lý về ảnh đồng cấu, hai định lý đẳng cấu, quan hệ tương thích với cấu trúc nhóm, Định lý Jordan-Hölder cho nhóm hữu hạn, tự đẳng cấu, tích trực tiếp trong và ngoài, khảo sát phân loại các nhóm trừu tượng có cấp không vượt quá 8.
• Chương IV: Vành, vành con và ideal (Rings: Their sub-rings and ideals): Định nghĩa và tính chất tổng quát của vành; phân loại vành: miền nguyên (integral domains), thể/trường (fields, division rings); trường các thương của một miền nguyên (quotient field); vành con; vành thương (residue class rings); ideal, đại số các ideal, ideal chính và vành ideal chính; tích trực tiếp của vành; vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel; đồng cấu trường, đặc trưng của trường (characteristic), trường nguyên tố và cấu trúc của trường nguyên tố.
• Chương V: Vành đa thức và sự phân tích trong miền nguyên (Polynomial Rings - Factorisation in Integral Domains): Thuật toán chia cho đa thức trên một trường; sự phân tích trong miền nguyên, ước chung lớn nhất (GCD), bội chung nhỏ nhất (LCM); phần tử nguyên tố và phần tử hợp thành; Miền phân tích duy nhất (Unique Factorisation Domains - UFD); Miền ideal chính (Principal Ideal Domains - PID); Miền Euclid (Euclidean Domains); chứng minh chuỗi bao hàm: $\text{Euclidean domain} \Longrightarrow \text{PID} \Longrightarrow \text{UFD}$; vành đa thức trên miền phân tích duy nhất; Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein (Eisenstein's irreducibility criterion).
• Chương VI: Không gian vector và biến đổi tuyến tính (Vector Spaces and Linear Transformations): Tiên đề không gian vector và không gian con; đại số của các không gian con; đồng cấu không gian vector, biến đổi tuyến tính; đẳng cấu không gian vector; tổng trực tiếp của các không gian con; cơ sở và số chiều của không gian sinh hữu hạn; số chiều của không gian thương và tổng trực tiếp; tọa độ hóa không gian trừu tượng; hạng (Rank) và số chiều của hạt nhân (Nullity) của biến đổi tuyến tính; ứng dụng giải hệ phương trình tuyến tính.
• Chương VII: Không gian vector của các biến đổi tuyến tính - Đại số tuyến tính (Vector Space of Linear Transformations - Linear Algebras): Cấu trúc không gian vector trên tập các biến đổi tuyến tính; Không gian đối ngẫu (Dual space), không gian linh hóa (Annihilator); biểu diễn tọa độ của biến đổi tuyến tính; tích của các biến đổi tuyến tính và phép nhân ma trận tương ứng; khái niệm cấu trúc Đại số kết hợp tuyến tính trên một trường (Linear Associative Algebras over a field) và tính phản xạ của không gian hữu hạn chiều.
• Chương VIII: Mở rộng trường hữu hạn và Lý thuyết Galois (Finite Field Extensions - Galois Theory): Nghiệm của đa thức, phương trình đại số và mở rộng trường; mở rộng trường hữu hạn; mở rộng đại số; mở rộng đơn và sự tồn tại của mở rộng đơn; trường phân rã (decomposition field/splitting field); trường mở rộng chuẩn tắc; đa thức tách được, phần tử tách được và mở rộng tách được; định lý phần tử nguyên thủy; Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois; phần tử liên hợp, trường con liên hợp và nhóm con liên hợp; nhóm Galois của đa thức tách được; cấu trúc trường hữu hạn (Galois fields), tính duy nhất và cấu trúc nhóm nhân của trường hữu hạn.
• Chương IX: Tính giải được bằng căn thức và Dựng hình bằng thước - compa (Solvability by Radicals - Ruler and Compass Constructions): Phương trình và trường chia đường tròn (Cyclotomic fields); nhóm Galois của phương trình thuần nhất; tính giải được bằng căn thức của trường chia đường tròn; Định lý cơ bản về tính giải được bằng căn thức; nhóm Galois của phương trình tổng quát; Định lý Abel (tính không giải được bằng căn thức của phương trình đại số bậc $\ge 5$ tổng quát); điều kiện đại số cho bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa; chứng minh tính không thể dựng được của bài toán chia ba một góc (trisecting an angle) và điều kiện dựng đa giác đều bằng thước và compa.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình xây dựng hệ thống phân cấp cấu trúc đại số từ thấp đến cao:

[Tập hợp & Phép toán] 
[Đại số Tuyến tính kết hợp]                         [Lý thuyết Galois]

1. Hệ thống cấu trúc cấu thành: Thiết lập các cấu trúc đại số từ đơn giản đến phức tạp: Tập hợp $\rightarrow$ Nhóm $\rightarrow$ Vành $\rightarrow$ Miền nguyên $\rightarrow$ Thể / Trường $\rightarrow$ Không gian Vector $\rightarrow$ Đại số tuyến tính $\rightarrow$ Mở rộng trường.
2. Cấu trúc phân loại miền nguyên: Xây dựng mối liên hệ phân cấp toán học: $\text{Miền Euclid} \subset \text{PID} \subset \text{UFD}$.
3. Mối liên hệ đối ngẫu Galois: Thiết lập song ánh đảo thứ tự giữa các trường trung gian của một mở rộng trường hữu hạn chuẩn tắc tách được $E/F$ và các nhóm con của nhóm Galois $\text{Gal}(E/F)$.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng suy luận hình thức: Khả năng thiết lập các chuỗi suy diễn logic dựa trên hệ tiên đề, chuyển đổi qua lại giữa điều kiện cần và đủ thông qua các toán tử $\Longrightarrow$ và $\Longleftrightarrow$.
• Kỹ năng đại số hóa: Khả năng biểu diễn các đối tượng hình học (phép quay đa diện, phép dựng hình thước kẻ - compa) và đối tượng giải tích (phép biến đổi tuyến tính, ma trận) dưới dạng cấu trúc đại số trừu tượng.
• Kỹ năng phân tích cấu trúc: Kỹ thuật xây dựng bảng phép toán cho hệ hữu hạn, tính toán lớp liên hợp, phân tích nhóm thành tích trực tiếp, xác định tính bất khả quy của đa thức bằng tiêu chuẩn Eisenstein, và tính toán số chiều của không gian vector/không gian đối ngẫu.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Phương pháp tiếp cận sư phạm

Giáo trình áp dụng nguyên tắc đi từ cụ thể đến trừu tượng và quy nạp cấu trúc:

• Khởi tạo từ mô hình cụ thể: Trước khi đưa ra định nghĩa trừu tượng, tác giả trích dẫn các hệ thống toán học quen thuộc trong giải tích và đại số cổ điển làm minh họa: tập số tự nhiên $\mathbb{N}$ ($Z$), số nguyên $\mathbb{Z}$ ($J$), số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ ($Q$), số thực $\mathbb{R}$ ($R$), số phức $\mathbb{C}$ ($C$), tập nghiệm căn đơn vị bậc $n$, tập ma trận $M_n$, không gian vector hình học, phép quay vật thể rắn và nhóm các phép biến đổi song tuyến tính (bilinear transformations) trên mặt phẳng phức mở rộng.
• Trừu tượng hóa và Tiên đề hóa: Phân tích các đặc tính chung của các hệ thống cụ thể để đúc kết thành các tiên đề (như hệ tiên đề nhóm, vành, không gian vector).

[Hệ thống Toán học Cụ thể]
(Tập số Z, Q, R, C; Ma trận; Phép biến đổi song tuyến tính; Phép quay)
[Hệ Tiên đề Trừu tượng] (Nhóm, Vành, Miền nguyên, Không gian Vector)
[Định lý & Cấu trúc Đại số Sâu] (Lagrange, Jordan-Hölder, UFD/PID, Galois)

Hệ thống bài tập và bài toán mẫu

Tài liệu cung cấp các dạng bài tập thực hành theo từng cấp độ:

• Thiết lập bảng phép toán: Xây dựng bảng cộng/nhân modulo $m$, bảng phép toán cho nhóm hoán vị $P_3$, $P_4$, nhóm biến đổi song tuyến tính gồm 6 phần tử: $$\rho_1(z)=z, \quad \rho_2(z)=\frac{1}{z}, \quad \rho_3(z)=1-z, \quad \rho_4(z)=\frac{1}{1-z}, \quad \rho_5(z)=\frac{z-1}{z}, \quad \rho_6(z)=\frac{z}{z-1}$$
• Bài tập tính toán đại số: Biểu diễn hoán vị dưới dạng tích của các chu trình rời nhau và tích các chuyển vị; xác định tính chẵn lẻ; tìm chuẩn hóa tử, nhóm con hoán tử; tìm cơ sở và số chiều của không gian hạt nhân (nullity) và không gian ảnh (rank).
• Bài tập chứng minh lý thuyết: Chứng minh các đẳng thức đại số tập hợp, chứng minh tiêu chuẩn nhóm con, tính duy nhất của phần tử đơn vị/nghịch đảo, các luật triệt tiêu (cancellation laws), và áp dụng nguyên lý quy nạp toán học cho tích mở rộng nhiều phần tử $\prod_{i=1}^n a_i$.

Hướng dẫn tự học

Người học được khuyến nghị:

1. Nắm vững lý thuyết tập hợp, khái niệm ánh xạ và tích ánh xạ tại Chương I trước khi chuyển sang các cấu trúc đại số.
2. Vẽ bảng phép toán cho các tập hữu hạn để kiểm tra trực tiếp các tiên đề kết hợp, đơn vị và phần tử nghịch đảo.
3. Luôn bám sát lộ trình suy diễn logic dẫn đến Lý thuyết Galois tại Chương VIII và IX.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

Cập nhật trong ấn bản thứ hai (Second Edition 1961)

Trong lời nói đầu của ấn bản thứ hai (tháng 11/1961), tác giả Shanti Narayan ghi nhận các thay đổi:

+------------------------------------------+------------------------------------------+
| Đặc điểm ở Ấn bản 1 (1958)               | Điều chỉnh ở Ấn bản 2 (1961)             |
+------------------------------------------+------------------------------------------+
| Ký hiệu hàm số/ánh xạ dạng:              | Ký hiệu hàm số/ánh xạ chuẩn hóa:         |
|             xϕ hoặc xf                   |                  f(x)                    |
+------------------------------------------+------------------------------------------+
| Mục đích: Cách viết toán tử tác động bên | Mục đích: Liên kết trực tiếp với Giải tích|
| phải.                                    | cổ điển và Tô-pô đại số hiện đại.        |
+------------------------------------------+------------------------------------------+
| Loại bỏ 2 lỗi in sai sót (slips) được phát hiện từ phản hồi học thuật của đồng nghiệp. |
+------------------------------------------+------------------------------------------+

Việc chuyển đổi ký hiệu sang $f(x)$ giúp người học mới tiếp cận không bị nhầm lẫn và đồng nhất quy chuẩn với các tài liệu Tô-pô học (Topological studies) và Đại số tô-pô.

Giải quyết các bài toán toán học cổ điển

Giáo trình kết nối đại số trừu tượng với việc giải quyết các bài toán lịch sử:

• Định lý Abel: Chứng minh tính không thể giải phương trình đại số tổng quát bậc 5 trở lên bằng căn thức thông qua cấu trúc nhóm Galois $P_n$ (với $n \ge 5$, nhóm hoán vị không khả giải).
• Bài toán dựng hình bằng thước và compa: Khảo sát các điều kiện mở rộng bậc $2^k$ để chứng minh tính bất khả thi của bài toán chia ba một góc tùy ý (trisecting an angle) và xác định điều kiện dựng được đa giác đều.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

                      ĐỐI TƯỢNG SỬ DỤNG
[Sinh viên Toán học]   [Học viên Cao học]    [Giảng viên Đại học]
• Đại học năm 2 - 4    • Khảo sát chuyên sâu • Thiết kế đề cương môn học
• Ngành Pure Math      • Lý thuyết Galois    • Khai thác bài tập mẫu
• Ngành Sư phạm Toán   • Đại số hiện đại     • Chuẩn hóa tiên đề

• Sinh viên bậc Đại học: Sinh viên chuyên ngành Toán học thuần túy, Sư phạm Toán học từ năm thứ hai đến năm thứ tư theo học các học phần: Cấu trúc đại số, Đại số trừu tượng, Đại số đại cương, Lý thuyết nhóm và Lý thuyết trường.
• Kiến thức tiên quyết (Prerequisites): Người học cần có kiến thức cơ bản về:
  • Số học và đại số sơ cấp (phép chia hết, số nguyên tố, ước chung lớn nhất, đồng dư).
  • Giải tích toán học (hàm số, chuỗi Maclaurin).
  • Đại số tuyến tính và hình học giải tích cơ bản (ma trận, định thức, không gian vector Euclid).
• Giảng viên và nhà nghiên cứu: Sử dụng làm giáo trình giảng dạy chuẩn tắc, tham khảo hệ thống bài tập và quy chuẩn hóa các bước suy diễn hệ tiên đề trong giảng dạy đại học.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với ai?

Giáo trình được biên soạn phục vụ sinh viên đại học chuyên ngành Toán học, học viên cao học nghiên cứu về Đại số trừu tượng và giảng viên cần tài liệu giảng dạy hệ thống về Lý thuyết nhóm, Vành, Không gian vector và Lý thuyết Galois.

2. Cần kiến thức nền nào để học giáo trình này?

Người học cần hoàn thành các học phần toán học đại cương bao gồm: Giải tích cổ điển, Hình học giải tích, Ma trận và Đại số sơ cấp. Các khái niệm về lý thuyết tập hợp, ánh xạ và quan hệ tương đương được tác giả hệ thống hóa lại đầy đủ ngay trong Chương I.

3. Điểm khác biệt của giáo trình so với các tài liệu đại số khác là gì?

Giáo trình định hướng toàn bộ nội dung lý thuyết từ Chương I đến Chương VII thành một lộ trình thống nhất hướng tới mục tiêu trung tâm là Lý thuyết Galois (Chương VIII) và các ứng dụng giải phương trình đại số, dựng hình học (Chương IX). Giáo trình không tách rời các nhóm hoán vị mà lồng ghép chúng xuyên suốt để làm ví dụ cụ thể cho lý thuyết nhóm trừu tượng.

4. Làm sao để tự học giáo trình này hiệu quả?

Người học nên làm việc tuần tự theo từng chương, tự vẽ lại các bảng phép toán cho hệ hữu hạn, thực hiện việc kiểm tra từng bước hệ tiên đề cho các ví dụ cụ thể (như tập số, ma trận, phép biến đổi song tuyến tính) trước khi đọc phần chứng minh định lý tổng quát.

5. Có tài liệu bổ trợ nào cùng hệ thống của tác giả không?

Tác giả Shanti Narayan đã biên soạn hệ thống sách chuyên khảo bổ trợ thuộc cùng chương trình đào tạo của Đại học Delhi:

• A Course of Mathematical Analysis
• Theory of Functions of a Complex Variable
• A Text Book of Matrices
• A Text Book of Vector Algebra
• A Text Book of Vector Calculus
• A Text Book of Cartesian Tensors
• Differential Calculus
• Integral Calculus
• Analytical Solid Geometry
• Modern Pure Geometry
• A Text Book of General Topology

---

Kết luận

A Text Book of Modern Abstract Algebra của Shanti Narayan là tài liệu học thuật hoàn chỉnh về Đại số trừu tượng, thể hiện rõ tính nhất quán trong phương pháp tiên đề và suy diễn logic hình thức. Giáo trình cung cấp lộ trình học tập chặt chẽ:

$$\text{Tập hợp} \longrightarrow \text{Nhóm} \longrightarrow \text{Vành/Ideal} \longrightarrow \text{Miền nguyên (UFD, PID, Euclid)} \longrightarrow \text{Không gian Vector/Đại số} \longrightarrow \text{Lý thuyết Galois}$$

Nội dung giáo trình khép lại bằng việc giải quyết các bài toán nền tảng về tính giải được của phương trình đại số bằng căn thức và bài toán dựng hình thước kẻ - compa, hoàn thành mục tiêu kết nối các cấu trúc đại số hiện đại với các vấn đề kinh điển của lịch sử toán học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

(1812—1839) Evariste Galois was killed in a duel on the 30th of May, 1832 at the age of 20, On the eve of his death, he wrotea long letter to a friend mentioning a number of additional results to the first draft of his theory of Algebraic equations which had been already presented to the Paris Academy. A TEXT BOOK OF MODERN ABSTRACT ALGEBRA By SHANTI NARAYAN, Principal, Hane Raj College, Delhi. 'DEUHI—NEW DELHI—.ULLUNDUR` LUCKNOW—BOMBAY Books by the Same Author A Course of Mathematical Anslyais. 15°00 Theory of Functions of a Complex Variable os Rs.

750 A Text Book of Matrices. 650 A Text Book of Vector Algebra. Rs, 7°50 A Text Buok of Vector Caleulus 656 A Text Book of Cartesian Tensors ” 700 Differential Caleulus Tntegral Caleulus. G00 Analytical Solid Geometry Res.

500 Modern Pure Geometry A Text Book of General Topology (Under preparation) Ss CHAND & CO, = New Delhi Ram Nagar _— Delhi Fountair Gate _— Jullundar Mai Miran — Lucknow Hazratgan} Road _— Bombay Lamington First Edition 1958 Serond Edition 1961 Reprint 1965 Price + Rs. 14°00 ere ished Chand & Go,,a Ram Nagar, New Delhé Published Burasi Ofeet l.Printers, one by,Nagar, New Dethi- PREFACE TO THE SECOND EDITION It has been considered desirable to effect a chango in th notation for a function ond for a functidn valuo inasmuch as th notation f(z} has been employed in place ofx ¢ or 2f, This has bee done with a view to Jinking the subject with classical Mathematics a algo with mordern topological and topological algebraicatudics. More over, it was felt that a beginner would feel more at home with thi notation and a possible mysterious significance underlying z¢ woul be avoided, Also two slips which had been brought to my notic have been removed. November, 1961 ` THE AUTHOR PREFACE The inherent appeal of Modern Abstract Algebra and the im- portance of its impact on other branches of Mathematics aye> being incteasingly realised and the appearance of this book is motivated by ® feeling that the presentation of this subject in a text book form will greatly help the popularisation of this fundamental branch of Pure Mathematics.

It is this feeling again which has determined the form of presentation adopted in the book in the light of the author's experience of teaching the subject to the students of the University of Delhi. In this context itis believed that a systematic use of the symbols ————, <> for one-way and two-way implications respectively which have been adopted here will greatly help the reader in his grasp of the chain of arguments. Further themain purpose of the author is to treat the fundamentals of Galois theory and it is this purpose which has, in the main, determined the content and seope of the book. Thus the subject proceeds along a road leading to the portals of Galois Theory with occasional short pauses at places to steal glances at the sides, Chapter I introduces some basic Set-Theoretic concepts of mappings, Binary compositions in a set, Equivalence ond order relations.

Chapters IF and III have been devoted to Group Theory with no exelusive emphasis on Finite order groups only. Permutation groups have not been given any separate place but different aspects of the same have been taken up at appropriate places for providing illustrations in respect of the Theory of Abstract groups. Chapter IV deals with Ring Theory in relation to Sub-rings and Ideals and Chapter V with Polynomial rings. In the latter chapter, Unique Factorisation Domains (U.) have been defined and it has been shown that a’ Principal Ideal Domain (P.D,) is euch o domain, It is also shown that a Euclidean domain iso P.

and hence also a U. Chapter VI deals with Vector Spaces, Linear Transformations of Vector Spaces and with co-ordinatisation of the same relatively to some given base or bases. Chapter VII is concerned with Vector Spaces of Linear Trans= formations and thus paves the way for the introduction of the (iz) concepts of Lincar Associative Algebras over a field. tions of Linear Algebras have been given.

The concept of the Dual of a vector space has also been introduced and the reflexivity of Finite Dimensional Spaces established. The portals are now reached and Galois Theory is introduced in Chapter VIII in the setting of tho Theory of Finite field extensions. The ast chapter is devoted to developing Criteria for ‘Solvability by Radicals’ and ‘Constructibility by Ruler and Compass’ thus vindicating the rise of Galois Theory. It is very much hoped that, as a result ofa careful study of the book, the reader would acquire an appreciation and fascination for Abstract Algebra and thus be led on to deeper studies of special branches of the subject.

The author takos this opportunity to thank his old student and present colleague Shri Mohanlal Abrol who very kindly went through o considerable part of the manuscript and mado aseful suggestions which helped him to remove a number of slips and obscuritics. Suggestions for improvements and notices of errors would bo gratefully acknowledged. September, 1958 Tue AuTHoR CONTENTS CHAPTER I Set-Theoretic Prelminaties Sections 1. Two-way and one-way implications.

Some Set-theoretic Concopts on 3. Mappings or Functions 4. Transformations of a set. Composition ina eet 6.

Composition tables for finite sets 7. Some types of Compositions 9. Binary relations in a set 10. Quotient Set on il, Lattices.

CHAPTER II Groups and their Sub-groups 12. Illustrations of groups. Some general properties of groups 15. Orders of elements of a group 16.

Commutativity of elements of a group 17. An alternative set of postulates for a group 18, Isomorphism of groups. Notion of an abstract group Ukyiby& Mevrenr 19. Complexes and sub-groups of a group 20, Algebra of complexes of a group 21.

Criteria for a sub-group. Algebra of the set of sub-groups of a group. Systems of generators ofa group we (eii) Sections Pages 24. Multiplication of two sub-groups 63 25, Right and left cosets of a sub-group.

Coset decompositions of a group, Congruence modulo a sub-group 65 26. Lagrange’s Theorem we 69 27, Cyclic groups 70 28. Groups of coincidence rotations of regular bodies 1 CHAPTER III Groups and their Normal Sub-groups Introduction 82 30. Conjugate elements, Equivalence relation of conjugacy in a group 82 31, Classes of conjugate elements of the Symmet- ric group of degree n gí 32, Structure of classes of conjugate elements.

Normaliser of an element. Classes of conjugate sub-groups 88 34. Self-conjugate sub-groups. Simple groups 90 Algebra of Normal sub-groups of a group ase 92 36.

Commutator Sub-group of a group. Homomorphism 98 39, Concerning the totality of homomorphic images of o group. 102 Two laws of Isomorphism 103 Binary relations compatible with group struc- ture. 108 Jordan Holder theorem for finite groups ove 107 Automorphisms of a group.

119 External Direct products 116 Internal Direct prodacts ove 118 Structure of Cyclic groups 123 Survey of abstract groups with order not execeding 8. { Rings : Their sub-rings and ideals Sections Pages 48, Introduction of Rings 138 49. Some general properties of rings 140 60. Types of rings B1.

Integral domains, Fields. Division Rings 53, Isomorphism of two rings. M6 3, The Quotient ficld of an integral domain 148 Bh. Sub-sings 1ñ2 35-56 Algebra of the set of sub-rings eo.

Quotient rings or residue class rings. Ideal: ine ring 165 &8, Ring homomorphisms 59. Relations compatible with ring structure 165 61. Algebra of Ideals 62.

Principal ideals and principal ideal rings 168 63. Direct product of rings 168 61. The ring of endomorphisms of an Abelian _group 171 65. Ifomomorphism of fields 176 67.

Characteristic of a field wee 178 09, Prime fields. Structure of prime fields we 179 (HNPTEW ÿ Polynomial Rings Factorisation in Integral Doffains. acres oy = 70, Introduction moe 86 Z1. Division algorithm for Poly.

nomials over a field ¬ \ iG 72, Factorisation in Integral mains ~ ;z10 73. Greatest Common divisor H8 tru} Sections Pages 74, Lowest Common mntliple 201 76. Prime end Composite elements of an integral omaii, 201 76 Unique Factorisation domains and come of their properties 202 77, Principal ideal domain as a unique factorisa- tion Comain 204 78, Euclidean Domains 207 78, Polynomial rings over unique foctorisation domains 209 8U. Irreducibility criterion due to Eisenstein 214 CHAPTER VI Vector Spaces and Linear Transformaticas 81 Introduction 216 82, Vector Spaces 217 83, Some general properties of vector spaces 219 84, Vector Sub spaces 2i9 85, Algebra of Sub-spaces 220 86.

Vector Space homomorphisms, Linear Trans: formations 88. Isomorphisms of vector spaces 89. Direct Sum of spaces 90, Vector Space as a direct sum of sub-spaces 91, Basis of a veetor space 92, Finitely generated spaces and their bases 93. Some properties of finite dimensional spaces 94.

Dimension of a quotient space 95. Dimension of a direct sum 96. Taomorphism df finite dimensional vector spaces 97, Co-ordinatisation ot an abstract spaco 98. Rank and Nullity of a near transformation 99, Linear equations (er) CHAPTER VIT Vector Space of Linear Transformations Linear Algebras Sections Pages 190, Tntroduetion 245 101.

Vector Space of linear transformations 245 102. Dual space of a vector space 103. Amnihilator ofa sub-space 252 101. Co-ordinatisation ofa linear transformation 105.

Product of linear transformations represent- ed as product of corresponding matrices 25 100. Linear Algebra over a field 257 CHAPTER VIII Finite Ficld Extensions Galols Theory 107, Introduction 286 108, Field extensions 266 109. Roots of a polynomial 119, Polynomial equations and field extensions 267 11, Finito field extensions 268 112. Algebraic field extensions 270 113.

Simple field extensions 271 114. Existence of simple field extensions 277 115. Solution of algebraic equations 275 116, Decomposition ficld ofs polynomial 280 117. Solution of algebraic equations 284 118.

Normal extension fields 284 119, Separable polynomials. Separable elements and separable field extensions 120. Simplicity of finite separable extensions. Theorem of the primitive element 292 121.

Galois Theory 294 122, Fundamenja] Theorem of Galois Theory 297 (xvi) Sections Pages 223, Conjugate elements. Conjugate sub-ficlds and conjugate sub-groups 209 124. Galois group of a separable polynomial 301 12h Finite Fields 305 126. Existence and Uniqueness 307 128.

Structure of the multiplicative group ofa finite field 308 129. Construction of Galois fields 309 130. Subficlds of a Galois field 310 CHAPTER IX Solvahility hy Radicals Ruler and Compass Constructions 131. Cyclotomic equations and fields 316 133.

Galois groups of cyclotmio fields 319 134. Galois groups of pure equations 321 135. Solvability by radicals of cyclotomic fields 32 136. Fundamental theorem on Solvability by radicals 324 137.

Galois group of a goneric equation 327 138, Abels’ Theorem 329 139. Ruler and Compass Constructions 331 140. Determination of conditions for constructibility 332 141, Illustrations. Trisccting an angle.

Constructibility ofa regular polygon. 336 Bibliography 340 Index 342 CHAPTER 1 SET-THEORETIC PRELIMINARIES 1. Modern Pure Mathematics can be described as a study of Sete equipped with assigned structures—also known as mathematical aystems. The present book is concerned with the study of Algebraic systems Which aro sets equipped with Algebraic structures in terms of the meaning of the same given in § 7, page 20.

The various algebraic systems to be considered in this book are Group, Rings, Fields, Vector Spaces, Linear Algebras, Clissfeal Mathematics abounds with particular types of these algebraic systems as will bo made clear by means of tho several illustrations which we would be giving.