Nghiên cứu mô hình chuỗi thời gian tài chính trong luận văn thạc sĩ

Khám phá các mô hình chuỗi thời gian trong tài chính qua luận văn thạc sĩ, phân tích và ứng dụng trong nghiên cứu tài chính hiện đại.

• Tác giả: Vũ Duy Thắng
• Người hướng dẫn: PGS. Trần Hùng Thao
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
• Đề tài: Mô Hình Chuỗi Thời Gian Trong Tài Chính
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ khoa học
• Năm xuất bản: 2011
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Chuỗi thời gian và toán tử trễ
• 1.2. Phương trình sai phân
• 1.3. Kỳ vọng điều kiện và martingale
• 2. CHƯƠNG 2: CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TUYẾN TÍNH
• 2.1. Quá trình trung bình trượt
• 2.2. Quá trình tự hồi quy AR(1)
• 3. CHƯƠNG 3: CÁC MÔ HÌNH DỰ BÁO RỦI RO
• BẢNG KÝ HIỆU

Tóm tắt

I. Giới thiệu về chuỗi thời gian trong tài chính

Mô hình chuỗi thời gian là một công cụ quan trọng trong lĩnh vực tài chính để phân tích và dự báo giá trị tương lai của các tài sản tài chính như cổ phiếu, trái phiếu và tỷ giá. Việc sử dụng các mô hình này giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định chính xác hơn dựa trên dữ liệu quá khứ. Trong luận văn, tác giả đã chỉ ra rằng, mặc dù có nhiều phương pháp phân tích khác nhau, phân tích dữ liệu bằng mô hình chuỗi thời gian là một trong những phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất hiện nay. Điều này được chứng minh qua việc áp dụng các mô hình như AR, MA, ARMA và ARIMA trong thực tế. Theo tác giả, "Các mô hình chuỗi thời gian giúp giảm thiểu sai sót do cảm xúc con người và cung cấp tín hiệu khách quan dựa trên các tiêu chí thống kê từ dữ liệu quá khứ."

1.1. Tầm quan trọng của mô hình chuỗi thời gian

Mô hình chuỗi thời gian không chỉ giúp dự báo mà còn cung cấp cái nhìn sâu sắc về các xu hướng và biến động trong thị trường tài chính. Theo các nghiên cứu trước đây, phân tích chuỗi thời gian có thể phát hiện ra các mẫu và xu hướng mà có thể không dễ nhận thấy qua các phương pháp phân tích khác. Đặc biệt, việc áp dụng mô hình dự báo tài chính như ARCH và GARCH đã được chứng minh là rất hiệu quả trong việc quản lý rủi ro và tối ưu hóa danh mục đầu tư. Tác giả nhấn mạnh rằng, "Việc hiểu rõ về các mô hình này là rất cần thiết cho các nhà đầu tư và các nhà quản lý quỹ trong việc đưa ra quyết định đầu tư thông minh."

II. Các khái niệm cơ bản trong mô hình chuỗi thời gian

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến mô hình tài chính và chuỗi thời gian, bao gồm phương trình sai phân, toán tử trễ và chuỗi dừng. Tác giả đã giải thích rằng, để áp dụng các mô hình chuỗi thời gian, dữ liệu cần phải có tính ổn định, tức là phải thỏa mãn điều kiện dừng. Một chuỗi dừng có nghĩa là các đặc tính thống kê của nó không thay đổi theo thời gian, điều này rất quan trọng trong việc xây dựng các mô hình dự báo. Tác giả trích dẫn rằng, "Một chuỗi không dừng sẽ không thể dự báo được, vì hành vi của nó có thể thay đổi bất ngờ theo thời gian."

2.1. Phương trình sai phân và toán tử trễ

Phương trình sai phân là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu chuỗi thời gian. Tác giả đã trình bày rõ ràng cách mà phương trình sai phân được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các biến trong mô hình. Toán tử trễ cũng được giới thiệu như một công cụ hữu ích để phân tích các mô hình chuỗi thời gian. Việc hiểu và áp dụng các khái niệm này sẽ giúp các nhà nghiên cứu và nhà đầu tư có cái nhìn sâu sắc hơn về cách mà các biến tài chính tương tác với nhau qua thời gian. Tác giả khẳng định rằng, "Sự hiểu biết về phương trình sai phân và toán tử trễ là nền tảng để xây dựng các mô hình dự báo chính xác hơn."

III. Các mô hình chuỗi thời gian phổ biến

Chương này tập trung vào việc giới thiệu các mô hình chuỗi thời gian phổ biến như AR, MA, ARMA và ARIMA. Mỗi mô hình có những đặc điểm riêng và phù hợp với các loại dữ liệu khác nhau. Mô hình AR (Autoregressive) sử dụng giá trị trước đó của chính nó để dự đoán giá trị hiện tại, trong khi mô hình MA (Moving Average) lại dựa vào các sai số của các giá trị trước đó. Tác giả đã chỉ ra rằng, "Mô hình ARIMA kết hợp cả hai phương pháp AR và MA, giúp tối ưu hóa khả năng dự báo cho các chuỗi dữ liệu không dừng."

3.1. Mô hình ARCH và GARCH trong quản lý rủi ro

Mô hình ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) và GARCH (Generalized ARCH) được giới thiệu như những công cụ quan trọng trong việc phân tích và dự báo rủi ro tài chính. Tác giả đã nhấn mạnh rằng, các mô hình này giúp xác định và quản lý rủi ro tốt hơn trong các tình huống biến động cao. Việc áp dụng mô hình GARCH vào phân tích tỷ giá đã cho thấy kết quả khả quan, giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định chính xác hơn trong bối cảnh thị trường không ổn định. Tác giả trích dẫn rằng, "Mô hình GARCH cho phép các nhà đầu tư dự đoán biến động và điều chỉnh chiến lược đầu tư một cách hiệu quả hơn."

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Phân tích và dự báo giá tài sản tài chính như cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá là một lĩnh vực thu hút sự quan tâm lớn từ các chuyên gia, nhà đầu tư và nhà khoa học. Theo báo cáo của ngành, các phương pháp phân tích truyền thống như phân tích kỹ thuật và phân tích cơ bản đã được sử dụng rộng rãi, tuy nhiên, phương pháp phân tích định lượng dựa trên các mô hình toán học ngày càng trở nên phổ biến và hiệu quả. Mục tiêu của nghiên cứu là xây dựng và ứng dụng các mô hình chuỗi thời gian tài chính nhằm dự báo giá trị tương lai của tài sản tài chính dựa trên dữ liệu quá khứ và hiện tại. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các mô hình chuỗi thời gian dừng và phi tuyến như MA, AR, ARMA, ARIMA, ARCH, GARCH và các biến thể của chúng, với dữ liệu thực tế từ thị trường tài chính và tỷ giá trong khoảng thời gian nhiều năm. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc nâng cao độ chính xác trong dự báo, giảm thiểu sai số do cảm xúc con người và hỗ trợ các quỹ đầu tư, ngân hàng trong việc tự động hóa giao dịch định lượng, góp phần tăng hiệu quả đầu tư và quản lý rủi ro.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

• Lý thuyết chuỗi thời gian: Bao gồm các khái niệm cơ bản về chuỗi thời gian dừng yếu và dừng chặt, toán tử trễ, phương trình sai phân, kỳ vọng điều kiện và martingale. Đây là nền tảng để xây dựng các mô hình chuỗi thời gian.
• Mô hình chuỗi thời gian tuyến tính: Các mô hình MA (Moving Average), AR (Autoregressive), ARMA (Autoregressive Moving Average), ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) được sử dụng để mô tả và dự báo các chuỗi dữ liệu tài chính có tính ổn định hoặc đã được biến đổi thành chuỗi dừng.
• Mô hình phi tuyến tính và biến đổi phương sai: Mô hình ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), GARCH (Generalized ARCH) và các biến thể như IGARCH, TGARCH, EGARCH được áp dụng để mô hình hóa sự biến động và rủi ro trong dữ liệu tài chính, đặc biệt là khi phương sai của sai số thay đổi theo thời gian.

Các khái niệm chính bao gồm: chuỗi thời gian dừng, toán tử trễ, phương trình sai phân, kỳ vọng điều kiện, martingale, mô hình ARIMA, mô hình ARCH/GARCH, và kiểm định đơn vị (Unit Root Test).

Phương pháp nghiên cứu

• Nguồn dữ liệu: Sử dụng dữ liệu thực tế về giá tài sản tài chính, tỷ giá và các chỉ số kinh tế vĩ mô như GDP của Mỹ từ năm 1929 đến 2010, được thu thập từ các nguồn uy tín như Cục phân tích kinh tế Mỹ (BEA).
• Phương pháp phân tích: Áp dụng các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính và phi tuyến để phân tích và dự báo. Kiểm định tính dừng của chuỗi bằng kiểm định Augmented Dickey-Fuller (ADF). Ước lượng tham số mô hình bằng phương pháp hợp lý cực đại (MLE). Kiểm tra phần dư của mô hình để đảm bảo tính chất nhiễu trắng. Sử dụng các tiêu chuẩn thông tin như AIC, BIC để lựa chọn mô hình tối ưu.
• Timeline nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu được thực hiện trong suốt quá trình học tập cao học, với việc thu thập dữ liệu, xây dựng mô hình, ước lượng và kiểm định mô hình, cuối cùng là ứng dụng mô hình vào dự báo và phân tích thực tế.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

• Tính dừng của chuỗi thời gian: Qua kiểm định ADF, chuỗi dữ liệu GDP của Mỹ không dừng ở dạng gốc nhưng trở thành chuỗi dừng sau khi lấy sai phân bậc một, với thống kê kiểm định ADF đạt giá trị 5.51, vượt mức ý nghĩa 1%.
• Ước lượng mô hình ARIMA(1,1,2): Mô hình ARIMA(1,1,2) được lựa chọn là phù hợp nhất cho chuỗi DGDP_2005 với các hệ số có ý nghĩa thống kê, sai số dự báo RMSE đạt khoảng 145.1, cho thấy độ chính xác cao trong dự báo.
• Mô hình ARCH/GARCH trong dự báo rủi ro: Mô hình ARCH(1) cho thấy tính chất tập kết của rủi ro tài chính, tức là các cú sốc lớn trong quá khứ có xu hướng gây ra các biến động lớn trong tương lai. Mô hình GARCH và các biến thể cải tiến giúp mô hình hóa chính xác hơn sự biến đổi phương sai theo thời gian.
• Hiệu quả của phương pháp định lượng: Các mô hình chuỗi thời gian và mô hình biến đổi phương sai giúp giảm thiểu sai số do cảm xúc con người, cung cấp tín hiệu khách quan dựa trên tiêu chí thống kê, từ đó nâng cao hiệu quả dự báo và quản lý rủi ro.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của các phát hiện trên xuất phát từ bản chất dữ liệu tài chính có tính biến động cao và không ổn định theo thời gian, do đó việc sử dụng các mô hình chuỗi thời gian dừng và phi tuyến là cần thiết để mô tả chính xác hơn. So sánh với các nghiên cứu khác, kết quả phù hợp với lý thuyết thị trường hiệu quả và các nghiên cứu về mô hình ARCH/GARCH trong tài chính. Việc kiểm định phần dư cho thấy mô hình đã loại bỏ được các yếu tố tự tương quan, đảm bảo tính nhiễu trắng, từ đó tăng độ tin cậy của dự báo. Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ lược đồ tự tương quan (ACF, PACF) và bảng thống kê kiểm định để minh họa tính dừng và hiệu quả mô hình.

Đề xuất và khuyến nghị

• Áp dụng mô hình ARIMA và GARCH trong dự báo tài chính: Khuyến nghị các tổ chức tài chính và quỹ đầu tư sử dụng các mô hình này để nâng cao độ chính xác dự báo giá tài sản và quản lý rủi ro, với mục tiêu giảm sai số dự báo RMSE dưới mức 150 trong vòng 1-2 năm tới.
• Tăng cường đào tạo và ứng dụng phân tích định lượng: Đào tạo chuyên sâu cho các nhà phân tích tài chính về các mô hình chuỗi thời gian và mô hình biến đổi phương sai, nhằm nâng cao năng lực phân tích và dự báo trong 6-12 tháng tới.
• Phát triển hệ thống giao dịch tự động dựa trên mô hình định lượng: Các ngân hàng đầu tư và quỹ phòng hộ nên đầu tư phát triển hệ thống giao dịch tự động sử dụng mô hình định lượng để giảm thiểu sai sót do cảm xúc con người, hướng tới tự động hóa hoàn toàn trong 3 năm tới.
• Nâng cao chất lượng dữ liệu và kiểm định mô hình định kỳ: Đảm bảo dữ liệu đầu vào chính xác, cập nhật liên tục và thực hiện kiểm định mô hình định kỳ để điều chỉnh tham số phù hợp với biến động thị trường, thực hiện hàng quý hoặc nửa năm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

• Nhà nghiên cứu và học giả trong lĩnh vực tài chính và kinh tế lượng: Nghiên cứu sâu về các mô hình chuỗi thời gian và mô hình biến đổi phương sai để phát triển các công trình khoa học mới.
• Chuyên gia phân tích tài chính và quản lý rủi ro: Áp dụng các mô hình dự báo và phân tích rủi ro để nâng cao hiệu quả quản lý danh mục đầu tư.
• Các tổ chức tài chính, ngân hàng và quỹ đầu tư: Sử dụng kết quả nghiên cứu để xây dựng hệ thống giao dịch tự động và chiến lược đầu tư định lượng.
• Sinh viên và học viên cao học chuyên ngành thống kê, toán tài chính và kinh tế lượng: Tham khảo để hiểu rõ các mô hình chuỗi thời gian và ứng dụng thực tế trong tài chính.

Câu hỏi thường gặp

1. Mô hình ARIMA là gì và tại sao lại quan trọng trong dự báo tài chính?
   ARIMA là mô hình chuỗi thời gian tích hợp tự hồi quy và trung bình trượt, giúp xử lý các chuỗi không dừng bằng cách lấy sai phân. Nó quan trọng vì nhiều dữ liệu tài chính có xu hướng không dừng, và ARIMA giúp biến đổi thành chuỗi dừng để dự báo chính xác hơn.

2. Tính dừng của chuỗi thời gian có ý nghĩa gì trong phân tích?
   Chuỗi dừng có đặc tính thống kê ổn định theo thời gian, giúp mô hình dự báo có thể áp dụng cho tương lai. Chuỗi không dừng thường không thể dự báo chính xác vì tính chất thay đổi liên tục.

3. Mô hình ARCH/GARCH giúp gì trong quản lý rủi ro tài chính?
   Các mô hình này mô tả sự biến đổi phương sai theo thời gian, phản ánh tính tập kết của rủi ro, giúp dự báo biến động và điều chỉnh chiến lược đầu tư phù hợp.

4. Làm thế nào để lựa chọn mô hình chuỗi thời gian phù hợp?
   Dựa vào kiểm định tính dừng, lược đồ tự tương quan (ACF, PACF), tiêu chuẩn thông tin AIC/BIC và kiểm tra phần dư để chọn mô hình có sai số dự báo thấp và phần dư là nhiễu trắng.

5. Ứng dụng thực tế của các mô hình này trong thị trường tài chính là gì?
   Các mô hình được sử dụng để dự báo giá cổ phiếu, tỷ giá, lợi suất trái phiếu, hỗ trợ các quỹ đầu tư và ngân hàng trong việc tự động hóa giao dịch, quản lý rủi ro và tối ưu hóa danh mục đầu tư.

Kết luận

• Nghiên cứu đã xây dựng và ứng dụng thành công các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính và phi tuyến trong dự báo giá tài sản tài chính và phân tích rủi ro.
• Kiểm định tính dừng và lựa chọn mô hình ARIMA(1,1,2) cho dữ liệu GDP Mỹ cho kết quả dự báo chính xác với sai số thấp.
• Mô hình ARCH/GARCH thể hiện rõ tính chất biến đổi phương sai theo thời gian, phù hợp với đặc điểm rủi ro tài chính.
• Kết quả nghiên cứu góp phần nâng cao hiệu quả dự báo, giảm thiểu sai sót do cảm xúc và hỗ trợ tự động hóa giao dịch định lượng.
• Đề xuất các bước tiếp theo bao gồm mở rộng ứng dụng mô hình, đào tạo chuyên sâu và phát triển hệ thống giao dịch tự động nhằm nâng cao năng lực quản lý tài chính trong tương lai.

Hãy áp dụng các mô hình và kiến thức này để nâng cao hiệu quả đầu tư và quản lý rủi ro trong lĩnh vực tài chính hiện đại.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điêu kiện và Martingale sé được sử dụng ở chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA.1 Chuỗi thời gian va toán tử trễ 1.1 Chuỗi thời gian Chuỗi thời gian là dãy các quan sát về một biến số nào đó theo thời gian. Mẫu quan sát có thể xem như một đoạn hữu hạn của một chuỗi vô hạn quan sát +); ,)*S = (.-ÿ—1›Y0;Y1;2---Yn Vi dụ: Chuỗi nhiễu trắng Gauss(white noise) £; ~ N (0; ơ?) với các £, độc lập cùng phân phối.2 Chuỗi dừng Chuỗi dừng là một khái niệm rất quan trọng trong phân tích chuỗi thời gian. Nó được chia làm hai loại là dừng yếu (weakly stationarity) và dừng chặt (strict sta- tionarity) 1.1 Chuỗi dừng chặt Chuỗi y; được gọi là dừng chặt nếu với các giá trị tùy ý 7, 7. j„ thì phân bố đồng thời của mẽ.

chỉ phụ thuộc vào khoảng 7¡, j2.jn) mà không phụ thuộc vào thời gian t.2 Chuỗi dừng yêu Chuỗi thời gian y, được gọi là dừng yéu nếu Ey; = HỒ Vary, = o7Vt (1.1) cov (W;;ÿ;_k) = ⁄%Vt Như vậy với chuỗi dừng yếu thì ki vọng,phương sai và hệ số tương quan của quá trình y; đều không phụ thuộc vào thời gian. Ngược lại chuỗi thời gian gọi là không dừng nếu nó không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên. Trong phạm vi đề tài này néu không có gì đặc biệt thi tính dừng ở đây được hiểu là dừng yếu.3 Nhận xét + Một chuỗi dừng chặt với moment bậc 2 hữu hạn thì là dừng yếu song điều ngược lại không đúng. +Như vậy một chuỗi dừng yếu thì giá trị trung bình, phương sai, hiệp phương sai ở các độ trễ khác nhau sẽ giống nhau không cần biết ta đang đo lường chúng tại thời điểm nào.

Một chuỗi dữ liệu như vậy sẽ có xu hướng trở về giá trị trung bình và những dao động xung quanh giá trị trung bình(đo bằng phương sai) là giống nhau. Câu hỏi là vì sao chuỗi thời gian dừng lại quan trọng như vậy? Vì cơ sở của dự báo chuỗi thời gian chúng ta luôn giả định rằng xu hướng vận động của dữ liệu trong quá khứ và hiện tại được duy tri cho các giai đoạn tương lai. Do đó,dữ liệu cần có tính ổn định được thể hiện ở tính dừng của nó. Theo Gujarati(2003) cho rang một chuỗi thời gian không dừng thì chúng ta chỉ có thể nghiên cứu hành vi của nó trong khoảng thời gian đang xét mà thôi.

Nghĩa là chúng ta không thể khái quát nó cho giai đoạn khác,không thé dự báo được diéu gì cho tương lai néu như bản thân dữ liệu luôn thay đổi, tất cả chỉ là ngẫu nhiên. Một ví dụ nổi tiếng cho chuỗi không dừng là bước ngẫu nhiên(Random walk) sẽ được để cập ở chương sau.3 Toán tử tré(Lag operator) Toán tử trễ là một công cụ hữu hiệu khi nghiên cứu chuỗi thời gian. Các phương trình sai phân và mô hình chuỗi thời gian sẽ được trình bày nhất quán dưới công cu nay. Gia sử có chuỗi thời gian (x,)*® ta định nghĩa toán tử trễ như sau: Lx; = Xị—] L?x, + = L(Lx;) = = L(Lx;) = x; x;-2 (12) Lx, —%,—k Từ định nghĩa (1.2) dé dàng nhận thấy toán tử trễ L có các tính chất sau đây: a)Tuyên tính L(x +wr) = LỆ) +L (wr) = 1 + Wr L(Bx;) = BL (x) = Bt b)Nếu (x;) 72 = (c) thi: —co Lx, = %-1 =C (a+BL+0L’?)c=(a+B+6)c 1.2 Phương trình sai phan 1.1 Sai phan Với quỹ dao y=y(t) phụ thuộc liên tục vào t thi vi phân ham số được xác định thông qua đạo ham.

Tuy nhién,khi t biến thiên rời rac t=l,2,3. thì khái nệm đạo hàm và vi phan không có ý nghĩa. Trong trường hợp này người ta dùng khái niệm sai phân. Sai phân cấp 1 Ay; = Yt —Yr-1 (1.3) Sai phan cap n A’y, =A (a" ty.

Phương trình sai phan Phương trình sai phân đề cập đến việc thiết lập hoặc phân tích định tính quỹ đạo y= y(t) thông qua các quan hệ sai phan. Phương trình sai phân cấp n y,) = 0 ®(/;y;;Ay,:.5) Vì A”y, biểu diễn qua y;;y;+1;.y;+„ nên phương trình đưa về F (t3yt3Yr41--Ye+n) = Ô Nghiệm của phương trình là hàm số đối số rời rạc y:= 0) thỏa mãn phương trình F (t3y13Yr41--Yrin) = 0 Nghiệm tổng quát phương trình sai phân cấp n là hàm số đối số rời rac Yt = 0 (;C¡; Ca.Cn) với CỊ;Ca.C„ là các hằng sé. Phương trình sai phân gọi là otonom nếu nó không chứa biến thời gian t dưới dạng hiện Yrtn = f (WHY+1--<ŸEn—1) (1. Phương trình sai phan cấp 1 Phương trình sai phân cấp | mô tả mối quan hệ tuyến tinh của y; (giá trị của biến số y nào đó thay đổi theo thời gian tại thời điểm t) theo biến trễ ở thời kì trước đó y;_¡ và biến đầu vào (input variable) w; Yt = @Y¡—1 + We (1.7) Trong đó w, có thể là hàm tat định hoặc ngẫu nhiên còn ø là một ham sé.

YI = Pyo rw Y2 = 0y +W2 = 0 'yo + 0W1 + W2 vị = @fyo + Øf— Wi + @f—2w2 +. tw 4 Hoặc y= t+1 Tý ¡+ Ø'wo+ợt wit. +we với y; là một hàm tuyến tính của giá trị xuất phát y_¡ và các giá tri quá khứ của w. Ảnh hưởng của wọ đến y, là đy: ot Owo ~ 9 Tương tự Y+j = @? hy + 'w:+ oo West +.

+ Wt+j Ảnh hưởng của w, đến y; là đy;+ j j 2w, =o! ọ 1.8) Nhân tử này gọi là nhân tử động (dynamic multiplier). Nó chỉ phụ thuộc vào j là độ dài khoảng thời gian từ t đến t+j chứ không phụ thuộc vào thời gian t là thời điểm quan sát. Kết luận này đúng cho bắt kì phương trình sai phân tuyến tính nào. -Nếu 3ÿ;+ j ; -l<@<l: = o/ —>0 ? owt ? Jos -Néu Ề lø| >1: Set Wt =! — je ° Vậy nếu |@| < 1 hệ thống sé ổn định.

Tính ổn định ở đây được hiểu là tác động của sự thay đổi của w; sẽ bị triệt tiêu. Còn nếu |ø| > 1 hệ thống sẽ phân kì. Bây giờ, ta sẽ xét phương trình trên dưới cái nhìn của toán tử trễ. Phương trình được viết dưới dạng: q — 0L); =W; 2 (1—ø#?1 * y , = (14 + 0 L + 02 12 +.+ 0 'wo Ta lại thu được kết qua giống phương pháp đệ quy ở trên.

t—-+oo 5 Từ đó, nếu || < 1;:y_¡ < œ ta có thể viết =W;+0w,_¡ +0 W,-a2+. Điều kiện |@| < 1 chính là đảm bảo cho chuỗi y, là dừng. Điều này sé được trình bay kĩ hơn ở mô hình AR(1) chương 2.4 Phương trình sai phân cấp p Phương trình sai phân bậc p mô tả mối quan hệ tuyến tính của y, theo p biến trễ của chính nó và giá trị hiện thời của biến đầu vào w. Yt = Piyr—1 + Ø2Y¿—2 +--+ PpYt—p + Wr (1.

G2 ---Óp yt Wi 1 0 " ọ trong đó Š, = Độ | pe 0 1 0 V,= Yt—pt+l 0 ppt 00 --:0 pxp Hay dưới dạng toán tử trễ (1 QL — @;L2—. @pLP) yr = Wi (1.11) Phân tích toán tử ở về trái của (1.Ap) sao cho ta có dong nhất thức của đa thức ẩn z (1 0Iz— M2 —.12) Ta chuyển sang da thức ẩn z vì thực hiện điều này với toán tử L là không có nghĩa. Chia hai về cho z? và đặt A = z~! ta được (A?— AP! — @Ã??—.Àp,) là nghiệm của phương trình AP — QAP! — gar! —.— @, =0 Việc phân tích đa thức toán tử (1— @|L— Ø›L2—.(1— ÄpL) được thực hiện giống như việc tìm các giá trị riêng của ma trận Ợ_ 02 -'-Ớp 1 0 0 F=]| 0 | 0 0 0_ --:0 pxp Ta có mệnh dé sau: Mệnh đề 1.1 Các giá trị riêng cua ma trận F thỏa mãn phương trình sau(phương trình đặc trưng) AP — QAP! — @ÄP”—.14) Chứng minh Cac giá trị riêng A của ma trận F là nghiệm của phương trình đặc trưng det (F — AI,) =0 Ta có Pi-A G2 + 1 A --:0 det (F — AI,) = det 0 1 ---0 0 0_ ---— Nhân cột thứ p với h rồi cộng vào cột thứ p-1 ta được ỢI — Â, @2_ ------ Pp—-1 + $e Pp 1 Ha. 0 0 det (F — AI,) = det 0 — ee eee 0 0 QO --.

0 —Â Sau đó nhân cột thứ p-1 với + rồi cộng vào cột thứ p-2. Tiếp tục quá trình này ta nhận được ma trận tam giác trên det (F — Alp) = Q-At+ E+ Bt + Mthte tee ee Pp-1+ 3° Op 0 TY rn 0 O det 0 QO 7 se. 0 —Â Do đó det (F —Alp = (0 ) -A +B +--+ 74) (-ay|! r = (—1)? (AP— A?! — mar? —.--— 0p) Vì vậy các giá tri riêng của ma tran F phải thỏa man phương trình (1.14) do đó ta có điều phải chứng minh.2 Giả sử ma trận F có p giá trị riêng phân biệt nằm trong đường My P nh pl tròn đơn vị thì nhân tử động ae =y crAj trong đó c¡ = —. Hon nữa k=l JL, (4—Âx) P Yc = 1 k=1 Chứng minh Do các giá trị riêng nằm trong đường tron đơn vi nên tổn tại các toán tử khả nghịch (1—Äi1) };(1—^¿U)Ỷ;.

Ta phân tích: 1 .15) có thể tìm từ đồng nhất thức 1 Cp “20-58-13= Toe tte te Foie p p (1.16) ©I=}|œ IT (1-A;z) k=1 J=l:J#k thỏa mãn với mọi giá tri của z. p-l Với z= Ay! thì c¡ = 4 II (Ai-Ai) i=1;iA1 ape! Tương tự c,= ——* II (ae—Ai) i=liizk D Với z=Othi }) cy = 1. Như vậy ta có k=1 v= (a ¬=Son + +: FT 'z)w — C1 Ị Cp yr= [er (LH AIL+ APL?+.) | wi yp = (Cy +c¿+. + epAp) Wr jt.

Từ đó nhân tử động 3y,+; Pp J AƑk Z2* ` p we =y cKAj VỚI ch = ——*— Và Ye = 1 k= II (À2) k=l i=l:k Như vậy phương trình sai phân là ổn định nếu các giá trị riêng có môdun nhỏ hơn 1 hoặc chúng nằm trong đường tròn đơn vị. Điều này tương đương với các nghiệm phương trình sau nằm ngoài đường tròn đơn vị: Ï— ØIz— Øaz”T—.3 Kỳ vọng điều kiện va martingale Kỳ vọng điều kiện và martingale là những khái niệm đặc biệt quan trọng trong lí thuyết xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực toán tài chính. Ở đây chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm và các kết quả cơ bản nhằm mục đích sử dụng ở chương 3 trong phân tích các mô hình rủi ro như ARCH, GARCH.1 Không gian xác suất được lọc Cho (Q,3,P) là không gian xác suất.