Lý thuyết về ideals trong đại số Artin-Schelter đều ba chiều

Acknowledgements

Introduction

1. Preliminaries and basic tools

1.1. Grothendieck group and Euler form

1.2. Dimension, multiplicity and Hilbert series

1.3. Algebras and modules

1.4. Graded algebras and modules

1.5. Artin-Schelter regular algebras

1.6. Three dimensional Artin-Schelter algebras

1.7. Filtered algebras and modules

2. Ideals of quadratic Artin-Schelter algebras

2.1. Motivation, main results and analogy

2.2. Hilbert schemes on affine planes

2.3. Hilbert schemes on projective planes

2.4. Stable vector bundles on the projective plane

2.5. From reflexive ideals to normalized line bundles

2.5.1. Torsion free and reflexive objects

2.5.2. The Grothendieck group and the Euler form for quantum planes

2.5.3. Normalized rank one objects

2.5.4. Cohomology of line bundles on quantum planes

2.5.5. Restriction of line bundles to the divisor

2.5.6. From line bundles to quiver representations

2.5.6.1. Generalized Beilinson equivalence

2.5.6.2. Point and line representations

2.5.6.3. First description of Rp(P2)

2.5.6.4. Line bundles on P2 with invariant one

2.5.6.5. Induced Kronecker quiver representations

2.5.6.7. Second description of Ry(P2) and proof of Theorem 1

2.5.6.8. Description of the varieties D for Sklyanin algebras and proof of Theorem 2

2.5.6.9. Filtrations of line bundles and proof of Theorem 3

3. Hilbert series of ideals of quadratic Artin-Schelter algebras

3.1. Introduction and main results

3.2. Notations and conventions

3.3. Proof that the conditions in Theorem 6 are necessary

3.4. Proof that the conditions in Theorem 6 are sufficient

3.5. Proof of other properties of Hilbert series

3.6. The stratification by Hilbert series

4. Modules of GK-dimension one over quadratic Artin-Schelter algebras

4.1. Proof of Theorem 7

5. Incidence between strata on the Hilbert scheme of points on the projective plane

5.1. Introduction and main result

5.2. Outline of the proof of the main theorem

5.3. Four sets of conditions

5.3.1. Translation of the length zero condition

5.3.2. Translation of the dimension condition

5.3.3. Translation of the tangent condition

5.4. Truncated point modules

5.5. A complex whose homology is J

5.6. The Hilbert scheme of an ideal

5.7. Estimating the dimension of Ext(J,J)

5.8. Tying things together

6. Ideals of cubic Artin-Schelter algebras

6.1. Introduction and main results

6.2. From reflexive ideals to normalized line bundles

6.2.1. Torsion free and reflexive objects

6.2.2. The Grothendieck group and the Euler form for quantum quadrics

6.2.3. Normalized rank one objects

6.2.4. Cohomology of line bundles on quantum quadrics

6.2.5. Hilbert series of ideals and proof of Theorem 14

6.2.6. Ideals of linear cubic Artin-Schelter algebras

6.2.7. Hilbert scheme of points

6.2.8. Some results on line and conic objects

6.2.9. Restriction of line bundles to the divisor C

6.2.10. From line bundles to quiver representations

6.2.10.1. Generalized Beilinson equivalence

6.2.10.2. Point, line and conic representations

6.2.10.3. First description of Rin

6.2.10.4. Line bundles on X with invariants (1,0) and (1,1)

6.2.10.5. Description of Rin,n)(X) for the enveloping algebra

6.2.10.6. Restriction to a full subquiver

6.2.10.8. Second description of Rin

6.2.10.9. Descriptions of the varieties for the enveloping algebra

6.2.11. Description of the varieties Din,n for generic type A

6.2.12. Filtrations of line bundles and proof of Theorem 12

6.2.13. Invariant ring of the first Weyl algebra and proof of Theorem 14

A Serre duality for graded rings

B Upper semi-continuity for noncommutative Proj

C Hilbert series of ideals with small invariants

C.1. Quadratic Artin-Schelter algebras

C.2. Cubic Artin-Schelter algebras

D A visual criterion for incidence problems of length zero

E Maple programs

E.1. Procedures for Chapter 3: Examples

E.2. Procedures for Chapter 5: Examples

E.3. Procedures for Chapter 3

E.4. Additional procedures for Chapter 5

F Hilbert graphs and combinatorics

F.1. Hilbert graphs and incidence problems for low invariants

F.2. General Hilbert graphs

G An inequality on broken chessboards

G.1. Partitions and chess Ferrers graphs

G.2. From partitions to Castelnuovo functions

G.3. Proof that the condition in Theorem A is necessary

G.4. Proof that the condition in Theorem A is sufficient

Bibliography

I. Lý thuyết ideals

Lý thuyết ideals là một khái niệm trung tâm trong đại số học, đặc biệt trong nghiên cứu về các đại số Artin-Schelter. Trong bối cảnh này, ideals được xem như các tập con đóng của một đại số, thỏa mãn các điều kiện nhất định về tính chất đại số. Các ideals trong đại số Artin-Schelter ba chiều thường được nghiên cứu thông qua các tính chất hình học và đại số, đặc biệt là mối liên hệ với các không gian moduli. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng, việc phân loại các ideals trong đại số Artin-Schelter có thể dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc của các đại số này.

1.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản

Ideals trong đại số Artin-Schelter được định nghĩa là các tập con đóng của đại số, thỏa mãn các điều kiện về tính chất đại số như tính đóng đối với phép nhân và phép cộng. Các ideals này thường được nghiên cứu thông qua các tính chất hình học, đặc biệt là mối liên hệ với các không gian moduli. Ví dụ, trong đại số Artin-Schelter ba chiều, các ideals có thể được phân loại dựa trên các tính chất của không gian moduli tương ứng.

1.2. Ứng dụng trong nghiên cứu đại số

Việc nghiên cứu ideals trong đại số Artin-Schelter không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các đại số này mà còn có ứng dụng trong các lĩnh vực khác như hình học đại số và lý thuyết biểu diễn. Các kết quả nghiên cứu về ideals đã được sử dụng để xây dựng các không gian moduli, từ đó giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các đại số Artin-Schelter.

II. Đại số Artin Schelter

Đại số Artin-Schelter là một lớp đại số quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lý thuyết đại số và hình học đại số. Các đại số này được đặc trưng bởi các tính chất đại số và hình học đặc biệt, thường được sử dụng để mô hình hóa các không gian phi giao hoán. Trong bối cảnh ba chiều, đại số Artin-Schelter thường được nghiên cứu thông qua các tính chất của các ideals và các không gian moduli tương ứng.

2.1. Cấu trúc và phân loại

Đại số Artin-Schelter ba chiều thường được phân loại dựa trên các tính chất đại số và hình học của chúng. Các đại số này có thể được chia thành hai loại chính: đại số bậc hai và đại số bậc ba. Mỗi loại có các tính chất đặc trưng riêng, thường được nghiên cứu thông qua các ideals và các không gian moduli tương ứng.

2.2. Ứng dụng trong hình học đại số

Các đại số Artin-Schelter ba chiều thường được sử dụng để mô hình hóa các không gian phi giao hoán trong hình học đại số. Các nghiên cứu về các đại số này đã dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc của các không gian moduli và các đối tượng hình học liên quan.

III. Đại số ba chiều

Đại số ba chiều là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lý thuyết đại số và hình học đại số. Trong bối cảnh này, đại số ba chiều thường được nghiên cứu thông qua các tính chất của các ideals và các không gian moduli tương ứng. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng, việc phân loại các đại số ba chiều có thể dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc của các đại số này.

3.1. Tính chất và phân loại

Đại số ba chiều thường được phân loại dựa trên các tính chất đại số và hình học của chúng. Các đại số này có thể được chia thành hai loại chính: đại số bậc hai và đại số bậc ba. Mỗi loại có các tính chất đặc trưng riêng, thường được nghiên cứu thông qua các ideals và các không gian moduli tương ứng.

3.2. Ứng dụng trong nghiên cứu đại số

Các đại số ba chiều thường được sử dụng để mô hình hóa các không gian phi giao hoán trong hình học đại số. Các nghiên cứu về các đại số này đã dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc của các không gian moduli và các đối tượng hình học liên quan.

Nghiên cứu về Ideals trong Đại Số Artin-Schelter Đều Ba Chiều