Khóa học ngắn gọn về lý thuyết phổ trong không gian Banach và Hilbert

Khóa học ngắn về lý thuyết phổ: khám phá các khái niệm cơ bản, ứng dụng trong toán học và vật lý. Tìm hiểu phân tích phổ & không gian Hilbert.

• Tác giả: William Arveson
• Trường học: University of California, Berkeley
• Chuyên ngành: Mathematics
• Đề tài: Spectral Theory
• Loại tài liệu: course
• Năm xuất bản: 2001
• Địa điểm: New York

Mục lục chi tiết

• Preface
• 1. CHAPTER 1: Spectral Theory and Banach Algebras
• 1.1. Origins of Spectral Theory
• 1.2. The Spectrum of an Operator
• 1.3. Banach Algebras: Examples
• 1.4. The Regular Representation
• 1.5. The General Linear Group of A
• 1.6. Spectrum of an Element of a Banach Algebra
• 1.7. Ideals and Quotients
• 1.8. Commutative Banach Algebras
• 1.9. Examples: C(X) and the Wiener Algebra
• 1.10. Spectral Permanence Theorem
• 1.11. Brief on the Analytic Functional Calculus
• 2. Chapter 2: Operators on Hilbert Space
• 2.1. Operators and Their C ∗ -Algebras
• 2.2. Continuous Functions of Normal Operators
• 2.3. The Spectral Theorem and Diagonalization
• 2.4. Representations of Banach ∗-Algebras
• 2.5. Borel Functions of Normal Operators
• 2.6. Adjoining a Unit to a C ∗ -Algebra
• 2.7. Quotients of C ∗ -Algebras
• 3. Chapter 3: Asymptotics: Compact Perturbations and Fredholm Theory
• 3.1. The Calkin Algebra
• 3.2. Riesz Theory of Compact Operators
• 3.3. The Fredholm Index
• 4. Chapter 4: Methods and Applications
• 4.1. Maximal Abelian von Neumann Algebras
• 4.2. Toeplitz Matrices and Toeplitz Operators
• 4.3. The Toeplitz C ∗ -Algebra
• 4.4. Index Theorem for Continuous Symbols
• 4.5. Some H 2 Function Theory
• 4.6. Spectra of Toeplitz Operators with Continuous Symbol
• 4.7. States and the GNS Construction
• 4.8. Existence of States: The Gelfand–Naimark Theorem
• Bibliography
• Index

Tóm tắt

I. Lý thuyết phổ Tổng quan khóa học ngắn gọn 55 ký tự

Khóa học ngắn gọn về lý thuyết phổ cung cấp các công cụ cơ bản của phân tích hiện đại. Trọng tâm là tính toán phổ của các toán tử cụ thể trong không gian vô hạn chiều, đặc biệt là trên không gian Hilbert. Các công cụ rất đa dạng và cung cấp cơ sở cho các phương pháp tinh vi hơn, cho phép tiếp cận các vấn đề vượt xa việc tính toán phổ. Nắm vững tài liệu này là điều kiện cần thiết cho các lĩnh vực nghiên cứu hiện tại như nền tảng toán học của vật lý lượng tử, lý thuyết K không giao hoán và phân loại đại số C* đơn giản.

Phổ của một toán tử dựa trên khái niệm trừu tượng hơn về phổ của một phần tử của một đại số Banach phức. Sau khi giải quyết các nguyên tắc cơ bản này, chúng ta chuyển sang các vấn đề cụ thể hơn về tính toán phổ của các toán tử thuộc nhiều loại khác nhau. Đối với các toán tử thông thường, điều này tương đương với việc xử lý định lý phổ. Các toán tử tích phân yêu cầu sự phát triển của lý thuyết Riesz về các toán tử compact và ideal L2 của các toán tử Hilbert–Schmidt. Các toán tử Toeplitz yêu cầu một số công cụ quan trọng; để tính toán phổ của các toán tử Toeplitz với ký hiệu liên tục, cần phải biết lý thuyết về các toán tử Fredholm và chỉ số, cấu trúc của đại số Toeplitz C* và mối liên hệ của nó với tôpô của các đường cong, và định lý chỉ số cho các ký hiệu liên tục.

Khóa học này thường được giảng dạy trong một khóa học mười lăm tuần. Các bài giảng đã phát triển đáng kể trong những năm qua, nhưng luôn tập trung vào khái niệm phổ và vai trò của đại số Banach như một nền tảng hiện đại thích hợp cho những cân nhắc như vậy. Đối với một sinh viên nghiêm túc về phân tích hiện đại, tài liệu này là sự khởi đầu thiết yếu.

1.1. Nguồn gốc và tầm quan trọng của Lý thuyết phổ

Ý tưởng về phổ của một toán tử xuất phát từ những nỗ lực tìm hiểu các vấn đề cụ thể của đại số tuyến tính liên quan đến việc giải các phương trình tuyến tính và tổng quát hóa vô hạn chiều của chúng. Vấn đề cơ bản của đại số tuyến tính trên các số phức là giải hệ phương trình tuyến tính. Mục tiêu là xác định xem hệ có nghiệm hay không và tìm tất cả các nghiệm khi chúng tồn tại. Các khóa học sơ cấp về đại số tuyến tính nhấn mạnh rằng phía bên trái định nghĩa một toán tử tuyến tính f → Af trên không gian vectơ n chiều Cn. Sự tồn tại của các nghiệm tương đương với tính surjective của A; tính duy nhất của các nghiệm tương đương với tính injective của A. Do đó, hệ phương trình có thể giải được duy nhất cho tất cả các lựa chọn nếu và chỉ nếu toán tử tuyến tính A là khả nghịch.

1.2. Ứng dụng của lý thuyết phổ trong các bài toán thực tế

Các bài toán về phương trình tích phân có thể được giải bằng lý thuyết phổ, bằng cách thay thế các phép cộng bằng tích phân. Ví dụ, Abel đã xem xét việc tìm hàm f sao cho ∫αx f(y) / (x − y)^(1-α) dy = g(x) trên khoảng α < x < 1, với g là hàm đủ trơn và g(α) = 0. Abel đã viết ra “nghiệm” sau: f(y) = (sin(πα) / π) ∫αx g'(x) / (y − x)^(α-2) dx. Các ví dụ khác bao gồm việc tìm hàm f sao cho ∫−∞∞ e^(-ixy) f(y) dy = g(x), với g ∈ L2(R), và giải phương trình Volterra ∫0x k(x, y)f(y) dy − λf(x) = g(x) cho f, với k(x, y) là hàm phức liên tục trên tam giác 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 và g ∈ C[0, 1].

II. Toán tử và Đại số Banach Cách định nghĩa chuẩn 59 ký tự

Một đại số trên C là một không gian vectơ phức A cùng với một phép toán hai ngôi biểu thị phép nhân x, y ∈ A → xy ∈ A thỏa mãn (1) Bilinearity: Đối với α, β ∈ C và x, y, z ∈ A, ta có (α · x + β · y)z = α · xz + β · yz, x(α · y + β · z) = α · xy + β · xz. Một đại số phức có thể có hoặc không có một đơn vị nhân. Một đại số có một đơn vị thì nó được xác định duy nhất, và chúng ta ký hiệu nó là 1. Một đơn vị còn được gọi là unit, và một đại số có unit được gọi là một đại số có unit. Một đại số giao hoán là một đại số trong đó xy = yx cho mọi x, y.

Một đại số định chuẩn là một cặp A, ||.|| bao gồm một đại số A cùng với một chuẩn ||.||: A → [0, ∞) liên quan đến phép nhân như sau: ||xy|| ≤ ||x|| · ||y||, x, y ∈ A. Một đại số Banach là một đại số định chuẩn là một không gian Banach (đầy đủ) tương đối với chuẩn đã cho của nó. Một không gian tuyến tính định chuẩn E là một không gian Banach nếu mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.

2.1. Ví dụ về các loại Đại số Banach khác nhau

Các ví dụ về đại số Banach bao gồm: B(E) (toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach E), C(X) (hàm phức liên tục trên không gian Hausdorff compact X), đại số đĩa (hàm phức trên đĩa đơn vị đóng là giải tích ở bên trong), l1(Z) (chuỗi vô hạn đôi của các số phức với phép nhân là tích chập, còn được gọi là đại số Wiener) và L1(R) (hàm khả tích trên đường thẳng thực với phép nhân là tích chập). Các ví dụ khác bao gồm Mn (C) (ma trận phức n × n), đại số nhóm không giao hoán (ví dụ: nhóm ax + b và SL(n, R)) và đại số nhóm L1(G) (hàm khả tích trên nhóm G với phép nhân là tích chập).

2.2. Biểu diễn chính quy và chuẩn tương đương trong đại số Banach

Cho A là một đại số Banach. Phép nhân là liên tục đồng thời theo nghĩa là đối với bất kỳ x0 , y0 ∈ A, lim xy − x0 y0 = 0. Cho Lx : A → A là một biến đổi tuyến tính xác định bởi Lx (z) = xz. Theo bất đẳng thức thứ hai trong (1.6), Lx phải bị chặn. Xét họ của tất cả các toán tử {Lx : x ≤ 1}. Đây là một tập hợp các toán tử bị chặn trên A, theo bất đẳng thức thứ nhất của (1.6), bị chặn điểm: sup Lx (z) < ∞, cho tất cả z ∈ A. Định lý Banach–Steinhaus ngụ ý rằng họ các toán tử này bị chặn đều trong chuẩn, và sự tồn tại của c xảy ra. Phép ánh xạ x ∈ A → Lx ∈ B(A) được gọi là biểu diễn chính quy trái, hoặc đơn giản là biểu diễn chính quy của A.

2.3. Toán tử compact và Quan hệ với Đại số Banach

Một toán tử A ∈ B(E) được gọi là compact nếu bao đóng chuẩn của {Ax : x ≤ 1}, ảnh của quả cầu đơn vị dưới A, là một tập hợp compact của E. Vì các tập hợp compact của E phải bị chặn theo chuẩn, nên các toán tử compact bị chặn. Một operator rank A ∈ B(E) là chiều của không gian vectơ AE. Cho A ∈ B(E) là một toán tử có tính chất là có một chuỗi các toán tử rank hữu hạn A1 , A2 , . Sao cho A − An → 0 khi n → ∞. Một số kết quả về Toán tử compact như: Nếu một toán tử rank có dãy toán tử rank hữu hạn A − An → 0 thì A là một toán tử compact, tìm các ví dụ chứng minh toán tử compact trên các không gian khác nhau, hay tìm Toán tử compact trên không gian Hilbert.

III. Nhóm Tuyến tính Tổng quát Tính khả nghịch 58 ký tự

Cho A là một đại số Banach với đơn vị 1, mà theo kết quả của phần trước, chúng ta có thể giả định thỏa mãn ||1|| = 1 sau khi định chuẩn lại A một cách thích hợp. Một phần tử x ∈ A được cho là khả nghịch nếu có một phần tử y ∈ A sao cho xy = yx = 1. Chúng ta sẽ viết A-1 (và đôi khi GL(A)) cho tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của A. Hoàn toàn rõ ràng rằng A-1 là một nhóm; nhóm này đôi khi được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát của đại số Banach A có đơn vị. Nếu x là một phần tử của A thỏa mãn ||x|| < 1, thì 1 − x là khả nghịch, và nghịch đảo của nó được cho bởi chuỗi Neumann hội tụ tuyệt đối (1−x)−1 = 1+x+x2 +....

3.1. Điều kiện và Tính liên tục của Phép nghịch đảo

Nếu x là một phần tử của A thỏa mãn x < 1, thì 1 − x là khả nghịch, và nghịch đảo của nó được cho bởi chuỗi Neumann hội tụ tuyệt đối (1−x)−1 = 1+x+x2 +.... A-1 là một tập hợp mở trong A và phép ánh xạ x → x−1 là một phép ánh xạ liên tục từ A-1 vào chính nó. Để thấy rằng A-1 là mở, hãy chọn một phần tử khả nghịch x0 và một phần tử tùy ý h ∈ A. Như vậy nếu x0 h < 1 thì theo định lý trước x0 + h là khả nghịch. Một nhóm con mở của G cũng phải đóng.

3.2. Các nhóm con và chỉ số trừu tượng trong đại số Banach

Cho G0 là tập hợp tất cả các tích hữu hạn của các phần tử của G có dạng 1 − x hoặc (1 − x)−1 , trong đó x ∈ A thỏa mãn x < 1. Chứng minh rằng G0 là thành phần liên thông của 1 trong G. Gợi ý: Một nhóm con mở của G cũng phải đóng. Suy ra rằng G0 là một nhóm con chuẩn tắc của G và rằng tôpô thương trên G/G0 biến nó thành một nhóm rời rạc. Nhóm Γ = G/G0 đôi khi được gọi là nhóm chỉ số trừu tượng của A. Thông thường (nhưng không phải lúc nào cũng vậy) nó là giao hoán ngay cả khi G không phải vậy, và nó có liên quan chặt chẽ đến nhóm K-lý thuyết K1 (A).

IV. Phổ của phần tử Định nghĩa và các tính chất cơ bản 59 ký tự

A sẽ ký hiệu một đại số Banach có đơn vị, mà đối với nó ||1|| = 1. Cho một phần tử x ∈ A và một số phức λ, chúng ta sẽ lạm dụng ký hiệu bằng cách viết x − λ cho x − λ1. Đối với mỗi phần tử x ∈ A, phổ của x được định nghĩa là tập hợp σ(x) = {λ ∈ C : x − λ ∉ A−1 }. Ta sẽ phát triển các tính chất cơ bản của phổ, trong đó tính chất đầu tiên là nó luôn compact. Đối với mỗi x ∈ A, σ(x) là một tập hợp đóng của đĩa {z ∈ C : |z| ≤ ||x|| }.

4.1. Bổ đề Gelfand và Tính duy nhất của đại số chia

Bổ đề Gelfand chứng minh rằng nếu σ(x) = ∅, hàm A-giá trị f (λ) = (x − λ)−1 là một hàm toàn phần bị chặn có xu hướng về không khi λ → ∞; việc sử dụng định lý Liouville mang lại kết luận mong muốn. Một đại số chia (trên C) là một đại số kết hợp phức A với đơn vị 1 sao cho mọi phần tử khác không trong A đều khả nghịch. Một phép đẳng cấu của các đại số Banach A và B là một phép đẳng cấu θ : A → B của các cấu trúc đại số cơ bản cũng là một phép đẳng cấu tôpô; do đó, có các hằng số dương a, b sao cho a x ≤ θ(x) ≤ b x cho mọi phần tử x ∈ A. Bất kỳ đại số chia Banach nào cũng đẳng cấu với đại số một chiều C.

4.2. Các ứng dụng của Phổ trong các bài toán Toán học

Tính spectrum của toán tử. Tìm điều kiện để chuỗi số hội tụ và tính tổng của nó. Trong các bài toán liên quan đến hàm biến phức, tính spectrum để xác định các điểm kỳ dị, hay đánh giá xem hàm có đạo hàm hay không. Trong lý thuyết toán tử, sử dụng để phân loại các toán tử tuyến tính và xây dựng hàm của toán tử (functional calculus). Giải phương trình vi phân và phương trình tích phân. Nghiên cứu tính ổn định của hệ thống động lực. Các ứng dụng này làm nổi bật vai trò trung tâm của spectrum trong nhiều lĩnh vực toán học và ứng dụng của nó.

V. Bán kính Phổ Định nghĩa Công thức và Ý nghĩa 59 ký tự

Chúng ta giới thiệu khái niệm bán kính phổ và chứng minh một công thức tiệm cận hữu ích do Gelfand, Mazur và Beurling tìm ra. Đối với mỗi x ∈ A, bán kính phổ của x được định nghĩa bởi r(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)}. Vì phổ của x được chứa trong đĩa trung tâm có bán kính x , suy ra r(x) ≤ x . Để chứng minh điều này, cần có dạng thô sơ sau đây của định lý ánh xạ phổ. Nếu x là một phần tử của A và f là một đa thức, thì σ(f (x)) = f (σ(x)).

5.1. Định lý Gelfand Mazur Beurling và các tính chất của nó

Công thức sau thường được quy cho Gelfand và Mazur, mặc dù các trường hợp đặc biệt đã được khám phá độc lập bởi Beurling. Đối với mỗi x ∈ A, ta có lim xn 1/n = r(x). Khẳng định ở đây là giới hạn tồn tại nói chung và có r(x) là giá trị của nó. Yêu cầu dạng sơ khai sau của định lý ánh xạ phổ: Nếu x là một phần tử của A và f là một đa thức, thì σ(f (x)) = f (σ(x)).

5.2. Các phần tử quasinilpotent và các ký hiệu

Một phần tử x của một đại số Banach A (có hoặc không có đơn vị) được gọi là quasinilpotent nếu lim xn 1/n = 0. Cần nhấn mạnh rằng tính quasinilpotence được đặc trưng khá đơn giản về mặt phổ. Một phần tử x của một đại số Banach A có đơn vị là quasinilpo iff σ(x) = {0}. Cho (an : n = 1, 2, . ) là một chuỗi các số phức sao cho an → 0 khi n → ∞. Chứng minh rằng toán tử dịch chuyển có trọng số liên kết trên ℓ2 (xem Các bài tập của Phần 1.8) là quasinilpotent.

VI. Ideal và Đại số Thương Cấu trúc và Tính chất 56 ký tự

Cho A là một đại số Banach phức. Một ideal trong A là một không gian con tuyến tính I ⊆ A bất biến dưới phép nhân trái và phải, AI + IA ⊆ I. Có hai ideal tầm thường, đó là I = {0} và I = A, và A được gọi là đơn giản nếu đây là các ideal duy nhất. Một ideal là thích hợp nếu nó không phải là tất cả A. Giả sử bây giờ I là một ideal thích hợp của A. Tạo không gian vectơ thương A/I, ta có một ánh xạ tuyến tính tự nhiên x ∈ A → ẋ = x + I ∈ A/I từ A lên A/I. Vì I là một ideal hai phía, người ta có thể định nghĩa một cách không mơ hồ một phép nhân trong A/I bởi (x + I) · (y + I) = xy + I, x, y ∈ A. Phép nhân này biến A/I thành một đại số phức, và phép ánh xạ tự nhiên x → ẋ trở thành một phép đồng cấu surjectif của các đại số phức có ideal I đã cho là hạt nhân của nó.

6.1. Ideal thích hợp và Dãy Banach

Cho A là một đại số Banach với đơn vị được chuẩn hóa 1 và cho I là một ideal thích hợp trong A. Thì đối với mọi z ∈ I, ta có 1 + z ≥ 1. Đặc biệt, bao đóng của một ideal thích hợp là một ideal thích hợp. Nếu có một phần tử z ∈ I với 1 + z < 1, thì theo Định lý 1.2 z phải khả nghịch trong A; do đó 1 = z −1 z ∈ I, điều này ngụ ý rằng I không thể là một ideal thích hợp. Khẳng định thứ hai theo từ tính liên tục của chuẩn; nếu 1 + z ≥ 1 cho tất cả z ∈ I, thì 1 + z ≥ 1 vẫn tồn tại cho tất cả z trong bao đóng của I.

6.2. Tiêu chuẩn cực đại và Bộ chọn Hausdorff

Cho A là một đại số phức và cho I là một ideal thích hợp của A. Chứng minh rằng I là một ideal cực đại iff đại số thương A/I là đơn giản. Cho A là một đại số Banach có đơn vị, cho n là một số nguyên dương, và cho ω : A → Mn là một phép đồng cấu của các đại số phức sao cho ω(A) = Mn, Mn biểu thị đại số của tất cả các ma trận n × n trên C. Chứng minh rằng ω là liên tục (trong đó Mn được tôpô hóa một cách tự nhiên bởi C2).