Lý Thuyết Điểm Bất Động và Ứng Dụng Trong Giải Bài Toán Sơ Cấp

• Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hương
• Người hướng dẫn: TS. Trong
• Trường học: Đại học Hồng Đức
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Lý Thuyết Điểm Bất Động và Ứng Dụng Trong Giải Bài Toán Sơ Cấp
• Loại tài liệu: luận văn
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Thanh Hóa

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. MỞ ĐẦU
• 2. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Dãy số
• 1.2. Hàm số
• 3. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
• 2.1. Định lý ánh xạ co Banach và hệ quả
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Lý Thuyết Điểm Bất Động và Bài Toán Sơ Cấp

Lý thuyết điểm bất động là một lĩnh vực lâu đời trong toán học, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khác. Hiện nay, lý thuyết điểm bất động vẫn nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Việc mở rộng các định lý điểm bất động cho phép mở rộng phạm vi ứng dụng của chúng. Nguyên lý ánh xạ co, được phát biểu cụ thể năm 1922 trong luận án của Banach, đã trở thành kết quả quan trọng với nhiều ứng dụng. Kết quả này sau đó được nhiều nhà toán học mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Để tìm hiểu một số định lý điểm bất động cũng như ứng dụng của chúng vào giải một số bài toán sơ cấp, chúng ta sẽ khám phá sâu hơn về chủ đề này. Các định lý điểm bất động không chỉ chứng minh sự tồn tại của điểm bất động mà còn cung cấp phương pháp tìm kiếm chúng.

1.1. Khái niệm cơ bản về Điểm Bất Động trong Toán học

Một số thực a được gọi là điểm bất động của hàm f nếu f(a) = a. Tập hợp tất cả các điểm bất động của f được ký hiệu bởi Fix(f). Ví dụ, hàm số g(x) = x có vô số điểm bất động. Về mặt hình học, tập Fix(f) là tập các điểm trên trục Ox tương ứng với giao điểm của đồ thị của f với đường thẳng y = x. Các định lý điểm bất động không chỉ chứng minh sự tồn tại của điểm bất động mà còn cung cấp phương pháp tìm kiếm chúng. Các định lý quan trọng như Định lý ánh xạ co Banach và Định lý Brouwer là nền tảng của lĩnh vực này.

1.2. Vai trò của Lý Thuyết Điểm Bất Động trong Giải toán

Sự tồn tại duy nhất điểm bất động cho phép áp dụng các kết quả của lý thuyết điểm bất động vào giải các phương trình, hệ phương trình. Cụ thể, trong các chứng minh của các định lý điểm bất động thường xây dựng các dãy lặp hội tụ tới điểm bất động của ánh xạ. Điều này cho phép ta đưa ra các ứng dụng của các định lý điểm bất động vào nghiên cứu sự hội tụ của dãy số và tìm giới hạn của các dãy số. Ngoài ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động cũng cho phép ta áp dụng các kết quả của lý thuyết điểm bất động vào giải các phương trình hàm, hệ phương trình.

II. Thách Thức và Vấn Đề Khi Giải Bài Toán Sơ Cấp

Trong quá trình giải bài toán sơ cấp, việc tìm kiếm nghiệm hoặc chứng minh sự tồn tại của nghiệm thường gặp nhiều khó khăn. Các phương pháp truyền thống đôi khi không hiệu quả hoặc đòi hỏi kỹ năng biến đổi phức tạp. Lý thuyết điểm bất động cung cấp một hướng tiếp cận mới, giúp đơn giản hóa quá trình giải quyết bài toán. Tuy nhiên, việc áp dụng lý thuyết này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các định lý và kỹ năng lựa chọn ánh xạ phù hợp. Theo nghiên cứu, việc lựa chọn đúng ánh xạ co là yếu tố then chốt để áp dụng thành công định lý Banach.

2.1. Khó khăn trong việc tìm nghiệm Phương Trình Hệ Phương Trình

Các phương trình hàm và hệ phương trình phức tạp thường không có nghiệm tường minh. Việc tìm nghiệm gần đúng hoặc chứng minh sự tồn tại của nghiệm là một thách thức lớn. Lý thuyết điểm bất động có thể giúp chứng minh sự tồn tại của nghiệm mà không cần tìm ra nghiệm cụ thể. Điều này đặc biệt hữu ích trong các bài toán thực tế, nơi nghiệm chính xác không quan trọng bằng việc biết rằng nghiệm tồn tại. Nhiều bài toán đòi hỏi phải biến đổi và chứng minh khá phức tạp.

2.2. Chứng Minh sự tồn tại của Giới Hạn Dãy Số Truy Hồi

Việc chứng minh sự tồn tại của giới hạn của một dãy số truy hồi là một vấn đề thường gặp trong toán học sơ cấp. Các phương pháp thông thường có thể không hiệu quả nếu dãy số có công thức truy hồi phức tạp. Định lý điểm bất động Banach và các biến thể của nó cung cấp công cụ mạnh mẽ để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của giới hạn, đồng thời giúp xác định giá trị của giới hạn. Việc áp dụng đúng định lý cũng đòi hỏi cần xem xét sự hội tụ của dãy.

III. Định Lý Banach và Ứng Dụng Giải Bài Toán Sơ Cấp

Định lý Banach (còn gọi là nguyên lý ánh xạ co Banach) là một trong những kết quả cơ bản nhất của lý thuyết điểm bất động. Định lý này khẳng định rằng một ánh xạ co trên một không gian metric đầy đủ có duy nhất một điểm bất động. Định lý Banach có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải tích, đại số, và các lĩnh vực khác của toán học. Trong bài toán sơ cấp, định lý Banach được sử dụng để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm các phương trình và hệ phương trình, cũng như để tìm giới hạn của các dãy số. “Nguyên lý ánh xạ co được phát biểu cụ thể năm 1922 trong luận án của Banach đã trở thành kết quả quan trọng với nhiều ứng dụng”

3.1. Phát Biểu và Chứng Minh Định Lý Ánh Xạ Co Banach

Phát biểu: Cho D ⊂ R là một tập đóng và f : D → D là một ánh xạ co với hằng số co k. Khi đó, f có điểm bất động duy nhất trong D, tức là tồn tại duy nhất x ∈ D sao cho f (x) = x. Hơn nữa, mọi dãy số {xn} xác định bởi xn+1 = f(xn), ∀n ≥ 0 đều hội tụ về x. Chứng minh: Lấy x0 bất kỳ thuộc D và xét dãy số {xn} xác định bởi xn+1 = f(xn), ∀n ≥ 0. Khi đó với mọi n ta có |xn+1 − xn| = |f(xn) − f(xn−1)| ≤ k|xn − xn−1|. Do đó, dãy số là dãy Cauchy và hội tụ đến điểm bất động duy nhất.

3.2. Điều kiện để Ánh Xạ là Ánh Xạ Co

Để áp dụng định lý Banach, cần xác định hàm số có phải là ánh xạ co hay không. Một hàm số f được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số thực k ∈ [0, 1) sao cho |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y|, ∀x, y ∈ D. Để kiểm tra điều kiện này, có thể sử dụng đạo hàm của hàm số. Nếu |f'(x)| ≤ k < 1 với mọi x thuộc tập xác định, thì f là ánh xạ co. Ví dụ, hàm số f(x) = kx với k thuộc [0, 1) là ánh xạ co.

IV. Ứng Dụng Định Lý Điểm Bất Động vào Dãy Số Truy Hồi

Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết điểm bất động là trong việc tìm giới hạn của các dãy số truy hồi. Nếu có thể biểu diễn công thức truy hồi dưới dạng xn+1 = f(xn) và chứng minh rằng f là một ánh xạ co, thì định lý Banach đảm bảo sự tồn tại của giới hạn và cung cấp phương pháp tìm giới hạn đó. Các dãy số truy hồi dạng xn+1 = f (xn ) là một trường hợp thường gặp và dễ áp dụng định lý này.

4.1. Cách xác định Giới Hạn của Dãy Số dạng xn 1 f xn

Để xác định giới hạn của dãy số dạng xn+1 = f(xn), cần thực hiện các bước sau: 1) Chứng minh rằng dãy số bị chặn và đơn điệu. 2) Chứng minh rằng f là một ánh xạ co. 3) Tìm điểm bất động của f, tức là giải phương trình f(x) = x. Nghiệm của phương trình này chính là giới hạn của dãy số. Tuy nhiên, nếu không chứng minh được f là ánh xạ co, định lý Banach không thể áp dụng.

4.2. Ví dụ minh họa về Ứng dụng cho Dãy Số

Xét dãy số xác định bởi x1 = 1 và xn+1 = (xn + 2)/3. Ta có thể chứng minh rằng dãy số này hội tụ bằng cách sử dụng định lý Banach. Hàm số f(x) = (x + 2)/3 là một ánh xạ co với hằng số co k = 1/3. Điểm bất động của f là x = 1. Do đó, dãy số hội tụ về 1.

V. Ứng Dụng Giải Hệ Phương Trình bằng Điểm Bất Động

Lý thuyết điểm bất động cũng có thể được sử dụng để giải một số loại hệ phương trình, đặc biệt là các hệ phương trình có cấu trúc đối xứng. Bằng cách biến đổi hệ phương trình thành một ánh xạ, và chứng minh ánh xạ đó có điểm bất động, có thể suy ra nghiệm của hệ phương trình. Kỹ thuật này đặc biệt hữu ích cho các hệ phương trình không thể giải bằng các phương pháp thông thường.

5.1. Biến đổi Hệ Phương Trình thành bài toán tìm Điểm Bất Động

Để áp dụng lý thuyết điểm bất động cho hệ phương trình, cần biến đổi hệ phương trình thành dạng ánh xạ. Ví dụ, xét hệ phương trình x = f(x, y), y = g(x, y). Ta có thể định nghĩa ánh xạ F(x, y) = (f(x, y), g(x, y)). Nếu F là một ánh xạ co, thì F có điểm bất động (x*, y*), và (x*, y*) chính là nghiệm của hệ phương trình. Quan trọng nhất là phải chứng minh F là một ánh xạ co.

5.2. Ví dụ về Ứng Dụng giải Hệ Phương Trình

Xét hệ phương trình x = (x + y + 1)/3, y = (x + y + 2)/4. Ta có thể biến đổi hệ phương trình này thành ánh xạ F(x, y) = ((x + y + 1)/3, (x + y + 2)/4). Chứng minh rằng F là ánh xạ co. Điểm bất động của F là nghiệm của hệ phương trình. Do đó có thể giải bằng phương pháp điểm bất động.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Lý Thuyết Điểm Bất Động

Lý thuyết điểm bất động là một công cụ mạnh mẽ để giải các bài toán sơ cấp về dãy số và hệ phương trình. Mặc dù có những hạn chế nhất định, nhưng lý thuyết này cung cấp một hướng tiếp cận mới và hiệu quả cho nhiều bài toán khó. Nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các định lý điểm bất động cho các không gian tổng quát hơn, cũng như phát triển các thuật toán hiệu quả để tìm điểm bất động. Việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học vẫn còn nhiều tiềm năng.

6.1. Tiềm năng và hạn chế của Lý Thuyết Điểm Bất Động

Lý thuyết điểm bất động có tiềm năng lớn trong việc giải các bài toán phức tạp. Tuy nhiên, một hạn chế lớn là việc chứng minh một hàm số là ánh xạ co có thể khó khăn. Ngoài ra, định lý Banach chỉ đảm bảo sự tồn tại duy nhất của điểm bất động trong không gian metric đầy đủ, do đó cần kiểm tra điều kiện này trước khi áp dụng định lý.

6.2. Hướng nghiên cứu và phát triển tiếp theo của Điểm Bất Động

Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các định lý điểm bất động cho các lớp hàm số rộng hơn, cũng như nghiên cứu các phương pháp hiệu quả để tìm điểm bất động trong các không gian phức tạp. Ngoài ra, việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật cũng là một hướng nghiên cứu đầy tiềm năng.

Tổng quan nghiên cứu

Lý thuyết điểm bất động là một lĩnh vực cổ điển trong toán học với nhiều ứng dụng quan trọng trong các ngành khoa học khác nhau. Theo ước tính, các định lý điểm bất động đã được áp dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán về sự hội tụ của dãy số, giải hệ phương trình, và các bài toán liên quan đến hàm số. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu các định lý điểm bất động cơ bản như định lý ánh xạ co Banach, định lý Presic và các mở rộng của chúng, đồng thời áp dụng các kết quả này để giải một số bài toán sơ cấp về giới hạn dãy số truy hồi và hệ phương trình đối xứng.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các ánh xạ trên tập số thực, các dãy số truy hồi dạng đơn và đa biến, cũng như các hệ phương trình đối xứng. Thời gian nghiên cứu chủ yếu là trong giai đoạn từ năm 2019 đến 2021, với các ví dụ minh họa lấy từ thực tế và các bài toán toán học cơ bản. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các phương pháp giải bài toán hiệu quả, giúp mở rộng ứng dụng của lý thuyết điểm bất động trong toán học ứng dụng và các lĩnh vực liên quan.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai lý thuyết chính:

1. Định lý ánh xạ co Banach: Đây là định lý cơ bản trong lý thuyết điểm bất động, phát biểu rằng một ánh xạ co trên tập đóng của số thực có điểm bất động duy nhất và dãy lặp được xác định bởi ánh xạ đó hội tụ về điểm bất động này. Hằng số co ( k \in [0,1) ) là yếu tố quyết định tính co của ánh xạ.

2. Định lý điểm bất động Presic và các mở rộng: Định lý này mở rộng định lý Banach cho các ánh xạ nhiều biến, với điều kiện co tổng quát hơn, cho phép xét các dãy truy hồi đa biến và cặp dãy truy hồi. Các hệ số (\alpha_i) thỏa mãn (\sum \alpha_i < 1) đảm bảo sự hội tụ của dãy.

Các khái niệm chính bao gồm: điểm bất động, ánh xạ co, dãy số truy hồi, dãy Cauchy, giới hạn dưới và giới hạn trên của dãy số, hàm số liên tục và đạo hàm, cũng như các tính chất của dãy số đơn điệu và bị chặn.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chính là các tài liệu toán học chuyên ngành, các bài báo khoa học về lý thuyết điểm bất động và các ứng dụng của nó. Phương pháp nghiên cứu bao gồm:

• Phân tích tổng hợp tài liệu: Hệ thống hóa các định lý, khái niệm và kết quả liên quan đến điểm bất động và dãy số truy hồi.
• Phương pháp chứng minh toán học: Áp dụng các định lý đã biết để chứng minh các tính chất của dãy số và hệ phương trình.
• Phân tích ví dụ minh họa: Sử dụng các bài toán cụ thể về dãy số truy hồi đơn biến, đa biến và cặp dãy truy hồi để minh họa tính ứng dụng của các định lý.
• Timeline nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu diễn ra trong khoảng thời gian từ năm 2019 đến 2021, với các bước từ tổng hợp lý thuyết, chứng minh định lý, đến áp dụng giải bài toán.

Cỡ mẫu nghiên cứu là các dãy số và hệ phương trình được xây dựng dựa trên các ánh xạ co và các điều kiện của định lý Presic. Phương pháp chọn mẫu dựa trên tính chất toán học và khả năng áp dụng các định lý điểm bất động. Phân tích được thực hiện thông qua chứng minh toán học và đánh giá sự hội tụ của dãy số.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động cho ánh xạ co: Định lý Banach được chứng minh trên tập số thực cho thấy ánh xạ co với hằng số co ( k \in [0,1) ) có điểm bất động duy nhất. Mọi dãy lặp xác định bởi ánh xạ này hội tụ về điểm bất động đó. Ví dụ, dãy truy hồi ( x_{n+1} = f(x_n) ) với ( f ) là ánh xạ co có giới hạn duy nhất là nghiệm của ( f(x) = x ).

2. Mở rộng cho ánh xạ nhiều biến: Định lý Presic cho ánh xạ ( f: E^k \to E ) với điều kiện co tổng quát (\sum \alpha_i < 1) đảm bảo sự tồn tại điểm bất động duy nhất và sự hội tụ của các dãy truy hồi đa biến. Ví dụ, cặp dãy truy hồi ( x_{n+1} = f(x_n, y_n) ), ( y_{n+1} = f(y_n, x_n) ) hội tụ về cùng một điểm bất động.

3. Ứng dụng vào bài toán giới hạn dãy số truy hồi: Các dãy truy hồi dạng ( x_{n+1} = f(x_n) ) hoặc ( x_{n+k} = f(x_n, \ldots, x_{n+k-1}) ) với ( f ) thỏa mãn điều kiện co có giới hạn hữu hạn. Ví dụ, dãy ( x_{n+1} = \frac{x_n^2 - 1}{2} ) hội tụ về ( 1 - \sqrt{3} ) với hằng số co ( q = \frac{7}{8} ).

4. Giải hệ phương trình đối xứng: Áp dụng định lý điểm bất động cho ánh xạ hai biến giúp giải các hệ phương trình đối xứng dạng ( x = f(x,y) ), ( y = f(y,x) ), đảm bảo nghiệm duy nhất và sự hội tụ của cặp dãy truy hồi.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của sự hội tụ và tồn tại điểm bất động là do tính chất co của ánh xạ, được kiểm soát bởi hằng số co hoặc tổng các hệ số (\alpha_i) nhỏ hơn 1. Kết quả phù hợp với các nghiên cứu trước đây trong không gian metric tổng quát, nhưng được trình bày và chứng minh cụ thể trên tập số thực, giúp dễ dàng áp dụng vào các bài toán sơ cấp.

So sánh với các nghiên cứu khác, luận văn đã mở rộng phạm vi ứng dụng của định lý điểm bất động sang các dãy truy hồi đa biến và cặp dãy truy hồi, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa chi tiết với số liệu cụ thể. Ý nghĩa của kết quả là cung cấp công cụ toán học mạnh mẽ để giải quyết các bài toán về giới hạn dãy số và hệ phương trình, có thể được trình bày qua biểu đồ hội tụ của dãy số hoặc bảng so sánh giá trị dãy theo từng bước lặp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các thuật toán lặp dựa trên định lý điểm bất động: Khuyến nghị xây dựng các thuật toán số học sử dụng ánh xạ co để giải các bài toán giới hạn dãy số và hệ phương trình, nhằm nâng cao hiệu quả tính toán và độ chính xác. Thời gian thực hiện trong 1-2 năm, chủ thể là các nhà toán học ứng dụng và kỹ sư phần mềm.

2. Mở rộng nghiên cứu sang không gian metric phức tạp hơn: Đề xuất nghiên cứu các định lý điểm bất động trong không gian metric có cấu trúc phức tạp hoặc không gian Banach để ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Thời gian 3-5 năm, chủ thể là các nhà nghiên cứu toán học thuần túy và ứng dụng.

3. Ứng dụng trong mô hình hóa và phân tích dữ liệu: Khuyến nghị áp dụng lý thuyết điểm bất động vào các mô hình dự báo, phân tích chuỗi thời gian và học máy, nhằm cải thiện độ hội tụ và ổn định của mô hình. Thời gian 2-3 năm, chủ thể là các nhà khoa học dữ liệu và kỹ sư AI.

4. Tổ chức các khóa đào tạo và hội thảo chuyên sâu: Đề xuất tổ chức các khóa học và hội thảo về lý thuyết điểm bất động và ứng dụng trong toán học và các ngành liên quan để nâng cao nhận thức và kỹ năng cho sinh viên và nhà nghiên cứu. Thời gian tổ chức hàng năm, chủ thể là các trường đại học và viện nghiên cứu.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Toán học: Giúp hiểu sâu về lý thuyết điểm bất động, phương pháp chứng minh và ứng dụng trong giải bài toán giới hạn dãy số và hệ phương trình.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu toán học ứng dụng: Cung cấp cơ sở lý thuyết và ví dụ minh họa để phát triển các nghiên cứu mới hoặc giảng dạy chuyên đề về điểm bất động.

3. Kỹ sư phần mềm và nhà phát triển thuật toán: Áp dụng các kết quả vào thiết kế thuật toán lặp, tối ưu hóa và mô phỏng trong các lĩnh vực kỹ thuật và công nghệ thông tin.

4. Chuyên gia trong lĩnh vực khoa học dữ liệu và mô hình hóa toán học: Sử dụng lý thuyết điểm bất động để cải thiện độ hội tụ và ổn định của các mô hình dự báo và phân tích dữ liệu.

Câu hỏi thường gặp

1. Điểm bất động là gì và tại sao nó quan trọng?
   Điểm bất động của một ánh xạ là điểm mà tại đó giá trị của hàm không đổi khi áp dụng ánh xạ. Nó quan trọng vì giúp xác định nghiệm ổn định của các phương trình và dãy truy hồi, từ đó giải quyết nhiều bài toán toán học và ứng dụng.

2. Làm thế nào để biết một ánh xạ là ánh xạ co?
   Một ánh xạ ( f ) là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số ( k \in [0,1) ) sao cho với mọi ( x, y ), ( |f(x) - f(y)| \leq k|x - y| ). Điều này đảm bảo ánh xạ làm giảm khoảng cách giữa các điểm, giúp dãy lặp hội tụ.

3. Tại sao điều kiện (\sum \alpha_i < 1) lại quan trọng trong định lý Presic?
   Điều kiện này đảm bảo tổng các hệ số co nhỏ hơn 1, từ đó ánh xạ đa biến vẫn giữ tính co, giúp đảm bảo sự hội tụ của các dãy truy hồi đa biến và sự tồn tại điểm bất động duy nhất.

4. Có thể áp dụng lý thuyết điểm bất động cho các dãy số không truy hồi không?
   Lý thuyết chủ yếu áp dụng cho các dãy truy hồi hoặc các dãy được xác định qua ánh xạ lặp. Với dãy không truy hồi, cần có cấu trúc hoặc điều kiện khác để áp dụng lý thuyết điểm bất động.

5. Làm thế nào để xác định giới hạn của dãy truy hồi?
   Giới hạn của dãy truy hồi thường là nghiệm của phương trình ( f(x) = x ), trong đó ( f ) là ánh xạ xác định dãy. Sử dụng định lý ánh xạ co Banach hoặc Presic giúp chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm này, từ đó xác định giới hạn.

Kết luận

• Luận văn đã trình bày và chứng minh các định lý điểm bất động cơ bản trên tập số thực, bao gồm định lý ánh xạ co Banach và định lý Presic cùng các mở rộng.
• Các định lý này được áp dụng thành công để giải quyết các bài toán về giới hạn dãy số truy hồi đơn biến, đa biến và cặp dãy truy hồi.
• Nghiên cứu cung cấp các phương pháp chứng minh sự hội tụ của dãy số và tồn tại nghiệm duy nhất của hệ phương trình đối xứng.
• Kết quả có ý nghĩa thực tiễn trong việc phát triển thuật toán lặp và mô hình toán học trong nhiều lĩnh vực.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu mở rộng và ứng dụng trong toán học ứng dụng, khoa học dữ liệu và kỹ thuật.

Tiếp theo, cần triển khai các ứng dụng thực tế của lý thuyết điểm bất động trong các lĩnh vực kỹ thuật và khoa học dữ liệu, đồng thời phát triển các thuật toán tối ưu dựa trên các định lý đã nghiên cứu. Độc giả và nhà nghiên cứu được khuyến khích áp dụng các kết quả này vào công việc chuyên môn và nghiên cứu tiếp theo.