Tổng quan luận án

Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng loại elliptic là một hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích hiện đại, bắt nguồn từ việc mô tả trạng thái dừng của các quá trình tiến hóa trong vật lý, hóa học, cơ học, sinh học và các bài toán trong hình học vi phân. Trong những năm qua, lý thuyết định tính và sự tồn tại nghiệm của phương trình và hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính đã đạt được nhiều kết quả trong trường hợp toán tử không suy biến hoặc suy biến yếu. Tuy nhiên, đối với các toán tử elliptic suy biến mạnh, các kết quả nghiên cứu còn rất hạn chế. Tính suy biến mạnh làm xuất hiện nhiều rào cản giải tích: sự thiếu hụt các định lý nhúng Sobolev chuẩn mực, thiếu các kết quả về tính chính quy nghiệm của bài toán tuyến tính tương ứng, và sự vắng mặt của các nguyên lý cực trị dạng cổ điển.

Khoảng trống nghiên cứu mà luận án xác định bao gồm:

  1. Đối với phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính chứa toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$, phần lớn các công trình trước đây chỉ khảo sát số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tiêu chuẩn và điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz (AR). Vấn đề nghiên cứu sự tồn tại và tính đa nghiệm khi loại bỏ điều kiện (AR) vẫn là một vấn đề mở.
  2. Đối với hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính dạng Hamilton, các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào toán tử Laplace hoặc toán tử Grushin; việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu, tính đa nghiệm và sự không tồn tại nghiệm cổ điển đối với toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$ gắn với đường hyperbol tới hạn chưa được giải quyết.
  3. Đối với các định lý kiểu Liouville khẳng định sự không tồn tại nghiệm trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$, các kết quả trước đây chủ yếu dừng lại ở toán tử Laplace hoặc một số toán tử suy biến yếu; các đánh giá cho bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức chứa toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$ vẫn chưa được thiết lập.

Luận án xác định các mục tiêu nghiên cứu cụ thể như sau:

  1. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình elliptic suy biến mạnh;
  2. Nghiên cứu tính đa nghiệm;
  3. Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm cổ điển không âm trong miền kiểu hình sao;
  4. Nghiên cứu các định lý kiểu Liouville về sự không tồn tại nghiệm cổ điển dương trong toàn không gian.

Các nội dung và nhiệm vụ nghiên cứu được phân định thành ba phần:

  • Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại và tính đa nghiệm trong trường hợp dưới tới hạn của phương trình elliptic nửa tuyến tính chứa toán tử $\Delta_\lambda$ với số hạng phi tuyến không thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz.
  • Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại, không tồn tại và tính đa nghiệm trong trường hợp số hạng phi tuyến dưới tới hạn của hệ Hamilton elliptic nửa tuyến tính chứa toán tử $\Delta_\lambda$.
  • Nội dung 3: Nghiên cứu các định lý kiểu Liouville cho hệ bất đẳng thức elliptic nửa tuyến tính chứa toán tử $\Delta_\lambda$.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là lớp phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức elliptic nửa tuyến tính có phần chính là toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$-Laplace. Phạm vi nghiên cứu về không gian bao gồm các miền bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$ hoặc $N \ge 3$) với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, các miền hình sao đối với nhóm co dãn, và toàn bộ không gian thực $\mathbb{R}^N$. Luận án do nghiên cứu sinh Bùi Kim My thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hoàn thành vào tháng 02 năm 2019.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lịch sử nghiên cứu phương trình và hệ phương trình elliptic được tác giả điểm lại qua ba hướng lý thuyết chính:

Thứ nhất, đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính vô hướng $-\Delta u = f(x, u)$, các phương pháp truyền thống bao gồm phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới (Deuel và Hess [25]), phương pháp bậc tôpô (Krasnoselskii [42]), và phương pháp biến phân (Ambrosetti và Rabinowitz [4], Benci [5]). Trong phương pháp biến phân, điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz (AR) đưa ra năm 1973 đóng vai trò bảo đảm cấu trúc hình học qua núi và tính bị chặn của các dãy Palais-Smale. Nhằm mở rộng cho các lớp hàm không thỏa mãn (AR), nhiều tác giả đã đề xuất các điều kiện thay thế cho toán tử Laplace: Schechter và Zou [62] sử dụng tính lồi của hàm thế vị; Miyagaki và Souto [50] dựa trên tính đơn điệu của tỉ số $f(x, s)/s$; Lam và Lu [40, 41], Liu [43], Liu và Wang [44], Binlin và cộng sự [12] đưa ra các điều kiện suy giảm tiệm cận tại vô hạn. Đối với toán tử suy biến, lớp toán tử Grushin do Grushin đưa ra năm 1970 [34] đã được mở rộng nghiên cứu trong [68], và lớp toán tử suy biến mạnh $P_{\alpha,\beta}$ được Tri nghiên cứu trong [67]. Năm 2012, Kogoj và Lanconelli [39] đề xuất lớp toán tử $\Delta_\lambda$-Laplace và nghiên cứu bài toán biên với thế vị hằng số dưới điều kiện (AR). Tiếp đó, Loi và cộng sự [45, 46], Chen và cộng sự [18] (năm 2018) khảo sát tính đa nghiệm với thế vị thay đổi dấu. Tuy vậy, bài toán với số hạng phi tuyến không thỏa mãn điều kiện (AR) cho toán tử $\Delta_\lambda$ vẫn chưa được giải quyết trước luận án này.

Thứ hai, đối với hệ elliptic nửa tuyến tính dạng Hamilton $-\Delta u = |v|^{p-1}v$, $-\Delta v = |u|^{q-1}u$, các nghiên cứu của Clement, de Figueiredo và Mitidieri [22], Peletier và van der Vorst [54], Felmer và de Figueiredo [28], Hulshof và van der Vorst [36] đã chỉ ra vai trò của đường hyperbol tới hạn: $$\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} = \frac{N-2}{N}$$ Khi cặp số mũ $(p, q)$ nằm trên hoặc phía trên hyperbol tới hạn, nghiệm cổ điển dương không tồn tại trong miền hình sao nhờ đồng nhất thức Pohozaev (Mitidieri [47], Pucci và Serrin [57]). Khi $(p, q)$ nằm dưới hyperbol tới hạn, Bartsch và de Figueiredo [9] thiết lập Định lý Fountain để chứng minh sự tồn tại dãy vô hạn nghiệm yếu. Với toán tử Grushin, D'Ambrosio [19, 20, 21] đã mở rộng một số đồng nhất thức Pohozaev. Dù vậy, hệ Hamilton chứa toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$ vẫn chưa có công trình khảo sát đầy đủ cả về tính không tồn tại và tính đa nghiệm.

Thứ ba, về các định lý kiểu Liouville, định lý cổ điển của Liouville (1844) và Cauchy [14] khẳng định hàm điều hòa bị chặn trên toàn không gian là hằng số. Gidas và Spruck [31, 32], Chen và Li [17] đã mở rộng cho phương trình $-\Delta u = u^p$ trên $\mathbb{R}^N$, chỉ ra tính triệt tiêu nghiệm dương khi $1 < p < (N+2)/(N-2)$. Bất đẳng thức $-\Delta u \ge u^p$ được Franchi, Lanconelli và Serrin [30] chứng minh không có nghiệm không tầm thường khi $1 < p \le N/(N-2)$. Các mở rộng trên nón được Berestycki, Capuzzo-Dolcetta và Nirenberg [11] thiết lập; nghiệm $p$-điều hòa được Serrin và Zou [64] khảo sát. Với toán tử Grushin, định lý Liouville cho bất đẳng thức được Cutrì và Leoni [23] nghiên cứu; D'Ambrosio và Lucente [6], Monti và Morbidelli [51], Monticelli [52], Yu [73] khảo sát bài toán tới hạn và phương pháp mặt phẳng di động. Với hệ bất đẳng thức $-\Delta u \ge v^p$, $-\Delta v \ge u^q$, Mitidieri và Pohozaev [49], Serrin và Zou [63], Souplet [65] đã thiết lập các kết quả gắn với giả thuyết Lane-Emden. Hướng nghiên cứu nghiệm ổn định cũng được Dupaigne [24], Cowan và cộng sự [7, 60, 69] phát triển. Dẫu vậy, các định lý kiểu Liouville cho bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức chứa toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$ vẫn là vấn đề mở.

Vị trí của luận án được xác lập bằng việc lấp đầy các khoảng trống trên: mở rộng phương pháp biến phân loại bỏ điều kiện (AR) cho phương trình chứa $\Delta_\lambda$; thiết lập đồng nhất thức Pohozaev và định lý tồn tại vô hạn nghiệm cho hệ Hamilton suy biến theo số chiều thuần nhất $Q$; chứng minh định lý Liouville cho hệ bất đẳng thức suy biến trên $\mathbb{R}^N$.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng khung lý thuyết giải tích hàm phi tuyến kết hợp giải tích hình học trên không gian thuần nhất.

Khái niệm và công cụ lý thuyết

Toán tử vi phân trung tâm là toán tử $\Delta_\lambda$-Laplace dạng phân kỳ: $$\Delta_\lambda u := \sum_{i=1}^N \partial_{x_i} \left(\lambda_i^2(x) \partial_{x_i} u\right)$$ Các hàm hệ số $\lambda_i : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ ($i = 1, \dots, N$) thỏa mãn bốn giả thiết cấu trúc:

  1. $\lambda_i$ liên tục trên $\mathbb{R}^N$, dương ngặt và thuộc lớp $C^1$ bên ngoài các siêu phẳng tọa độ ${x \in \mathbb{R}^N : \prod_{j=1}^N x_j = 0}$.
  2. Tính đối xứng: $\lambda_i(x) = \lambda_i(x^)$ với $x^ = (x_1, \dots, -x_k, \dots, x_N)$.
  3. Tồn tại hằng số $\rho \ge 0$ sao cho $0 \le x_k \partial_{x_k} \lambda_i(x) \le \rho \lambda_i(x)$ với mọi $k \in {1, \dots, N}$ và $x \in \mathbb{R}_+^N$.
  4. Tồn tại nhóm co dãn ${\delta_t}_{t>0}$ với $\delta_t(x) = (t^{\sigma_1} x_1, \dots, t^{\sigma_N} x_N)$, trong đó $1 \le \sigma_1 \le \dots \le \sigma_N$, sao cho $\lambda_i$ là hàm thuần nhất bậc $\sigma_i - 1$ đối với nhóm ${\delta_t}$.

Số chiều thuần nhất của không gian được xác định bởi $Q := \sum_{i=1}^N \sigma_i$. Toán tử $\Delta_\lambda$ thuần nhất bậc 2 đối với nhóm co dãn ${\delta_t}$. Khi các hàm $\lambda_i$ trơn, theo tiêu chuẩn Hörmander [35], $\Delta_\lambda$ là toán tử hypoelliptic.

Hệ thống không gian hàm Sobolev có trọng bao gồm:

  • Không gian $\mathring{W}^{1,p}\lambda(\Omega)$ là bao đóng của $C_0^\infty(\Omega)$ theo chuẩn: $$|u|{\mathring{W}^{1,p}\lambda} = \left(\int\Omega |\nabla_\lambda u|^p dx\right)^{1/p}, \quad \nabla_\lambda u = (\lambda_1 \partial_{x_1} u, \dots, \lambda_N \partial_{x_N} u)$$ Khi $p=2$, $\mathring{W}^{1,2}_\lambda(\Omega)$ là không gian Hilbert.
  • Không gian bậc hai $W^{2,p}\lambda(\Omega)$ gồm các hàm $u \in L^p(\Omega)$ có đạo hàm suy biến cấp một và cấp hai thuộc $L^p(\Omega)$: $$|u|{W^{2,p}\lambda} = \left(\int\Omega \left[|u|^p + |\nabla_\lambda u|^p + \sum_{i,j=1}^N \left|\lambda_i \partial_{x_i} (\lambda_j \partial_{x_j} u)\right|^p\right] dx\right)^{1/p}$$

Các kết quả nhúng cơ sở:

  • Phép nhúng $\mathring{W}^{1,2}\lambda(\Omega) \hookrightarrow L^{2^*\lambda}(\Omega)$ là liên tục với số mũ tới hạn $2^_\lambda = \frac{2Q}{Q-2}$ ($Q > 2$), và là compact vào $L^\gamma(\Omega)$ với mọi $1 \le \gamma < 2^_\lambda$.
  • Phép nhúng $W^{2,2}_\lambda(\Omega) \hookrightarrow L^\gamma(\Omega)$ là liên tục với mọi $1 \le \gamma \le \frac{2Q}{Q-4}$ ($Q > 4$).
  • Toán tử nghịch đảo $T = (-\Delta_\lambda)^{-1} : L^2(\Omega) \to L^2(\Omega)$ là toán tử tự liên hợp, xác định dương và compact, xác lập sự tồn tại của dãy vô hạn các giá trị riêng $0 < \mu_1 \le \mu_2 \le \dots \le \mu_j \to +\infty$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án hoàn toàn sử dụng phương pháp giải tích thuần túy, không dùng phương pháp định lượng thống kê:

  • Phương pháp biến phân: Tìm nghiệm yếu thông qua các điểm tới hạn của phiếm hàm năng lượng Euler-Lagrange. Luận án áp dụng Định lý qua núi (Mountain Pass Theorem) kết hợp điều kiện compact Cerami $(C)_c$, Định lý Bartsch (1993) [58] cho phiếm hàm chẵn, và Định lý Fountain của Bartsch và de Figueiredo (1995) [9] trên không gian tích trực tiếp vô hạn chiều.
  • Phương pháp đồng nhất thức tích phân kiểu Pohozaev: Thiết lập các hệ thức tích phân mở rộng phù hợp với ma trận hệ số suy biến và trường vectơ co dãn, nhằm chứng minh sự không tồn tại nghiệm trong miền hình sao.
  • Phương pháp hàm thử (test function method): Lựa chọn các hàm cắt xén trơn (cut-off functions) tương thích với cấu trúc co dãn $\delta_t$ và nhóm số chiều thuần nhất $Q$, kết hợp các bất đẳng thức giải tích (Hölder, Young) để thiết lập ước lượng tiên nghiệm và chứng minh định lý Liouville.
Khái niệm / Không gian Ký hiệu / Định nghĩa Vai trò trong luận án
Toán tử $\Delta_\lambda$-Laplace $\sum_{i=1}^N \partial_{x_i}(\lambda_i^2 \partial_{x_i})$ Toán tử vi phân elliptic suy biến chính
Số chiều thuần nhất $Q = \sum_{i=1}^N \sigma_i$ Xác định số mũ tới hạn và cấu trúc co dãn
Số mũ tới hạn Sobolev $2^*_\lambda = 2Q / (Q - 2)$ Ranh giới nhúng liên tục và compact
Không gian năng lượng cấp 1 $\mathring{W}^{1,2}_\lambda(\Omega)$ Không gian tìm nghiệm yếu của phương trình (Chương 2)
Không gian năng lượng cấp 2 $W^{2,2}_\lambda(\Omega)$ Thiết lập nhúng liên tục vào $L^{2Q/(Q-4)}$ (Chương 1)
Điều kiện compact Cerami Điều kiện $(C)_c$ Thay thế điều kiện Palais-Smale khi thiếu (AR)

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các cơ sở giải tích phục vụ cho ba chương nghiên cứu chuyên sâu:

  1. Toán tử $\Delta_\lambda$-Laplace: Trình bày chi tiết bốn giả thiết hình học của các hàm $\lambda_i(x)$. Đưa ra các trường hợp riêng cụ thể:
    • Toán tử Laplace cổ điển khi $\lambda_i \equiv 1$ ($Q = N$);
    • Toán tử Grushin $G_\alpha = \Delta_x + |x|^{2\alpha}\Delta_y$ với nhóm co dãn $\delta_t(x, y) = (tx, t^{1+\alpha}y)$ và số chiều thuần nhất $Q = N_1 + (1+\alpha)N_2$;
    • Toán tử suy biến mạnh $P_{\alpha,\beta,\gamma} = \Delta_x + |x|^{2\alpha}\Delta_y + |x|^{2\beta}|y|^{2\gamma}\Delta_z$ trên $\mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} \times \mathbb{R}^{N_3}$ với số chiều thuần nhất $Q = N_1 + (1+\alpha)N_2 + [1+\beta+(1+\alpha)\gamma]N_3$;
    • Toán tử suy biến đa lớp với chuỗi đa chỉ số $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1})$.
  2. Các không gian hàm và phép nhúng: Định nghĩa không gian $\mathring{W}^{1,p}\lambda(\Omega)$ và $W^{2,p}\lambda(\Omega)$. Chứng minh Mệnh đề 1.2: nếu $\lambda_i$ thỏa mãn các điều kiện hình học chuẩn thì phép nhúng $W^{2,2}_\lambda(\Omega) \hookrightarrow L^\gamma(\Omega)$ là liên tục với mọi $1 \le \gamma \le \frac{2Q}{Q-4}$.
  3. Tính giải được của bài toán biên tuyến tính: Nghiên cứu bài toán $-\Delta_\lambda u = f(x)$ trong $\Omega$, $u = 0$ trên $\partial\Omega$. Chứng minh $-\Delta_\lambda$ là một đẳng cấu từ $\mathring{W}^{1,2}\lambda(\Omega)$ lên không gian đối ngẫu $(\mathring{W}^{1,2}\lambda(\Omega))^*$. Toán tử nghịch đảo $T = (-\Delta_\lambda)^{-1}$ hạn chế trên $L^2(\Omega)$ là toán tử tự liên hợp, xác định dương và compact. Suy ra tồn tại cơ sở trực chuẩn các hàm riêng ${\phi_j}_{j=1}^\infty$ trong $L^2(\Omega)$ ứng với dãy giá trị riêng $0 < \mu_1 \le \mu_2 \le \dots \to +\infty$.
  4. Lý thuyết điểm tới hạn: Giới thiệu khái niệm đạo hàm Gateaux, đạo hàm Fréchet; điều kiện compact Palais-Smale $(PS)$ và điều kiện Cerami $(C)_c$. Trình bày Định lý qua núi dưới điều kiện Cerami, Định lý Bartsch (Định lý 1.2) cho phiếm hàm chẵn, và Định lý Fountain của Bartsch và de Figueiredo (Định lý 1.3).
  5. Phân tích các điều kiện phi tuyến: So sánh điều kiện tăng trưởng đa thức dưới tới hạn (SCP), điều kiện suy yếu (SCPI), điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz (AR) và các biến thể loại bỏ (AR).

Chương 2: Sự tồn tại nghiệm của phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính

Chương 2 giải quyết trọn vẹn bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính: $$\begin{cases} -\Delta_\lambda u = f(x, u), & x \in \Omega \ u = 0, & x \in \partial\Omega \end{cases}$$ trong miền bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$), với số hạng phi tuyến $f(x, u)$ có tăng trưởng dưới tới hạn và không thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz.

Các giả thiết đặt lên hàm $f(x, u)$ bao gồm:

  • (f1) $f : \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục và $f(x, 0) = 0$ với mọi $x \in \Omega$.
  • (f2) $\lim_{|u|\to +\infty} \frac{F(x, u)}{u^2} = +\infty$ đều theo $x \in \Omega$, với $F(x, u) = \int_0^u f(x, s)ds$.
  • (f3) $\limsup_{|u|\to 0} \frac{2F(x, u)}{|u|^2} < \mu_1$ đều theo $x \in \Omega$, với $\mu_1$ là giá trị riêng thứ nhất của $-\Delta_\lambda$.
  • (f4) Tồn tại $C_* \ge 0$ và $\theta \ge 1$ sao cho: $$H(x, t) \le \theta H(x, s) + C_*, \quad \forall 0 < |t| < |s|, \forall x \in \Omega$$ trong đó $H(x, u) := \frac{1}{2} u f(x, u) - F(x, u)$.
  • (SCPI) Tăng trưởng đa thức dưới tới hạn suy yếu: $$\lim_{|s|\to +\infty} \frac{f(x, s)}{|s|^{2^_\lambda - 1}} = 0 \quad \text{đều theo } x \in \Omega, \quad 2^_\lambda = \frac{2Q}{Q-2}$$

Tác giả chứng minh rằng hàm $f(x, s) = s \log(1 + |s|)$ thỏa mãn toàn bộ các điều kiện (f1)-(f4) và (SCPI) nhưng không thỏa mãn điều kiện (AR). Điều kiện (f4) tổng quát hơn điều kiện đơn điệu của Miyagaki - Souto [50] và điều kiện lồi của Schechter - Zou [62].

Phiếm hàm năng lượng Euler-Lagrange liên kết với bài toán: $$J_\lambda(u) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla_\lambda u|^2 dx - \int_\Omega F(x, u)dx, \quad u \in \mathring{W}^{1,2}_\lambda(\Omega)$$

Hai kết quả chính của chương được xác lập:

  • Định lý 2.1 (Sự tồn tại nghiệm không tầm thường): Giả sử $f$ thỏa mãn (f1)-(f4) và (SCPI). Khi đó phương trình có ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường $u \in \mathring{W}^{1,2}_\lambda(\Omega)$. Chứng minh được thực hiện qua ba bổ đề:
    • Bổ đề 2.1: Chứng minh cấu trúc hình học qua núi gần gốc tọa độ: tồn tại $\alpha, \rho > 0$ sao cho $J_\lambda(u) \ge \alpha$ với mọi $|u|_{1,2} = \rho$.
    • Bổ đề 2.2: Tồn tại $u_1 \in \mathring{W}^{1,2}\lambda(\Omega)$ với $|u_1|{1,2} > \rho$ sao cho $J_\lambda(u_1) < 0$.
    • Bổ đề 2.3: Chứng minh phiếm hàm $J_\lambda$ thỏa mãn điều kiện Cerami $(C)c$ tại mọi mức $c \in \mathbb{R}$. Kỹ thuật chứng minh phản chứng phân tách thành hai trường hợp của dãy chuẩn hóa $v_n = u_n / |u_n|{1,2}$: trường hợp giới hạn yếu $v \equiv 0$ (dẫn đến mâu thuẫn nhờ giả thiết (f4) và sự triệt tiêu tích phân) và trường hợp $v \not\equiv 0$ (dẫn đến mâu thuẫn về độ phân kỳ của tích phân năng lượng qua giả thiết (f2)).
  • Định lý 2.2 (Tính đa nghiệm): Khi $f$ là hàm lẻ đối với biến $s$ ($f(x, -s) = -f(x, s)$) và thỏa mãn điều kiện tăng trưởng đa thức (SCP): $|f(x, s)| \le a + b|s|^{q-1}$ với $q \in (2, 2^*\lambda)$, phiếm hàm $J\lambda$ là phiếm hàm chẵn. Áp dụng Định lý 1.2 của Bartsch, luận án chứng minh bài toán có một dãy vô hạn các nghiệm yếu ${u_n}$ thỏa mãn $J_\lambda(u_n) \to +\infty$ khi $n \to \infty$.

Chương 3: Sự tồn tại và không tồn tại nghiệm của hệ Hamilton suy biến

Chương 3 mở rộng phạm vi nghiên cứu từ phương trình vô hướng sang hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính dạng Hamilton: $$\begin{cases} -\Delta_\lambda u = |v|^{p-1}v, & x \in \Omega \ -\Delta_\lambda v = |u|^{q-1}u, & x \in \Omega \ u = v = 0, & x \in \partial\Omega \end{cases}$$ với $p, q > 1$, $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 3$) là miền bị chặn có biên trơn.

Cấu trúc hình học của bài toán gắn chặt với đường cong hyperbol tới hạn phụ thuộc vào số chiều thuần nhất $Q$: $$\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} = \frac{Q-2}{Q}$$

Chương 3 thiết lập hai định lý đối ngẫu:

  • Định lý về sự không tồn tại nghiệm cổ điển dương: Khi cặp số mũ $(p, q)$ nằm trên hoặc phía trên hyperbol tới hạn, tức là: $$\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} \le \frac{Q-2}{Q}$$ và $\Omega$ là miền hình sao đối với nhóm co dãn $\delta_t$, hệ không có nghiệm cổ điển dương. Chứng minh dựa trên việc thiết lập đồng nhất thức tích phân kiểu Pohozaev cho toán tử $\Delta_\lambda$, nhân phương trình với trường vectơ co dãn và tích phân từng phần trên miền $\Omega$, khai thác dấu của tích phân biên trên miền hình sao.
  • Định lý về sự tồn tại dãy vô hạn nghiệm yếu: Khi cặp số mũ $(p, q)$ nằm dưới hyperbol tới hạn: $$\frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1} > \frac{Q-2}{Q}$$ hệ có một dãy vô hạn nghiệm yếu. Luận án xây dựng phiếm hàm năng lượng: $$\Phi(u, v) = \int_\Omega \nabla_\lambda u \cdot \nabla_\lambda v dx - \frac{1}{p+1}\int_\Omega |v|^{p+1}dx - \frac{1}{q+1}\int_\Omega |u|^{q+1}dx$$ Do tính không đối xứng bậc giữa hai biến, không gian Hilbert được phân tích thành tổng trực tiếp $E = E^+ \oplus E^-$. Tác giả kiểm tra các điều kiện $(\Phi 1)-(\Phi 5)$ của Định lý Fountain (Bartsch và de Figueiredo [9]) dưới dạng compact phân rã $(PS)_c^F$, từ đó chứng minh phiếm hàm $\Phi$ có một dãy không bị chặn các giá trị tới hạn dương.

Chương 4: Định lí kiểu Liouville cho hệ bất đẳng thức elliptic suy biến

Chương 4 khảo sát tính triệt tiêu nghiệm trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$) đối với bất đẳng thức elliptic vô hướng: $$-\Delta_\lambda u \ge u^p, \quad x \in \mathbb{R}^N, \quad p > 1$$ và hệ bất đẳng thức elliptic: $$\begin{cases} -\Delta_\lambda u \ge v^p, & x \in \mathbb{R}^N \ -\Delta_\lambda v \ge u^q, & x \in \mathbb{R}^N \end{cases} \quad (p, q > 0)$$

Nội dung chương phân định thành hai trường hợp tham số:

  1. Định lý kiểu Liouville cho trường hợp $p, q > 1$: Tác giả sử dụng phương pháp hàm thử. Hàm thử được chọn dưới dạng $\phi_R(x) = \psi(\rho(x)/R)$, trong đó $\rho(x)$ là khoảng cách tựa thuần nhất tương ứng với nhóm co dãn $\delta_t$, và $\psi$ là hàm cắt xén trơn tiêu chuẩn. Bằng cách nhân hàm thử vào bất đẳng thức, tích phân từng phần và áp dụng bất đẳng thức Hölder với số mũ liên hợp, tác giả thiết lập các ước lượng tích phân chặn trên theo lũy thừa của $R$. Khi cho bán kính $R \to +\infty$, số hạng tích phân triệt tiêu, dẫn tới kết luận mọi nghiệm cổ điển không âm $u, v \in C^2(\mathbb{R}^N)$ đều phải đồng nhất bằng 0 ($u \equiv 0, v \equiv 0$).
  2. Định lý kiểu Liouville cho trường hợp $p, q > 0$: Mở rộng dải tham số cho cả trường hợp $pq \le 1$ và trường hợp $pq > 1$ thỏa mãn điều kiện hình học gắn với số chiều thuần nhất $Q$: $$\max(a, b) \ge Q - 2, \quad a = \frac{2(p+1)}{pq-1}, \quad b = \frac{2(q+1)}{pq-1}$$ Kỹ thuật chứng minh đòi hỏi các đánh giá tiên nghiệm tinh vi hơn để kiểm soát các kỳ dị tích phân khi số mũ nhỏ hơn 1. Kết quả đạt được thiết lập tương đương giải tích của giả thuyết Lane-Emden đối với lớp toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đạt được các kết quả khoa học cụ thể sau:

  1. Đóng góp về lý luận:
    • Chứng minh sự tồn tại của ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường cho phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính $-\Delta_\lambda u = f(x, u)$ trong miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng dưới tới hạn và không thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz (AR).
    • Thiết lập tính đa nghiệm (tồn tại một dãy vô hạn nghiệm yếu) cho phương trình trên khi số hạng phi tuyến là hàm lẻ theo biến ẩn hàm dưới điều kiện tăng trưởng đa thức (SCP).
    • Chứng minh sự không tồn tại nghiệm cổ điển dương đối với hệ Hamilton elliptic suy biến trong miền hình sao khi cặp số mũ $(p, q)$ nằm trên hoặc phía trên đường hyperbol tới hạn $1/(p+1) + 1/(q+1) \le (Q-2)/Q$.
    • Chứng minh tính đa nghiệm (tồn tại dãy vô hạn nghiệm yếu) của hệ Hamilton suy biến khi cặp số mũ $(p, q)$ nằm phía dưới đường hyperbol tới hạn.
    • Thiết lập các định lý kiểu Liouville khẳng định sự không tồn tại nghiệm cổ điển không âm trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ cho bất đẳng thức vô hướng $-\Delta_\lambda u \ge u^p$ ($p > 1$) và hệ bất đẳng thức suy biến $-\Delta_\lambda u \ge v^p$, $-\Delta_\lambda v \ge u^q$ trong cả hai trường hợp tham số $p, q > 1$ và $p, q > 0$.
  2. Đóng góp về mặt công bố khoa học:
    • Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo khoa học trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành có uy tín thuộc danh mục ISI.
    • Báo cáo và thảo luận tại Xêmina Giải tích của Khoa Toán, Trường ĐHSP Hà Nội 2; Xêmina Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường ĐHSP Hà Nội; và Hội thảo khoa học "Toán học trong sự nghiệp đổi mới giáo dục" (tháng 10/2017).
  3. Đề xuất và kiến nghị học thuật:
    • Tác giả kiến nghị tiếp tục mở rộng các kết quả của luận án sang trường hợp phương trình và hệ phương trình có số hạng phi tuyến mang tăng trưởng tới hạn kiểu Sobolev ($2^*_\lambda = 2Q/(Q-2)$), trường hợp có thêm thế vị $V(x)$ thay đổi dấu trên miền không bị chặn, và kiểm tra tính chính quy Hölder của nghiệm yếu nhận được.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của nghiên cứu:

  • Phạm vi phương trình ở Chương 2 và Chương 3 mới chỉ dừng lại ở trường hợp số hạng phi tuyến có tốc độ tăng trưởng dưới tới hạn; trường hợp tăng trưởng tới hạn hoặc trên tới hạn có nhiễu cấp thấp chưa được khảo sát trọn vẹn trong luận án.
  • Các kết quả về nghiệm yếu trong Chương 2 và Chương 3 chưa đi kèm chứng minh về tính chính quy cổ điển (như tính khả vi $C^2$ hoặc tính trơn Hölder cục bộ) do sự suy biến của toán tử $\Delta_\lambda$ tại các siêu phẳng tọa độ gây trở ngại lớn cho lý thuyết chính quy elliptic chuẩn mực.
  • Định lý kiểu Liouville ở Chương 4 cho hệ bất đẳng thức khi số chiều thuần nhất $Q \ge 5$ đối với các nghiệm không có tính đối xứng vẫn còn những khoảng trống tham số tương tự như tình trạng của giả thuyết Lane-Emden kinh điển trong trường hợp không suy biến.

Hướng nghiên cứu tiếp được xác định theo văn bản:

  • Nghiên cứu bài toán biên với số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn đối với toán tử suy biến $\Delta_\lambda$.
  • Nghiên cứu bài toán trên các miền không bị chặn hoặc toàn không gian $\mathbb{R}^N$ với sự hiện diện của thế vị $V(x)$.
  • Khảo sát tính chính quy và tính đối xứng của nghiệm yếu đối với các lớp phương trình và hệ phương trình suy biến mạnh.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo chuyên sâu, có giá trị học thuật đối với:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Phương trình vi phân và đạo hàm riêng, Giải tích hàm phi tuyến.
  • Các nhà nghiên cứu quan tâm đến hình học vi phân và toán tử vi phân suy biến kiểu Hörmander, Grushin, hoặc Lie groups.

Các nội dung có giá trị tham khảo học thuật trực tiếp bao gồm:

  • Bổ đề 1.2 và phần chứng minh phép nhúng Sobolev suy biến cấp 2 ($W^{2,2}_\lambda(\Omega) \hookrightarrow L^{2Q/(Q-4)}(\Omega)$) ở Chương 1, cung cấp công cụ tiên quyết để đánh giá năng lượng bậc cao.
  • Kỹ thuật xây dựng dãy kiểm tra điều kiện compact Cerami $(C)_c$ thay thế cho Palais-Smale trong Chương 2, có thể chuyển giao trực tiếp cho các lớp bài toán phi tuyến khác không thỏa mãn điều kiện (AR).
  • Kỹ thuật thiết lập hàm thử thích ứng với cấu trúc co dãn tựa thuần nhất ${\delta_t}$ trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ ở Chương 4, đóng vai trò mẫu mực cho việc thiết lập các định lý triệt tiêu nghiệm kiểu Liouville đối với các phương trình vi phân đạo hàm riêng suy biến mạnh.

Câu hỏi thường gặp

1. Toán tử $\Delta_\lambda$-Laplace trong luận án được xác định như thế nào và bao hàm những lớp toán tử cụ thể nào?

Toán tử $\Delta_\lambda$-Laplace có dạng phân kỳ $\Delta_\lambda u = \sum_{i=1}^N \partial_{x_i} (\lambda_i^2(x) \partial_{x_i} u)$, trong đó các hàm $\lambda_i(x)$ thỏa mãn bốn điều kiện: dương ngặt ngoài siêu phẳng tọa độ, đối xứng qua siêu phẳng, đạo hàm thỏa mãn $0 \le x_k \partial_{x_k}\lambda_i(x) \le \rho \lambda_i(x)$, và thuần nhất bậc $\sigma_i - 1$ đối với nhóm co dãn $\delta_t(x) = (t^{\sigma_1}x_1, \dots, t^{\sigma_N}x_N)$. Toán tử này bao hàm toán tử Laplace cổ điển ($\lambda_i \equiv 1$), toán tử Grushin $G_\alpha = \Delta_x + |x|^{2\alpha}\Delta_y$, toán tử suy biến mạnh kiểu $P_{\alpha,\beta}$ và $P_{\alpha,\beta,\gamma}$, cùng các toán tử suy biến đa lớp.

2. Điều kiện (f4) trong Chương 2 có ưu điểm gì so với điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz (AR) truyền thống?

Điều kiện (AR) đòi hỏi tồn tại $\theta > 2, R_0 > 0$ sao cho $0 < \theta F(x, s) \le s f(x, s)$ khi $|s| \ge R_0$, loại trừ nhiều hàm phi tuyến có tốc độ tăng trưởng dưới đa thức hoặc hàm dạng $f(x, s) = s\log(1+|s|)$. Điều kiện (f4) trong luận án yêu cầu $H(x, t) \le \theta H(x, s) + C_*$ với mọi $0 < |t| < |s|$ (trong đó $H(x, u) = \frac{1}{2}uf(x, u) - F(x, u)$). Điều kiện này tổng quát hơn điều kiện (AR), bao quát được hàm $s\log(1+|s|)$, đồng thời bao hàm các điều kiện đơn điệu của Miyagaki - Souto và điều kiện lồi của Schechter - Zou.

3. Số chiều thuần nhất $Q$ đóng vai trò gì đối với hệ Hamilton trong Chương 3?

Số chiều thuần nhất $Q = \sum_{i=1}^N \sigma_i$ thay thế số chiều không gian Euclide $N$ trong việc xác định các ngưỡng tới hạn giải tích. Cụ thể, đường hyperbol tới hạn của hệ Hamilton suy biến được xác định chính xác bởi phương trình $1/(p+1) + 1/(q+1) = (Q-2)/Q$. Nếu cặp số mũ nằm trên hoặc phía trên đường cong này thì hệ không có nghiệm cổ điển dương trong miền hình sao; nếu nằm dưới đường cong này thì hệ tồn tại một dãy vô hạn nghiệm yếu.

4. Luận án sử dụng phương pháp nào để chứng minh các định lý kiểu Liouville ở Chương 4?

Để chứng minh các định lý kiểu Liouville (khẳng định không tồn tại nghiệm không âm ngoài nghiệm tầm thường $u \equiv 0$ trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$), tác giả sử dụng phương pháp hàm thử. Hàm thử được xây dựng bằng cách kết hợp hàm cắt xén trơn tiêu chuẩn với hàm khoảng cách tựa thuần nhất gắn với nhóm co dãn $\delta_t$. Tác giả tích phân từng phần, áp dụng bất đẳng thức Hölder và thiết lập các ước lượng tích phân tiên nghiệm chặn trên triệt tiêu khi bán kính co dãn tiến ra vô hạn.

5. Luận án đã công bố bao nhiêu công trình khoa học và báo cáo tại những diễn đàn nào?

Các kết quả nghiên cứu chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo khoa học trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành thuộc danh mục ISI. Ngoài ra, các kết quả đã được báo cáo và thảo luận tại Xêmina Giải tích của Khoa Toán (Trường ĐHSP Hà Nội 2), Xêmina Bộ môn Giải tích (Khoa Toán-Tin, Trường ĐHSP Hà Nội), và Hội thảo khoa học "Toán học trong sự nghiệp đổi mới giáo dục" tổ chức tại ĐHSP Hà Nội 2 vào tháng 10 năm 2017.

Kết luận

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Bùi Kim My đã khảo sát toàn diện bài toán biên và bài toán toàn không gian cho các lớp phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức và hệ bất đẳng thức elliptic nửa tuyến tính chứa toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$-Laplace. Bằng việc kết hợp phương pháp biến phân dưới điều kiện Cerami, phương pháp đồng nhất thức tích phân Pohozaev mở rộng và kỹ thuật hàm thử thích ứng cấu trúc thuần nhất, tác giả đã giải quyết thành công vấn đề tồn tại và đa nghiệm khi loại bỏ điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz, làm sáng tỏ vai trò của số chiều thuần nhất $Q$ đối với hyperbol tới hạn của hệ Hamilton suy biến, và thiết lập các định lý kiểu Liouville trên toàn không gian. Công trình đóng góp các kết quả lý thuyết mới cho chuyên ngành Giải tích hàm phi tuyến và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, được minh chứng thông qua 03 bài báo công bố trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI.