I. Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai là một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết toán học ứng dụng. Bài toán này thường xuất hiện trong các lĩnh vực như cơ học chất lỏng và điện từ trường. Đặc điểm nổi bật của bài toán này là sự tồn tại duy nhất nghiệm theo nghĩa nghiệm suy rộng, tuy nhiên, nghiệm này thường không thể áp dụng trực tiếp vào thực tiễn. Do đó, việc tìm kiếm các nghiệm gần đúng trở thành một yêu cầu thiết yếu. Luận văn này trình bày phương pháp sai phân để chuyển đổi bài toán biên thành một bài toán đại số, từ đó có thể tìm được nghiệm gần đúng cho bài toán ban đầu. Việc áp dụng phương pháp sai phân giúp đơn giản hóa quá trình giải quyết bài toán, đồng thời mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực này.
1.1 Không gian W1 Q W4 O và các tính chất cơ bản
Không gian W1(Q) và W4(O) đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán biên Dirichlet. Các không gian này chứa các hàm có đạo hàm suy rộng, cho phép áp dụng các định lý nhúng và các tính chất cơ bản của đạo hàm. Đặc biệt, không gian W4(O) cho phép xác định các hàm có đạo hàm liên tục, từ đó giúp xây dựng các nghiệm gần đúng cho bài toán. Định nghĩa về đạo hàm suy rộng cho phép mở rộng khái niệm đạo hàm cổ điển, giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Việc nghiên cứu các tính chất của không gian này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong vật lý và kỹ thuật.
II. Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên Dirichlet
Chương này trình bày chi tiết về phương pháp sai phân trong việc giải bài toán biên Dirichlet. Phương pháp này bao gồm ba bước chính: xây dựng hàm lưới, chuyển đổi từ bài toán vi phân sang bài toán sai phân, và khảo sát sự ổn định cũng như hội tụ của sơ đồ sai phân. Bước đầu tiên là xây dựng hàm lưới, trong đó các hàm nội suy được sử dụng để tạo ra các điểm lưới. Bước tiếp theo là chuyển đổi bài toán vi phân thành bài toán sai phân, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán. Cuối cùng, việc khảo sát sự ổn định và hội tụ của sơ đồ sai phân là rất quan trọng để đảm bảo rằng nghiệm gần đúng thu được là chính xác và có thể áp dụng trong thực tiễn. Phương pháp này không chỉ có giá trị trong lý thuyết mà còn có thể được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau như kỹ thuật và khoa học máy tính.
2.1 Xây dựng hàm lưới và nội suy
Xây dựng hàm lưới là bước đầu tiên trong phương pháp sai phân. Hàm lưới được sử dụng để xác định các điểm lưới trong miền tính toán, từ đó tạo ra các hàm nội suy. Các hàm nội suy này giúp chuyển đổi các hàm liên tục thành các hàm rời rạc, cho phép áp dụng các phương pháp số trong việc giải bài toán. Việc lựa chọn hàm nội suy phù hợp là rất quan trọng, vì nó ảnh hưởng đến độ chính xác của nghiệm gần đúng. Các hàm nội suy phổ biến như hàm bậc nhất và bậc hai thường được sử dụng trong các bài toán này. Sự ổn định và hội tụ của các hàm nội suy cũng cần được khảo sát để đảm bảo rằng nghiệm gần đúng thu được là chính xác và có thể áp dụng trong thực tiễn.
