Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ thực sự cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [1, 41, 43, 50, 51]. Phương pháp truy đuổi (phương pháp khử đuổi) giải hệ phương trình vô hướng ba điểm Hệ phương trình ba điểm phát sinh từ xấp xỉ ba điểm cho bài toán giá trị biên của các phương trình vi phân thường cấp hai với các hệ số hằng hoặc biến thiên. Nó cũng xuất hiện khi rời rạc hóa các phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai theo từng hướng. Trong trường hợp sau, chúng ta thường phải giải không chỉ một hệ phương trình sai phân ba điểm duy nhất mà phải giải một dãy các hệ phương trình với hàm vế phải khác nhau, trong đó số lượng các hệ phương trình trong dãy có thể là hàng chục hoặc hàng trăm và số lượng của các ẩn trong mỗi hệ phương trình là rất lớn.
Điều này dẫn tới cần thiết phải tìm các phương pháp hữu hiệu để giải các hệ phương trình sai phân ba điểm, trong đó số lượng các phép toán tỷ lệ thuận với số lượng ẩn số. Một trong các phương pháp trực tiếp hữu hiệu 8 xử lý bài toán giá trị biên cho các phương trình sai phân ba điểm với các hệ số hằng số là phương pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt của phương pháp khử). Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt phương pháp này. Phương pháp truy đuổi từ phải Xét hệ phương trình ba điểm c0 y0 − b0 y1 = f0 , i = 0, −ai yi−1 + ci yi − bi yi+1 = fi , 1 ≤ i ≤ N − 1, (1.1) −aN yN −1 + cN yN = fN , i = N, hay trong dạng véc tơ AY = F, (1., yN )T là véc tơ chưa biết, F = (f0 , f1 , ., fN )T là véc tơ vế phải, A là ma trận vuông (N + 1) × (N + 1) c 0 −b0 0 0.
−aN −1 cN −1 −bN −1 0 0 0 0. 0 −aN cN với các hệ số thực hoặc phức. Theo ý tưởng của phương pháp Gauss, thực hiện phép khử các ẩn trong (1. Từ đó ta có công thức tìm nghiệm như sau [51] yi = αi+1 yi+1 + βi+1 , i = N − 1, N − 2, .3) yN = βN +1 , 9 trong đó αi và βi được xác định từ công thức bi b0 αi+1 = , i = 1, 2, .4) ci − ai αi c0 fi + ai βi f0 βi+1 = , i = 1, 2, .5) ci − ai αi c0 αi và βi được gọi là các hệ số truy đuổi (hệ số khử).5) mô tả quá trình khử tiến và công thức (1.3) mô tả quá trình lùi.5) được gọi chung là công thức truy đuổi từ phải hay công thức khử từ phải.5) chứa 3N phép nhân, 2N + 1 phép chia, 3N phép cộng và trừ.
Khi đó tổng số phép tính toán là Q = 8N + 1, trong đó 3N − 2 phép toán được sử dụng để tính αi và 5N + 3 phép toán để tính βi và yi. Phương pháp truy đuổi từ hai phía Tương tự như trên ta cũng có công thức truy đuổi từ trái hay công thức khử từ trái như sau: ai aN ξi = , i = N − 1, N − 2, .6) ci − bi ξi+1 cN fi + bi ηi+1 fN ηi = , i = N − 1, N − 2, .7) ci − bi ξi+1 cN yi+1 = ξi+1 yi + ηi+1 , i = 0, 1, .8) Kết hợp phép truy đuổi trái và phải ta được phương pháp truy đuổi hai phía. Phương pháp này được áp dụng thích hợp nhất khi muốn tìm một giá trị chưa biết ym (0 ≤ m ≤ N ) hoặc một nhóm giá trị liền nhau. Giả 10 sử 1 ≤ m ≤ N , ta viết các công thức (1.8) tại i = m − 1: ym−1 = αm ym + βm , ym = ξm ym−1 + ηm , từ đó tìm được ym : ηm + ξm βm ym =.
1 − ξm αm Sử dụng ym , lần lượt tìm ym−1 , ym−2 , .3) và ym+1 , ym+2 ,. Khi đó ta có công thức cho phương pháp truy đuổi hai phía sau để tính các hệ số bi b0 αi+1 = , i = 1, 2, ., m − 1, α1 = , ci − ai αi c0 fi + ai βi f0 βi+1 = , i = 1, 2, ., m − 1, β1 = , ci − ai αi c0 ai aN (1., m, ξN = , ci − bi ξi+1 cN fi + bi ηi+1 fN ηi = , i = N − 1, N − 2, ., m, ηN = ci − bi ξi+1 cN và công thức để tìm nghiệm: yi = αi+1 yi+1 + βi+1 , i = m − 1, m − 2,. 1 − ξm αm Số phép tính sử dụng trong công thức truy đuổi hai phía bằng với số phép tính trong công thức truy đuổi trái hay phải, Q ≈ 8N. Tính khả thi và ổn định của phương pháp Phương pháp truy đuổi từ phải được gọi là khả thi nếu ci − ai αi 6= 0, i = 1, 2, ., N và nó được gọi là ổn định nếu |αi | ≤ 1.
Bổ đề sau là điều kiện đủ cho tính khả thi và ổn định của công thức truy đuổi từ phải. [51] Giả sử các hệ số của hệ (1.1) là số thực và thỏa mãn điều kiện |b0 | ≥ 0, |aN | ≥ 0, |c0 | > 0, |cN | > 0, |ai | > 0, |bi | > 0, i = 1, 2, ., N − 1, |ci | ≥ |ai | + |bi |, i = 1, 2, .12) trong đó có ít nhất một bất đẳng thức trong (1.12) là chặt, tức là ma trận A là chéo trội. Khi đó trong công thức (1.5) của phương pháp truy đuổi ta có ci − ai αi 6= 0, |αi | ≤ 1, i = 1, 2,. Điều này đảm bảo tính khả thi và ổn định của phương pháp.
Các điều kiện của Bổ đề 1.1 cũng đảm bảo cho tính khả thi và ổn định của phương pháp truy đuổi từ trái và từ hai phía.1 cũng áp dụng được trong trường hợp các hệ số ai , bi , ci là số phức trong hệ (1. Nếu các điều kiện trong Bổ đề 1.1 thỏa mãn thì hệ (1.1) có nghiệm duy nhất với mọi vế phải. Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Lý thuyết hệ vô hạn phương trình tuyến tính nảy sinh và phát triển xuất phát từ các ứng dụng của nó đối với các bài toán lấy tích phân của phương trình vi phân. Hệ vô hạn đóng vai trò quan trọng trong việc giải các phương trình tích phân và đặc biệt trong việc tìm nghiệm của các bài 12 toán giá trị biên của phương trình vật lý toán.
Các nghiên cứu về hệ vô hạn phương trình tuyến tính bắt đầu phát triển từ cuối thế kỷ 19 cho đến nay. Vào những năm 1960, Kantorovich [43] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp lặp cho hệ vô hạn phương trình chính quy X − AX = b, trong đó A = (aij )∞ i,j=1 là ma trận vô hạn thỏa mãn điều kiện ∞ X a2ij < ∞ (1. Ở đây l2 là không gian các dãy vô hạn khả tổng bình phương, l2 = {x = (x1 , x2 ,. Sau đó trong [42], Kantorovich đã chứng minh sự hội tụ của phương trình cắt cụt Xn − λAn Xn = bn với điều kiện (1.1) được thỏa mãn, An = (aij )ni,j=1 , Xn = (xn1 , xn2 , ., xnn )T , bn = (bn1 , bn2 ,.
Đặng Quang Á [8] đã áp dụng lý thuyết hệ vô hạn trong [43] cho bài toán đàn nhiệt đối xứng trục về sự đè của hệ đế nóng hình vành vào nửa không gian đàn hồi trong đó nguồn nhiệt được đặt trong nửa không gian. Vào năm 2002, tạp chí Linear Algebra and its Applications đã phát hành một ấn phẩm đặc biệt thảo luận về các nghiên cứu hệ vô hạn có cấu trúc các phương trình đại số tuyến tính [21]. Trong [57], Yingzhen và các cộng sự đã nghiên cứu biểu diễn nghiệm chính xác của hệ vô hạn các phương trình tuyến tính Ay = b bằng cách 13 thiết lập song ánh ρ : l2 → W21 [0, 1], sau đó biến đổi phương trình gốc thành phương trình toán tử trong W21 [0, 1]: Ku = f với u ∈ W21 [0, 1], f = ρb, K = ρAρ−1 và thu được nghiệm y = ρ−1 u. Các tác giả đã đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ vô hạn phương trình tuyến tính có nghiệm.
Bài báo cũng đưa ra một số ví dụ số chặt cụt hệ vô hạn để nhận được nghiệm xấp xỉ được đưa ra dưới dạng ẩn và đảm bảo tính hội tụ. Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả cơ bản về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, bao gồm các định lý về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm và cơ sở lý luận của việc tìm nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Nội dung của mục này được hình thành từ tài liệu [43, Chương 1, §2]. Khái niệm Xét hệ phương trình dưới đây X∞ xi = ci,k xk + bi (i = 1, 2, .2) k=1 trong đó xi là các ẩn số cần tìm, ci,k và bi là các số đã biết.
được gọi là nghiệm của hệ (1.2) nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.2) ta nhận được các chuỗi hội tụ và tất cả các đẳng thức được thỏa mãn. Khi nghiên cứu và giải hệ (1.2) ta cần làm sáng tỏ các vấn đề sau: • Hệ có nghiệm thỏa mãn các điều kiện đã cho hay không? • Hệ có nghiệm duy nhất hay không? • Chỉ ra phương pháp tìm được nghiệm của hệ, nói chung điều này đòi hỏi vô hạn các phép toán. 14 • Chỉ ra cách thức cho phép tìm nghiệm gần đúng của hệ bằng một số hữu hạn các phép toán, trong đó có thể đánh giá được sai số của các nghiệm. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày các vấn đề trên đối với một lớp quan trọng của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, đó là hệ chính quy, hay hệ đều (regular).
Các định lý so sánh Định nghĩa 1. Hệ ∞ X Xi = Ci,k Xk + Bi (i = 1, 2, .3) k=1 được gọi là hệ trội của hệ phương trình (1. (Về sự tồn tại nghiệm) Nếu hệ trội (1.3) có nghiệm không âm Xi0 ≥ 0, thì hệ phương trình (1.