Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Đinh Diệu Hằng với đề tài "Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ", thuộc ngành Toán giải tích (mã số 9460102), được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Đỗ Văn Lưu tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên và bảo vệ năm 2018.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết điều kiện tối ưu là một trong những trụ cột của giải tích toán học, phát triển từ phép tính biến phân cổ điển với phương trình Euler, qua lý thuyết điều khiển tối ưu với nguyên lý cực đại Pontryagin và quy tắc nhân tử Lagrange, đến lược đồ tổng quát Dubovitsky – Milyutin trong không gian giải tích hàm. Trong bối cảnh tối ưu đa mục tiêu nảy sinh từ các mô hình kinh tế, kỹ thuật và vận tải, lý thuyết tối ưu không trơn đã phát triển mạnh mẽ dựa trên các công cụ dưới vi phân Clarke, Michel – Penot, Mordukhovich, cũng như các khái niệm dưới vi phân suy rộng (convexificator) của V. Jeyakumar và Đinh Thế Lục.

Năm 1994, E. Blum và W. Oettli đưa ra mô hình bài toán cân bằng vectơ (VEP). Lớp bài toán này có tính bao quát cao, chứa đựng nhiều bài toán quan trọng như bất đẳng thức biến phân vectơ (VVI), bài toán tối ưu vectơ (VOP), bài toán điểm bất động, bài toán bù vectơ và bài toán cân bằng Nash vectơ. Dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho VEP và VVI (như các nghiên cứu của F. Giannessi, X. H. Gong, J. Morgan, X. M. Yang), tác giả Đinh Diệu Hằng đã xác định ba khoảng trống nghiên cứu lý thuyết trọng tâm chưa được giải quyết trọn vẹn:

  1. Chưa có các kết quả nghiên cứu hoàn chỉnh về điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn chứa đồng thời cả ba loại ràng buộc: ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel – Penot.
  2. Việc sử dụng các định lý tách tập lồi cổ điển trong không gian vô hạn chiều luôn đòi hỏi giả thiết nón thứ tự phải có phần trong khác rỗng ($\operatorname{int} Q \neq \emptyset$). Tuy nhiên, trong nhiều bài toán vô hạn chiều, phần trong của nón bằng rỗng. Việc thiết lập điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ thông qua khái niệm phần trong tựa tương đối (quasirelative interior – qri) của J. M. Borwein và A. S. Lewis, cùng định lý tách của F. Cammaroto và A. Bella là vấn đề lý thuyết cấp thiết cần được giải quyết.
  3. Bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng (VEPEC – ràng buộc bù) là lớp bài toán phức tạp, vi phạm hầu hết các điều kiện chính quy thông thường của quy hoạch toán học (ngoại trừ điều kiện chính quy Guignard). Các nghiên cứu trước đó của C. Kanzow mới chỉ tập trung vào bài toán vô hướng khả vi. Do đó, việc tìm kiếm các điều kiện chính quy thích hợp để thiết lập các điều kiện cần (Fritz John, Kuhn – Tucker) và điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán VEPEC không trơn là bài toán mở có ý nghĩa học thuật lớn.

Mục tiêu nghiên cứu

Mục đích tổng quát của luận án là thiết lập các điều kiện cần và điều kiện đủ cho các dạng nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán cân bằng vectơ qua phần trong tựa tương đối và bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng. Luận án xác định ba nội dung/mục tiêu nghiên cứu cụ thể được đánh số theo văn bản như sau:

  • Mục tiêu a: Thiết lập các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ với ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ các dưới vi phân Clarke và Michel – Penot.
  • Mục tiêu b: Thiết lập các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua phần trong tựa tương đối trong các trường hợp không có ràng buộc và có ràng buộc. Dẫn các điều kiện đủ tối ưu với các giả thiết về tính lồi suy rộng của các hàm dữ liệu; áp dụng các kết quả đó để thiết lập điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ.
  • Mục tiêu c: Thiết lập các điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không trơn với ràng buộc cân bằng dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke; thiết lập các điều kiện cần Kuhn – Tucker với các điều kiện chính quy thích hợp; thiết lập các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với các giả thiết về tính lồi suy rộng; áp dụng các kết quả thu được cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc cân bằng.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các cấu trúc toán học của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVI), bài toán cân bằng vectơ (VEP), bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng (VEPEC), bài toán tối ưu vectơ (VOP), bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ với ràng buộc cân bằng (VVIEC) và bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc cân bằng (VOPEC).
  • Phạm vi không gian và cấu trúc: Không gian Banach thực $X, Y$, không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^l$; nón lồi đóng nhọn $P, Q, S$; các dạng nghiệm hữu hiệu (efficient solution), nghiệm hữu hiệu yếu (weak efficient solution), nghiệm hữu hiệu toàn cục (global efficient solution); các lớp hàm Lipschitz địa phương, khả vi chặt, khả vi Fréchet và các lớp hàm lồi suy rộng ($\partial$-tựa lồi, $\partial$-giả lồi, $\partial^{MP}$-tựa lồi, $\partial_D$-tựa lồi).
  • Phạm vi thời gian và học thuật: Luận án tổng hợp các kết quả nghiên cứu của tác giả trong giai đoạn 2014–2017, được báo cáo tại Seminar Tối ưu (Trường Đại học Thăng Long), Seminar Nghiên cứu sinh (Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên) và Hội nghị Khoa học thường niên tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên (nơi tác giả công tác).

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước được luận án điểm lại

Luận án hệ thống hóa các thành tựu của lý thuyết tối ưu hóa và giải tích không trơn qua các công trình nền tảng:

  • Giải tích hàm và lý thuyết tối ưu kinh điển: Lược đồ Dubovitsky – Milyutin đặt nền tảng mô tả điều kiện cần tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm cho quy hoạch toán học và điều khiển tối ưu.
  • Giải tích không trơn và dưới vi phân suy rộng: F. H. Clarke (1983, 1990) xây dựng lý thuyết giải tích không trơn, đạo hàm theo phương Clarke và dưới vi phân Clarke; J. P. Penot và P. Michel (1984) phát triển dưới vi phân Michel – Penot; B. S. Mordukhovich nghiên cứu giải tích biến phân; V. Jeyakumar và Đinh Thế Lục (1998, 2000) đưa ra khái niệm convexificator cho hàm vô hướng và Jacobian xấp xỉ cho hàm vectơ.
  • Đóng góp của các nhà toán học Việt Nam: Luận án ghi nhận các công trình nghiên cứu về bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và giải tích tối ưu của Hoàng Tụy, Phạm Hữu Sách, Đinh Thế Lục, Phan Quốc Khánh, Nguyễn Đông Yên, Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Đỗ Văn Lưu, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bường, Nguyễn Năng Tâm.
  • Bài toán cân bằng vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ: E. Blum và W. Oettli (1994) khởi xướng bài toán VEP; F. Giannessi, G. Mastroeni và L. Pellegrini (2003) nghiên cứu điều kiện đủ cho bất đẳng thức biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều; J. Morgan và V. Romaniello (2007) thiết lập điều kiện Kuhn – Tucker cho bất đẳng thức tựa biến phân suy rộng vectơ trong không gian Hilbert; X. M. Yang và S. Y. Zeng (2007) khảo sát điều kiện tối ưu cho $\varepsilon$-nghiệm của VVI trong không gian Banach; X. H. Gong (2004, 2005, 2008) thiết lập điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm Henig, nghiệm toàn cục của VEP không ràng buộc và VEP có ràng buộc khả vi.
  • Phần trong tựa tương đối và định lý tách: J. M. Borwein và A. S. Lewis (1992) đề xuất khái niệm phần trong tựa tương đối ($qri$) của tập lồi trong không gian vô hạn chiều; F. Cammaroto và A. Bella (2005) chứng minh định lý tách hai tập lồi dựa trên phần trong tựa tương đối; B. Jiménez và V. Novo (2004) công bố các kết quả về nón của giao hai tập.
  • Bài toán với ràng buộc cân bằng (MPEC/EPEC): C. Kanzow (2004, 2005) thiết lập điều kiện Fritz John, Kuhn – Tucker với điều kiện chính quy Mangasarian – Fromovitz và Guignard cho bài toán tối ưu vô hướng khả vi với ràng buộc cân bằng; A. Jourani (1994) và J. J. Reiland (1989) nghiên cứu các điều kiện chính quy và tính tựa lồi không trơn.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Từ tổng quan tài liệu, luận án định vị việc giải quyết ba bài toán chưa có lời giải:

  1. Thiết lập hệ điều kiện cần và đủ cho VVI khi có mặt đồng thời ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón và ràng buộc tập, sử dụng công cụ dưới vi phân Clarke và Michel – Penot.
  2. Vượt qua hạn chế của định lý tách cổ điển bằng cách sử dụng định lý tách Cammaroto – Bella qua phần trong tựa tương đối ($qri$) để xây dựng điều kiện tối ưu cho VEP khi nón mục tiêu $Q$ có $\operatorname{int} Q = \emptyset$.
  3. Thiết lập hệ điều kiện cần Fritz John, Kuhn – Tucker và điều kiện đủ cho bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng không trơn (VEPEC), đưa ra các điều kiện chính quy tương thích để khắc phục việc vi phạm các điều kiện chính quy tiêu chuẩn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án vận dụng các khái niệm và công cụ giải tích toán học chính xác:

  • Các dạng nghiệm: Điểm $\bar{x} \in M$ là nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ $\operatorname{VEP}(F, M, P)$ nếu $F(\bar{x}, y) \notin -P \setminus {0}, \forall y \in M$; là nghiệm hữu hiệu yếu nếu $F(\bar{x}, y) \notin -\operatorname{int} P, \forall y \in M$ (khi $\operatorname{int} P \neq \emptyset$); là nghiệm hữu hiệu toàn cục nếu $F(\bar{x}, M) \cap (-H \setminus {0}) = \emptyset$ với $H$ là nón lồi nhọn có phần trong khác rỗng thỏa mãn $P \setminus {0} \subset \operatorname{int} H$.
  • Dưới vi phân không trơn:
    • Dưới vi phân Clarke: Xác định bởi $\partial f(\bar{x}) = {\xi \in X^* : \langle \xi, v \rangle \leq f^0(\bar{x}; v), \forall v \in X}$, với $f^0(\bar{x}; v) = \limsup_{x \to \bar{x}, t \downarrow 0} \frac{f(x+tv)-f(x)}{t}$.
    • Dưới vi phân Michel – Penot: Xác định bởi $\partial^{MP} f(\bar{x}) = {\xi \in X^* : \langle \xi, v \rangle \leq f^\diamond(\bar{x}; v), \forall v \in X}$, với $f^\diamond(\bar{x}; v) = \sup_{\omega \in X} \limsup_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x}+t(v+\omega)) - f(\bar{x}+t\omega)}{t}$.
    • Đạo hàm và dưới vi phân Dini: Đạo hàm Dini trên $Df(\bar{x}; v) = \limsup_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x}+tv)-f(\bar{x})}{t}$; dưới vi phân Dini $\partial_D f(\bar{x}) = {\xi \in X^* : \langle \xi, v \rangle \leq Df(\bar{x}; v), \forall v \in X}$.
  • Hình học tập lồi và nón: Nón tiếp tuyến Clarke $T(C; \bar{x})$, nón pháp tuyến Clarke $N(C; \bar{x})$; nón tiếp liên (contingent cone) $T_C(\bar{x})$, nón pháp tuyến $N_C(\bar{x}) = (T_C(\bar{x}))^0$; nón liên hợp $D^*$ và nón cực $D^0$.
  • Phần trong tựa tương đối ($qri$): Điểm $x \in C$ thuộc $qri C$ khi và chỉ khi $\operatorname{clcone}(C - x)$ là một không gian con tuyến tính của $X$ (tương đương nón pháp tuyến $N(C; x)$ là không gian con tuyến tính của $X^*$).
  • Lớp hàm lồi suy rộng: Định nghĩa tính $\partial$-giả lồi ($\exists \xi \in \partial f(\bar{x}), \langle \xi, x-\bar{x} \rangle \geq 0 \Rightarrow f(x) - f(\bar{x}) \geq 0$), tính $\partial$-tựa lồi ($f(x)-f(\bar{x}) \leq 0 \Rightarrow \langle \xi, x-\bar{x} \rangle \leq 0, \forall \xi \in \partial f(\bar{x})$), và các dạng tương ứng $\partial^{MP}$-tựa lồi, $\partial_D$-tựa lồi.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết thuần túy của giải tích biến phân và giải tích hàm:

  1. Phương pháp vô hướng hóa (Scalarization): Chuyển đổi bài toán tối ưu/cân bằng vectơ về bài toán tối ưu vô hướng tương đương thông qua phép nhân phiếm hàm tuyến tính liên tục $\lambda \in Q^*$ hoặc hàm khoảng cách $\Lambda$.
  2. Kỹ thuật tách tập lồi: Sử dụng Định lý tách thứ nhất, Định lý tách thứ hai và Định lý tách Cammaroto – Bella đối với các tập có phần trong tựa tương đối khác rỗng để tạo ra nhân tử Lagrange $\lambda \neq 0$.
  3. Xây dựng điều kiện chính quy (Constraint Qualifications): Đề xuất và kiểm chứng các điều kiện chính quy kiểu Mangasarian – Fromovitz suy rộng, điều kiện nón tiếp tuyến nhằm bảo đảm nhân tử Lagrange của hàm mục tiêu không triệt tiêu.
  4. Phương pháp xấp xỉ tập chấp nhận được: Khi xử lý bài toán ràng buộc cân bằng (VEPEC), tác giả xét bài toán phụ $(\text{VEP}_1)$ trên tập thu hẹp $K_1 \subseteq K$ để dẫn điều kiện cần, và xét bài toán phụ $(\text{VEP}_2)$ trên tập mở rộng $K \subseteq K_2$ để dẫn điều kiện đủ.

Nguồn tư liệu/dữ liệu

Toàn bộ luận án dựa trên hệ thống tiên đề, định lý giải tích toán học và 77 tài liệu tham khảo khoa học chuyên ngành trong nước và quốc tế. Các kết quả nghiên cứu cốt lõi được tác giả công bố trong các bài báo khoa học từ năm 2014 đến 2017.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa, bổ đề và định lý làm công cụ cho các chương sau:

  • Định nghĩa bài toán cân bằng vectơ $(\text{VEP})$, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ $(\text{VVI})$, bài toán tối ưu vectơ $(\text{VOP})$ và các khái niệm nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàn cục.
  • Các định lý tách tập lồi cơ bản, tính chất nón liên hợp $(\bigcap_{i=1}^n K_i)^* = \sum_{i=1}^n K_i^*$ và dưới vi phân hàm lồi $\partial_C f(\bar{x})$.
  • Lý thuyết dưới vi phân Clarke $\partial f(\bar{x})$, dưới vi phân Michel – Penot $\partial^{MP} f(\bar{x})$, dưới vi phân Dini $\partial_D f(\bar{x})$, cùng mối quan hệ $\partial^{MP} f(\bar{x}) \subset \partial f(\bar{x})$ đối với hàm Lipschitz địa phương.
  • Khái niệm phần trong tựa tương đối $qri C$ và Định lý tách Cammaroto – Bella (Định lý 1.9): Nếu $A, B$ là hai tập lồi khác rỗng có $qri A \neq \emptyset, qri B \neq \emptyset$ và $\operatorname{clcone}(qri A - qri B)$ không là không gian con tuyến tính của $X$, thì tồn tại $\zeta \in X^* \setminus {0}$ tách $A$ và $B$.
  • Định nghĩa các lớp hàm lồi suy rộng: $\partial$-giả lồi, $\partial$-tựa lồi, $\partial^{MP}$-tựa lồi, $\partial_D$-tựa lồi, $\partial$-tựa lõm và $\partial$-tựa tuyến tính.

Chương 2: Điều kiện tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ

Chương 2 khảo sát bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ $(\text{VVI})$ trên tập chấp nhận được $K = {x \in C : g(x) \in S, h(x) = 0}$, trong đó $T: X \to \mathcal{L}(X, Y)$, $g: X \to \mathbb{R}^m$, $h: X \to \mathbb{R}^l$, $C \subset X$, $S \subset \mathbb{R}^m$ và $Q \subset Y$:

  • Điều kiện tối ưu qua dưới vi phân Clarke:

    • Nghiệm hữu hiệu yếu $(\text{WVVI})$: Đưa ra điều kiện chính quy $(\text{CQ1})$: $\forall \mu \in N(S, g(\bar{x})), \nu \in \mathbb{R}^l$ không đồng thời bằng 0 thì $0 \notin \partial(\mu g)(\bar{x}) + \partial(\nu h)(\bar{x}) + N(C, \bar{x})$. Khi $C=X=\mathbb{R}^p, S=\mathbb{R}^m_+$, điều kiện $(\text{CQ1})$ tương đương điều kiện Mangasarian – Fromovitz suy rộng $(\text{CQ2})$. Định lý 2.1 chứng minh điều kiện cần: tồn tại $\bar{\lambda} \in Q^* \setminus {0}, \bar{\mu} \in N(S, g(\bar{x})), \bar{\nu} \in \mathbb{R}^l$ sao cho: $$0 \in T(\bar{x})^* \bar{\lambda} + \partial(\bar{\mu} g)(\bar{x}) + \partial(\bar{\nu} h)(\bar{x}) + N(C; \bar{x})$$ Định lý 2.2 thiết lập điều kiện đủ khi $S, C$ lồi và các ánh xạ $\bar{\mu} g, \bar{\nu} h$ là $\partial$-tựa lồi tại $\bar{x}$ trên $C$.
    • Nghiệm hữu hiệu toàn cục $(\text{GVVI})$: Định lý 2.3 chứng minh điều kiện cần với nhân tử $\bar{\lambda} \in Q_0^$ (tựa phần trong của $Q^$), và Định lý 2.4 chứng minh điều kiện đủ.
    • Nghiệm hữu hiệu $(\text{EVVI})$: Đưa ra điều kiện chính quy $(\text{CQ3})$. Định lý 2.5 và 2.6 thiết lập điều kiện cần và điều kiện cần mạnh; Định lý 2.7 chứng minh điều kiện đủ với giả thiết $\bar{\lambda}_k > 0, \forall k \in J$.

  • Điều kiện tối ưu qua dưới vi phân Michel – Penot:

    • Giả thiết $S$ là nón lồi đa diện $S = {y \in \mathbb{R}^m : \langle a_i, y \rangle \geq 0, i=1,\dots,r}$, $h$ khả vi Fréchet. Đưa ra điều kiện chính quy $(\text{CQ4}): C(K; \bar{x}) \subset T(K; \bar{x})$.
    • Định lý 2.8 và Định lý 2.9 chứng minh điều kiện cần cho $(\text{WVVI})$ và $(\text{GVVI})$: $$0 \in T(\bar{x})^* \bar{\lambda} + \sum_{i \in I(\bar{x})} \bar{\mu}_i \partial^{MP} \tilde{g}i(\bar{x}) + \sum{j=1}^l \bar{\nu}_j \nabla h_j(\bar{x}) + N(C; \bar{x})$$
    • Định lý 2.10 chứng minh điều kiện đủ khi $\tilde{g}_i$ là $\partial^{MP}$-tựa lồi và $\pm h_j$ là tựa lồi.
    • Định lý 2.11 thiết lập điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu $(\text{EVVI})$ với điều kiện chính quy $(\text{CQ5})$.

Chương 3: Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ

Chương 3 giải quyết bài toán cân bằng vectơ $(\text{VEP})$ trong không gian Banach khi $\operatorname{int} Q$ có thể bằng $\emptyset$:

  • Bài toán không có ràng buộc:
    • Định lý 3.1 áp dụng định lý tách Cammaroto – Bella cho hai tập lồi $\operatorname{co} F_{\bar{x}}(K)$ và $-Q$, chứng minh rằng nếu $qri F_{\bar{x}}(K) \neq \emptyset, qri Q \neq \emptyset$ và $\operatorname{clcone}[qri(\operatorname{co} F_{\bar{x}}(K)) + qri Q]$ không là không gian con tuyến tính, thì tồn tại $\bar{\lambda} \in Q^* \setminus {0}$ sao cho: $$0 \in \partial(\bar{\lambda} \circ F_{\bar{x}})(\bar{x}) + N_K(\bar{x})$$
    • Hệ quả 3.1 cụ thể hóa cho không gian hữu hạn chiều qua Jacobian suy rộng Clarke $\partial_J F_{\bar{x}}(\bar{x})$.
    • Định lý 3.2 dẫn điều kiện đủ khi hàm mục tiêu $F_{\bar{x}}$ có tính $\partial$-giả lồi.
  • Bài toán có ràng buộc $(\text{CVEP})$:
    • Xét bài toán với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập. Sử dụng kết quả của Jiménez – Novo về nón của giao hai tập để thiết lập điều kiện cần qua dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Dini.
    • Thiết lập điều kiện đủ với các giả thiết về tính $\partial$-giả lồi của hàm mục tiêu và tính $\partial_D$-tựa lồi của các hàm ràng buộc.
  • Ứng dụng:
    • Chuyển tiếp các kết quả cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ khi nón mục tiêu có phần trong rỗng.

Chương 4: Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng

Chương 4 nghiên cứu bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng $(\text{VEPEC})$:

  • Điều kiện cần Fritz John:
    • Xây dựng bài toán cân bằng vectơ phụ $(\text{VEP}_1)$ trên tập thu hẹp $K_1 \subseteq K$.
    • Định lý 4.1 và 4.2 thiết lập điều kiện cần Fritz John dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, kèm theo điều kiện chính quy $(\text{VEPEC-RC})$.
  • Điều kiện cần Kuhn – Tucker:
    • Đề xuất các điều kiện chính quy $(\text{VEPEC-CQ1})$ và $(\text{VEPEC-CQ2})$ thích hợp cho cấu trúc ràng buộc cân bằng.
    • Thiết lập điều kiện cần Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của $(\text{VEPEC})$ trong trường hợp tổng quát và trường hợp ánh xạ $F_x(\cdot)$ khả vi chặt.
  • Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu:
    • Khảo sát bài toán phụ $(\text{VEP}_2)$ trên tập mở rộng $K \subseteq K_2$.
    • Chứng minh điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu của $(\text{VEPEC})$ với các giả thiết về tính lồi suy rộng của các hàm dữ liệu.
  • Ứng dụng:
    • Áp dụng các định lý đã chứng minh để dẫn ra hệ điều kiện tối ưu mới cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ với ràng buộc cân bằng $(\text{VVIEC})$ và bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc cân bằng $(\text{VOPEC})$.

Bảng tổng hợp các lớp bài toán và công cụ nghiên cứu chính

Chương Lớp bài toán khảo sát Ràng buộc Công cụ vi phân / Tách Điều kiện chính quy
Chương 2 Bất đẳng thức biến phân vectơ ($\text{VVI}$) Đẳng thức, nón, tập Dưới vi phân Clarke $\partial f$, Michel – Penot $\partial^{MP} f$ $\text{CQ1}, \text{CQ2}, \text{CQ3}, \text{CQ4}, \text{CQ5}$
Chương 3 Cân bằng vectơ ($\text{VEP}, \text{CVEP}$) Không ràng buộc / Có ràng buộc Phần trong tựa tương đối ($qri$), tách Cammaroto – Bella, Dini $\partial_D f$ Nón tiếp tuyến giao tập (Jiménez – Novo)
Chương 4 Cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng ($\text{VEPEC}$) Ràng buộc bù / Cân bằng Dưới vi phân Clarke $\partial f$, xấp xỉ tập $K_1, K_2$ $\text{VEPEC-RC}, \text{VEPEC-CQ1}, \text{VEPEC-CQ2}$

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp học thuật mới về mặt lý thuyết giải tích tối ưu:

  1. Mở rộng lý thuyết bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn: Thiết lập hệ điều kiện cần và điều kiện đủ cho các loại nghiệm (hữu hiệu yếu, hữu hiệu toàn cục, hữu hiệu) của bài toán VVI có đồng thời ràng buộc đẳng thức, ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới dạng dưới vi phân Clarke và Michel – Penot. Luận án chứng minh tính tương đương giữa điều kiện chính quy $\text{CQ1}$ và điều kiện Mangasarian – Fromovitz suy rộng $\text{CQ2}$ trong không gian hữu hạn chiều.
  2. Phát triển điều kiện tối ưu qua phần trong tựa tương đối: Ứng dụng thành công định lý tách Cammaroto – Bella để thiết lập điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ (VEP và CVEP) trong trường hợp nón thứ tự có phần trong rỗng ($\operatorname{int} Q = \emptyset$), khắc phục hạn chế kinh điển của giải tích lồi trong không gian vô hạn chiều.
  3. Thiết lập điều kiện tối ưu cho bài toán với ràng buộc cân bằng: Đưa ra các điều kiện cần kiểu Fritz John, Kuhn – Tucker và điều kiện đủ cho bài toán VEPEC không trơn dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke; đề xuất các điều kiện chính quy mới ($\text{VEPEC-CQ1}, \text{VEPEC-CQ2}, \text{VEPEC-RC}$) phù hợp với cấu trúc ràng buộc bù.
  4. Tính nhất quán trong ứng dụng: Cụ thể hóa toàn bộ các kết quả lý thuyết trừu tượng sang các lớp bài toán cụ thể: bất đẳng thức biến phân vectơ, tối ưu vectơ và các bài toán tương ứng có ràng buộc cân bằng ($\text{VVIEC}, \text{VOPEC}$).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của nghiên cứu

  • Luận án tập trung hoàn toàn vào lý thuyết giải tích hàm và giải tích biến phân trong không gian Banach và không gian hữu hạn chiều; chưa mở rộng khảo sát trên các không gian metric tổng quát hoặc không gian tuyến tính topo bất kỳ.
  • Các điều kiện đủ tối ưu đòi hỏi các giả thiết ngặt về tính lồi suy rộng ($\partial$-tựa lồi, $\partial$-giả lồi, $\partial^{MP}$-tựa lồi, $\partial_D$-tựa lồi), vốn khó kiểm chứng trọn vẹn trong các bài toán thực tế phi lồi phức tạp.
  • Nghiên cứu mang tính lý thuyết thuần túy, chưa xây dựng thuật toán số giải xấp xỉ nghiệm và chưa đánh giá độ phức tạp tính toán cho bài toán VEPEC.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Mở rộng nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng tựa biến phân vectơ (Vector Quasi-Equilibrium Problems) và bài toán tối ưu hai tầng vectơ (Bilevel Vector Optimization Problems).
  • Nghiên cứu các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Mordukhovich (limiting subdifferential) hoặc các xấp xỉ đạo hàm suy rộng bậc cao.
  • Thiết kế các thuật toán lặp số giải bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc cân bằng và ứng dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế, bài toán giao thông.

Giá trị tham khảo

  • Đối tượng thụ hưởng: Nghiên cứu sinh, học viên cao học, giảng viên và các nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu trong các chuyên ngành Toán giải tích, Lý thuyết Tối ưu hóa, Giải tích biến phân và Toán ứng dụng.
  • Các nội dung có giá trị tham khảo cao:
    • Chương 2: Cung cấp phương pháp kỹ thuật xử lý dưới vi phân Michel – Penot cho bất đẳng thức biến phân có ràng buộc nón lồi đa diện.
    • Chương 3: Cung cấp khung phương pháp luận áp dụng phần trong tựa tương đối ($qri$) để xử lý các bài toán tối ưu vô hạn chiều khi nón nón bị rỗng phần trong.
    • Chương 4: Cung cấp mô hình xây dựng điều kiện chính quy và phương pháp quy đổi tập $K_1, K_2$ cho các bài toán tối ưu và cân bằng có cấu trúc ràng buộc cân bằng/bù.

Câu hỏi thường gặp

1. Khái niệm phần trong tựa tương đối ($qri$) đóng vai trò gì trong luận án?

Trong không gian vô hạn chiều, nhiều nón thứ tự $Q$ có phần trong rỗng ($\operatorname{int} Q = \emptyset$), khiến các định lý tách lồi cổ điển không thể áp dụng. Luận án sử dụng khái niệm phần trong tựa tương đối ($qri Q \neq \emptyset$) cùng định lý tách Cammaroto – Bella để tách các tập lồi không tương giao, từ đó thiết lập thành công các điều kiện cần tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ mà không cần giả thiết $\operatorname{int} Q \neq \emptyset$.

2. Sự khác biệt giữa việc sử dụng dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel – Penot trong Chương 2 là gì?

Với hàm Lipschitz địa phương, dưới vi phân Michel – Penot là tập con của dưới vi phân Clarke ($\partial^{MP} f(\bar{x}) \subset \partial f(\bar{x})$). Do đó, điều kiện cần tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel – Penot thu được tập nhân tử nhỏ hơn, sắc bén hơn. Khi hàm khả vi Gâteaux hoặc Fréchet, dưới vi phân Michel – Penot thu về đúng đạo hàm thông thường ${\nabla f(\bar{x})}$.

3. Tại sao bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng (VEPEC) lại cần các điều kiện chính quy riêng?

Tập chấp nhận được của bài toán chứa ràng buộc cân bằng (ràng buộc bù) có cấu trúc hình học phức tạp, vi phạm hầu hết các điều kiện chính quy chuẩn của quy hoạch toán học như Mangasarian – Fromovitz hay Slater. Vì vậy, luận án phải thiết lập các điều kiện chính quy đặc thù ($\text{VEPEC-CQ1}, \text{VEPEC-CQ2}, \text{VEPEC-RC}$) để bảo đảm nhân tử Lagrange của hàm mục tiêu không triệt tiêu đồng thời, tránh nghiệm nhân tử tầm thường trong điều kiện Kuhn – Tucker.

4. Kỹ thuật giải tích nào được sử dụng để chứng minh điều kiện cần và điều kiện đủ cho bài toán VEPEC ở Chương 4?

Để chứng minh điều kiện cần cho bài toán VEPEC trên tập chấp nhận được $K$, tác giả xét bài toán phụ $(\text{VEP}_1)$ trên tập thu hẹp $K_1 \subseteq K$. Ngược lại, để chứng minh điều kiện đủ cho VEPEC, tác giả khảo sát bài toán phụ $(\text{VEP}_2)$ trên tập mở rộng $K \subseteq K_2$, kết hợp với các giả thiết về tính lồi suy rộng của các hàm thành phần.

5. Mối quan hệ giữa bài toán cân bằng vectơ (VEP) với bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVI) và tối ưu vectơ (VOP) trong luận án được thiết lập như thế nào?

Bài toán cân bằng vectơ do Blum – Oettli đề xuất là mô hình bao trùm. Khi ánh xạ cân bằng có dạng $F(x, y) = (Tx)(y - x)$, bài toán quy về bất đẳng thức biến phân vectơ (VVI); khi $F(x, y) = f(y) - f(x)$, bài toán quy về bài toán tối ưu vectơ (VOP). Các kết quả chứng minh cho VEP và VEPEC trong luận án được áp dụng trực tiếp để suy ra các định lý điều kiện tối ưu cho VVI, VOP, VVIEC và VOPEC.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Đinh Diệu Hằng đã giải quyết một cách có hệ thống lý thuyết điều kiện tối ưu cho các lớp bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán cân bằng vectơ và bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc cân bằng. Bằng việc kết hợp các công cụ giải tích không trơn (dưới vi phân Clarke, Michel – Penot, Dini), định lý tách dựa trên phần trong tựa tương đối ($qri$) và các điều kiện chính quy mới, công trình đã thiết lập các hệ điều kiện cần Fritz John, Kuhn – Tucker và điều kiện đủ chặt chẽ. Các kết quả đạt được đóng góp trực tiếp vào sự phát triển của chuyên ngành Toán giải tích và lý thuyết tối ưu hóa vectơ.