I. Tổng Quan Về Bài Toán Cân Bằng Vectơ Định Nghĩa và Ứng Dụng
Lý thuyết về điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu đã phát triển từ những giai đoạn sớm nhất của toán học. Khởi đầu là các nghiên cứu về các bài toán của phép tính biến phân cổ điển với các điều kiện tối ưu được mô tả dưới dạng phương trình Euler. Bài toán tối ưu đa mục tiêu xuất hiện trong kinh tế, kỹ thuật, giao thông vận tải và một số ngành khoa học xã hội. Các điều kiện tối ưu không trơn đã và đang phát triển mạnh mẽ dưới ngôn ngữ các dưới vi phân Clarke, Michel – Penot, Mordukhovich. Bài toán cân bằng vectơ được Blum – Oettli [9] đưa ra năm 1994. Nó bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng như bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash vectơ.
1.1. Định nghĩa bài toán cân bằng vectơ VEP và các biến thể
Bài toán cân bằng vectơ (VEP) tìm x thuộc M sao cho với mọi y thuộc M, F(x, y) không thuộc -P \ {0}. Nghiệm hữu hiệu (efficient solution) của bài toán (VEP) nếu bao hàm thức trên đúng với mọi y thuộc M. Trong trường hợp intP khác rỗng, x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu (weak efficient solution) của bài toán (VEP) nếu với mọi y thuộc M, F(x, y) không thuộc -intP. Các điều kiện cần và đủ cho bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc tìm ra nghiệm.
1.2. Các bài toán liên quan Bất đẳng thức biến phân vectơ tối ưu vectơ
Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (VVI) là trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng vectơ (VEP). Nó tìm x thuộc M sao cho (Tx)(y - x) không thuộc -P \ {0} (∀y thuộc M). Nghiệm hữu hiệu của bài toán (VVI) nếu bao hàm thức trên đúng với mọi y thuộc M. Trong trường hợp intP khác rỗng, x sẽ được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VVI) nếu (Tx)(y - x) không thuộc -intP (∀y thuộc M). Nghiệm hữu hiệu trong trường hợp P = Rm+ (t. nghiệm hữu hiệu yếu trong trường hợp P = Rm++) như sau: Không tồn tại y ∈ M sao cho T(x)k(y - x) <= 0 với mọi k thuộc J, T(x)s(y - x) < 0 với ít nhất một s thuộc J.
II. Thách Thức và Điều Kiện Cần và Đủ Trong Cân Bằng Vectơ
Nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ đã được nhiều tác giả quan tâm. Giannessi – Mastroeni – Pllegrini [19] đã dẫn điều kiện đủ tối ưu cho bất đẳng thức biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều. Morgan – Romaniello [46] thiết lập các điều kiện Kuhn – Tucker cho bất đẳng thức tựa biến phân suy rộng vectơ trong không gian Hilbert. Các điều kiện tối ưu trong [61], [63] được thiết lập bằng cách chứng minh sự tương đương giữa bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ.
2.1. Sự phức tạp của điều kiện tối ưu trong không gian vô hạn chiều
Trong không gian vô hạn chiều, việc xác định các điều kiện cần và đủ trở nên khó khăn hơn do sự phức tạp của cấu trúc không gian và tính chất của hàm vectơ giá trị. Các khái niệm như phần trong tựa tương đối (quasirelative interior) được sử dụng để thay thế phần trong thông thường, giúp mở rộng phạm vi áp dụng của các định lý tách và điều kiện tối ưu.
2.2. Vai trò của tính liên tục của hàm vectơ trong điều kiện tối ưu
Tính liên tục của hàm vectơ đóng vai trò then chốt trong việc đảm bảo sự tồn tại và tính chất của nghiệm trong các bài toán cân bằng vectơ. Đặc biệt, tính liên tục của hàm F(x, y) đối với biến y ảnh hưởng trực tiếp đến tính chất của tập nghiệm và khả năng áp dụng các điều kiện tối ưu.
2.3. Ảnh hưởng của điều kiện ràng buộc vectơ đến nghiệm bài toán
Điều kiện ràng buộc có ảnh hưởng lớn đến việc xác định nghiệm của bài toán cân bằng vectơ. Việc đưa thêm ràng buộc làm thay đổi không gian nghiệm, và đòi hỏi việc tìm kiếm nghiệm phải tuân thủ các ràng buộc đó, từ đó ảnh hưởng đến điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT).
III. Phương Pháp Xác Định Điều Kiện Tối Ưu Cách Tiếp Cận Hiệu Quả
Các điều kiện tối ưu không trơn đã và đang phát triển mạnh mẽ dưới ngôn ngữ các dưới vi phân Clarke, Michel – Penot, Mordukhovich. Jeyakumar – Luc đã tổng quát hóa các khái niệm dưới vi phân và đưa ra khái niệm dưới vi phân suy rộng (convexificator) đóng, không lồi cho hàm vô hướng trong [29] và Jacobian xấp xỉ cho hàm vectơ trong [28]. Từ đó, các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng và Jacobian xấp xỉ đã phát triển mạnh.
3.1. Sử dụng dưới vi phân Clarke Ưu điểm và hạn chế
Dưới vi phân Clarke là một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu các bài toán tối ưu không trơn. Nó cho phép định nghĩa đạo hàm theo hướng và điều kiện tối ưu cho các hàm không khả vi. Tuy nhiên, việc tính toán và sử dụng dưới vi phân Clarke có thể phức tạp trong một số trường hợp, đặc biệt khi hàm có nhiều điểm không khả vi.
3.2. Tiếp cận bằng phần trong tựa tương đối quasirelative interior
Borwein – Lewis (1992, [10]) đã đưa vào khái niệm phần trong tựa tương đối (quasirelative interior) của một tập lồi trong không gian vô hạn chiều. Cammaroto – Bella (2005, [11]) đã sử dụng khái niệm phần trong tựa tương đối của Borwein – Lewis [10] thay thế cho phần trong để chứng minh tách dưới ngôn ngữ phần trong tựa tương đối. Các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ phần trong tựa tương đối là vấn đề cần được nghiên cứu.
3.3. Ứng dụng scalarization method để giải bài toán cân bằng vectơ
Scalarization method là phương pháp chuyển bài toán cân bằng vectơ thành bài toán tối ưu vô hướng. Phương pháp này cho phép sử dụng các công cụ và kỹ thuật đã được phát triển cho bài toán vô hướng để giải quyết bài toán vectơ, tuy nhiên, việc lựa chọn hàm vô hướng phù hợp là yếu tố quan trọng để đảm bảo tính hiệu quả của phương pháp.
IV. Ứng Dụng Thực Tế Của Bài Toán Cân Bằng Vectơ Trong Các Lĩnh Vực
Bài toán cân bằng vectơ có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, giao thông vận tải và một số ngành khoa học xã hội. Nó có thể được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết các bài toán tối ưu đa mục tiêu, bài toán cân bằng Nash, và các bài toán liên quan đến bất đẳng thức biến phân.
4.1. Ứng dụng trong bài toán quy hoạch vectơ Ví dụ minh họa
Bài toán quy hoạch vectơ có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các kỹ thuật và kết quả từ lý thuyết bài toán cân bằng vectơ. Việc chuyển đổi bài toán quy hoạch vectơ thành bài toán cân bằng vectơ cho phép tận dụng các điều kiện tối ưu và phương pháp giải đã được phát triển cho bài toán cân bằng.
4.2. Ứng dụng để giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân Cách tiếp cận
Bài toán bất đẳng thức biến phân là một trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng vectơ. Do đó, các kỹ thuật và kết quả từ lý thuyết bài toán cân bằng vectơ có thể được áp dụng để giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân. Điều này cho phép tìm ra nghiệm hiệu quả và phân tích tính chất của nghiệm.
4.3. Sử dụng trong mô hình hóa cân bằng Nash Lợi ích và hạn chế
Bài toán cân bằng vectơ có thể được sử dụng để mô hình hóa cân bằng Nash trong các trò chơi không hợp tác. Việc sử dụng bài toán cân bằng vectơ cho phép phân tích và tìm ra các điểm cân bằng Nash, tuy nhiên, mô hình hóa này có thể phức tạp và đòi hỏi nhiều giả định đơn giản hóa.
V. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Về Cân Bằng Vectơ
Luận án đã trình bày các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua phần trong tựa tương đối, các điều kiện cần Fritz John và Kuhn – Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không trơn với ràng buộc cân bằng dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, các điều kiện cần và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ. Các kết quả được áp dụng để dẫn các điều kiện tối ưu cho bài toán bất đẳng thức vectơ và bài toán tối ưu vectơ.
5.1. Tóm tắt các điều kiện tối ưu chính đã được thiết lập
Luận án đã thiết lập các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ, bao gồm điều kiện cần và đủ, điều kiện Fritz John và Kuhn-Tucker. Các điều kiện này được phát biểu dưới ngôn ngữ các dưới vi phân khác nhau và phần trong tựa tương đối, và được áp dụng cho các bài toán bất đẳng thức biến phân và tối ưu vectơ.
5.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo Thuật toán giải bài toán cân bằng vectơ
Một hướng nghiên cứu tiềm năng là phát triển các thuật toán hiệu quả để giải bài toán cân bằng vectơ trong các trường hợp khác nhau. Các thuật toán này có thể dựa trên các điều kiện tối ưu đã được thiết lập và sử dụng các kỹ thuật tối ưu hóa hiện đại để tìm ra nghiệm tối ưu.
5.3. Mở rộng bài toán cân bằng vectơ cho hàm vectơ giá trị tập hợp
Một hướng nghiên cứu khác là mở rộng bài toán cân bằng vectơ cho hàm vectơ giá trị tập hợp (set-valued mapping). Việc mở rộng này cho phép mô hình hóa các bài toán phức tạp hơn và nghiên cứu các tính chất của nghiệm trong môi trường không chắc chắn.
