I. Phương pháp song song
Phương pháp song song là một hướng tiếp cận hiệu quả để giải quyết các bài toán phức tạp trong toán học ứng dụng. Trong nghiên cứu này, phương pháp song song được áp dụng để tìm nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn. Phương pháp này tận dụng tính toán song song để tăng tốc độ hội tụ của các thuật toán lặp, đồng thời giảm thiểu các điều kiện ràng buộc trên hàm F. Cụ thể, phương pháp loại bỏ điều kiện liên tục Lipschitz và thay thế tính đơn điệu bằng tính giả đơn điệu, giúp mở rộng phạm vi ứng dụng của bài toán.
1.1 Xây dựng dãy lặp
Dãy lặp được xây dựng dựa trên phương pháp đạo hàm tăng cường kết hợp với phương pháp lặp của Mann. Cụ thể, dãy lặp được định nghĩa như sau: x0 ∈ C, yk = PrC(xk − λkF(xk)), xk+1 = αkxk + (1 − αk)S(PrC(xk − λkF(yk))). Phương pháp này chỉ sử dụng một phép chiếu, giúp giảm độ phức tạp tính toán. Các tham số λk và αk được chọn thỏa mãn điều kiện hội tụ, đảm bảo dãy {xk} hội tụ yếu đến nghiệm chung của bài toán.
1.2 Kết quả hội tụ
Kết quả hội tụ của phương pháp được chứng minh dựa trên tính chất của phép chiếu và ánh xạ không giãn. Dãy lặp {xk} hội tụ yếu đến điểm chung x∗ ∈ Sol(F, C) ∩ F ix(S), trong đó x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động của ánh xạ không giãn. Điều này được chứng minh bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và tính chất hội tụ yếu trong không gian Hilbert.
II. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Bài toán bất đẳng thức biến phân (V I(F, C)) là một trong những bài toán quan trọng trong toán học ứng dụng, với nhiều ứng dụng trong tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, và cân bằng mạng giao thông. Bài toán được phát biểu dưới dạng: Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C. Trong nghiên cứu này, bài toán được mở rộng bằng cách kết hợp với tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, tạo thành bài toán tổng quát hơn. Phương pháp giải quyết bài toán này dựa trên tính chất của hàm F, bao gồm tính giả đơn điệu và tính liên tục Lipschitz.
2.1 Điều kiện tồn tại nghiệm
Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân được xác định dựa trên tính chất của hàm F và tập C. Nếu hàm F là giả đơn điệu và tập C là lồi, đóng, khác rỗng, thì bài toán luôn có nghiệm. Ngoài ra, nếu hàm F đơn điệu mạnh, nghiệm của bài toán là duy nhất. Các điều kiện này được sử dụng để chứng minh sự hội tụ của dãy lặp trong phương pháp song song.
2.2 Các trường hợp riêng
Bài toán bất đẳng thức biến phân bao gồm nhiều trường hợp riêng quan trọng, chẳng hạn như bài toán bù phi tuyến và bài toán cân bằng mạng giao thông. Trong bài toán bù phi tuyến, tập C được chọn là Rn+, và nghiệm x∗ thỏa mãn F (x∗ ) ∈ Rn+ và hF (x∗ ), x∗ i = 0. Bài toán cân bằng mạng giao thông liên quan đến việc tối ưu hóa lưu lượng giao thông trên các tuyến đường, với hàm F biểu diễn chi phí giao thông.
III. Nghiên cứu phương pháp
Nghiên cứu phương pháp trong đề tài này tập trung vào việc cải tiến các phương pháp hiện có để giải bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn. Phương pháp mới được đề xuất dựa trên việc kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường và phương pháp lặp của Mann, đồng thời loại bỏ một phép chiếu và giảm nhẹ các điều kiện của hàm F. Kết quả nghiên cứu được áp dụng cho bài toán cân bằng và một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, mở rộng phạm vi ứng dụng của bài toán.
3.1 Phương pháp tối ưu
Phương pháp tối ưu được đề xuất trong nghiên cứu này dựa trên việc kết hợp các tính chất của phép chiếu và ánh xạ không giãn. Phương pháp này giảm nhẹ các điều kiện của hàm F từ đơn điệu xuống giả đơn điệu, đồng thời loại bỏ điều kiện liên tục Lipschitz. Kết quả tính toán cho thấy phương pháp mới có tốc độ hội tụ nhanh hơn so với các phương pháp truyền thống.
3.2 Giải thuật song song
Giải thuật song song được sử dụng để tăng tốc độ tính toán và cải thiện hiệu suất của phương pháp. Giải thuật này tận dụng tính toán song song để xử lý đồng thời các bước lặp, giúp giảm thời gian tính toán và tăng khả năng ứng dụng của phương pháp trong các bài toán thực tế.
