Chương 1 là chương có tính chất bổ trợ, cung cấp những vấn đề cơ bản nhất về bài toán bất đẳng thức biến phân và ánh xạ không giãn. Cụ thể, chương này đề cập tới một số khái niệm cần thiết như: hàm lồi và tập lồi, phép chiếu lên tập lồi đóng. Bên cạnh đó, định nghĩa về ánh xạ không giãn cùng với các định lý điểm bất động nổi tiếng cũng được trình bày khá chỉ tiết. Sau đó, đề tài giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân và các trường hợp riêng, trình bày các điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán này.
Chương 2 đưa ra một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với giả thiết hàm #' giả đơn điệu không liên tục Lipschitz trên không gian Hilbert thực ? và tập điểm bất động của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn Š;. Phương pháp này cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường Nadezhkina và Takahashi với phương pháp lặp của Mamn để làm giảm nhẹ các điều kiện của hàm #' từ đơn điệu xuống giả đơn điệu, đồng thời loại bỏ một phép chiếu và điều kiện liên tục Lipschitz. Sau đó áp dụng kết quả đạt được cho bài toán cân bằng và một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn. Các kết quả chính của đề tài được hướng dẫn sinh viên nghiên cứu khoa học và công bố trong 01 bài báo đã được chấp nhận đăng: e D6 Duy Thanh (2018), "Phương pháp một phép chiếu tìm phần tử chung của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn", 7gp chí khoa học, Đại học Hải Phòng.
CHUONG 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert thực Các khái niệm hội tụ mạnh và yếu là những khái niệm rất cơ bản trong không gian Hilbert. Nó là cơ sở để xây dựng và chứng minh các định lý hội tụ của các thuật toán sau này. Dấy {zÈ} trong không gian Hilbert TỈ gợi là hội tụ mạnh đến œ€ Tí nếu: lim ||z# — z|| = 0. Dấy {+*} trong không gian Hilbert ?L gọi là hội tụ yếu đến z € Tí néu: lim (x*,y) = (x,y), Vy €H.
Cho mét khong gian Hilbert thuc H, day {a*} oà + thuộc ?H. Khi đó, ta có ? éu c* + a, thick > 2; i) Néu x* hi at (it) Néua® — x va ||a*|| > |x|) trong H, thi x® > 2; ( Nếu không gian Hilbert H la httu han chiéu, thà sự hội tụ mạnh va sv hdi tu yếu là tương đương; (iv) Néu day x* bi chan trong khong gian Hilbert H, thi ta trích ra được một dãy con hội tụ tiếu.2 Hàm lôi và dưới vi phân của hàm lồi 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1. Cho Œ là một tập cơn khác rỗng của một không gian Hilbert thực ?(. Œ được gợi là tập lồi nếu uới Vz, € Ở oà À € |0, 1], ta có Àz+(1—À)u€C.
Tap con C trong không gian ?( được gợi là nón nếu Àz€ Œ, Vz€(Œ, À>0. Tập con C trong không gian TÍ được gợi là nón lồi nếu nó uừa là nón vita la tap lồi, tức là Àz + ụ € C, Vz,€ Œ, À,> 0. Tập IR† là nớn loi trong R”. Cho không gian Hilbert thuc H, C CH la mot tap loi vax € C, nón pháp tuyến ngoài của C tai x°, ki hiéu la Ne(#9) à được xác định bởi công thúc No(2®) = {p € H: (p,x — 2°) <0, Va € Ch.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.
Cho không gian Hilbert thucH, C C H va hàm ƒ : CƠ > RU {+œ,T—oo}. Kh¿ đó tập hợp domf :={x €C': f(x) < +oo} epif := {(t,a) € CXR: f(x) < a} duoc goi la mién xác định oà tập trên đồ thị của ƒ(). Hàm f duoc goi la chinh thường trên Ở nếu domf #0, f(x) > —o0, Vr EC. Cho Ở là một tập cơn lỗi uà khác rỗng của R" va ham f :C > RU{+e}.
Khi đó, ƒ được gọi là ham lỗi trên Œ nếu tập trên đồ thị của nó là một tap loi trong R” x R. Cho khéng gian Hilbert thuc H va C CH. Khi do, ham f : C > RU{+œ} được gọi là lồi trên Œ nếu uà chỉ nếu V+, € Œ, À € [0,1], ta có Z(@z + (T— ÀJ) Š Àƒ(z) + (1— À)f0): Ví dụ 1. Hàm ƒ(z) = +? là lồi trên toàn bộ IR.
Thật vậy, với Vz, € IR,uu € (0, 1],A\ +4 =1, ta cé (x—y)? > 0 & \u(a? + y? — 2xy) > 0 & \px? + Apy? — 2QApary > 0 & A(1— Aja? + (1 — py? — 2Apery > 0 & ha? + py? > a? + pPy? + Q2pay & Ax? + py? > (Av + py)? = Af(x) + f(y) = f(Ax + py). Cho khong gian Hilbert H, C CH. Ham f : C + RU{+o0} duoc gọi là lồi chặt trên Œ, nếu tới Vz, € Œ,z+ # ụ,À € (0,1), ta có f(Aw + (L= A)y) < AF(x) + (1 = A) FY). Hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.
Trong không gian R*, xét hàm ƒ(z) = ||z||. Dễ thấy f(x) là hàm lồi. Nếu trên JR”\{0} thì ƒ(z) không lồi chặt. Thật vậy, lấy z € JR*\{0} và À € (0, 1), ta có JAz + Œ=A)0J = Allzl| + Œ = À)||0|I: Vay f(a) = ||z|| không lồi chặt.
Cho không gian Hilbert ?(, Ở C?(. Hàm Ƒ được gọi là lồi mạnh trên Ơ, nếu uới Vz, € Œ,À € (0,1), 38 > 0 sao cho ƒ(z + (~ ÀJg) S AF(@) + (1A) Fly) — ACL = A) lle = yl’. Khi đó, 9 được gọi là hằng số lồi mạnh của ƒ. Cho khong gian Hilbert thuc H.
V6i « € H xét ham f(x) = ĐK, ta thấy: Với Vz, € Œ;À € (0,1), ta có AƒŒ)+(—À)ƒZ@) — ƒ(Az + (1 = A)y) _ alee +- ny lui _ JAz+ u À)u| = AB +- nie — ye -(- nal ~\1—A)(e, y) = 3# ~®(Izl? + lu? ~ 2. 2 Vậy, hàm ƒ(ø) = 2 i lồi mạnh với hệ số 8 = 1. Dưới vỉ phân hàm lồi Định nghĩa 1. Cho khong gian Hilbert H,C CH va ham chinh thuong f :C—- RU {+oo}.
Mét vecto p € Œ được gọi là dưới gradient của ƒ tại z0 € Ở nếu (+— #”) + ƒ(4°) < f(a), Vee C. Tập tất cả các dưới gradient của ƒ tại #) được gọi là dưới vi phân của f tai x°, kí hiệu Of(0°) = {p EC: (px — 0) + f(0°) < fla), Vee Ch. Ham f dugc goi là kha dudi vi phan tai x° néu Of(x°) £0. Cho Œ là một tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert H.
Xét ham chỉ trén C: 0 khi z2 € Œ ôo(z)) = +00 khi z° £ Œ 10 Khi đó 06c(2°) = No(x°), Vx € C. That vay, néu x° € C thi 0d¢(2°) = 0 va O50(2°) = {p EH: Adg(x) > (p, a — 2°), Va € Ch. Cho C la một tập cơn lôi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H va ff: C —> ]R là một khả dưới ui phân trên Ơ. Diều kiện cần uà đủ để điểm x €C là cực tiểu của ƒ trên Ở là 0 € Of (a*) + No(a*).
Trong dé Of (x*) la ké hiéu dudi vi phan ctia ham f tai x*, No(a*) la ki hiéu ctia nón pháp tuyến ngoài của C tai x*.3 Phép chiếu và các tính chất Định nghĩa 1. Cho Ở là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thục ?(. Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao của một điểm + € Tí lên Œ, kí hiệu Prc(w) được xác định bởi Pro(x) = argmin{||z — ||: € C}. Sau đây là một số tính chất quan trọng của phép chiếu Tính chất 1.
(7) Từ định nghĩa, ta có Pro(+) là nghiệm duy nhất của bài toán lồi mạnh min 5llv-<l?: vec}.1) Do do véi méi x € H, Pro(zx) tồn tại và duy nhất. () Vì Pre(z) là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1) hay bài toán tối ưu không ràng buộc min {š || — «|? + c(w)} với hàm mục tiêu lồi mạnh nên theo điều kiện tối u hóa của bài toán cực tiểu hàm lồi khả dưới vi phân, ta có 0€ Pre(+) — z+ Ne(Prec(z)), trong đó We(Prc(ø)) là nón pháp tuyến ngoài tại điểm Prc(z) trên Œ. Điều này dẫn tới z — Pro(œ) € No(Pro(z)). Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài, ta duge (ii).
Tương tự, ta cũng có (y— Pre(y), Pre(x) — Pre(y)) < 9. Cộng hai bất đẳng thức trên cho ta (). (z) Trường hợp này suy ra trực tiếp từ (2) bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho về phải của bất đẳng thức này. Bất đẳng thức tương đương với ().4 Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động Định nghia 1.
Cho C là một tập cơn lồi, đóng, khác rỗng của ?(. Ánh wa S:C3C được gọi là ánh zạ không giãn, nếu: IIS() — 50)|| < ll+ — 9|, Yz, € Œ. Cho S: C > C là một ánh zạ không giãn. Một diém x € C duoc gợi là diém bat dong ctia anh ra S néu S(x) = x.
Ki hiéu Fix(S) la tap céc diém bắt động của S. Cho Ở là một tập cơn lồi, đóng, bị chăn của ?(. Khi đó mọi ánh xạ không giãn S : Ở —> Ở có điểm bắt động trong Ơ. Cho Œ là một tập cơn lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong ?(.
Khi đó, mọi ánh xạ không giãn S : Ơ —> Ở có điểm bắt động trong Œ.5 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho Ở là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của ? và `: Ở — ?{. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu VI(F, Ơ) được phát biểu dưới dạng: Tìm z” € Ở sao cho (Ƒ'(+Ÿ),# — #”) > Ú với mọi z € C. 13 Trong đó, #' được gọi là ánh zạ giá. Một biểu diễn hình học của bài toán bất đẳng thức biến phân V7(Ƒ,C) có dạng z” € C là một nghiệm của V7(#, Œ) khi và chỉ góc tạo bởi vectơ Ƒ(+*) va vectơ #/— #* là góc nhọn hoặc vuông với mọi € Œ.
Cho Œ là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của ?L uà một anh xa F:C SH. Anh za F duoc gọi là (a) don điệu mạnh trên C với hằng số 8 > 0, nếu (F(x) — F(y),«—y) > Øll#— v|Ẻ.