I. Luận Văn Thạc Sĩ
Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach. Đây là một chủ đề quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt là trong lĩnh vực tối ưu hóa và điều khiển. Luận văn được thực hiện bởi Trần Học Toàn dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Thị Thu Thủy tại Đại học Thái Nguyên. Nội dung chính của luận văn bao gồm hai chương, trong đó chương đầu tiên giới thiệu về bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan, còn chương thứ hai trình bày các phương pháp xấp xỉ nghiệm trong không gian Banach.
1.1. Bất đẳng thức biến phân
Bất đẳng thức biến phân là một công cụ toán học quan trọng, được sử dụng rộng rãi trong các bài toán tối ưu hóa, điều khiển, và cân bằng. Luận văn bắt đầu bằng việc giới thiệu bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và không gian Hilbert, sau đó mở rộng sang không gian Banach. Các khái niệm cơ bản như ánh xạ đơn điệu, phép chiếu mêtric, và nghiệm bất đẳng thức được trình bày chi tiết. Đặc biệt, luận văn nhấn mạnh mối liên hệ giữa bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan như bài toán điểm bất động và bài toán cực trị.
1.2. Không gian Banach
Không gian Banach là một không gian toán học quan trọng, nơi các phương pháp xấp xỉ nghiệm được áp dụng. Luận văn trình bày các tính chất của không gian Banach, đặc biệt là các ánh xạ j-đơn điệu và bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu. Các phương pháp tính toán trong không gian Banach được giới thiệu, bao gồm các kỹ thuật lặp và sự hội tụ của các phương pháp này. Luận văn cũng đưa ra các ví dụ minh họa để làm rõ các khái niệm và phương pháp được trình bày.
II. Xấp xỉ nghiệm
Chương thứ hai của luận văn tập trung vào việc xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach. Các phương pháp lặp được trình bày chi tiết, bao gồm các bước thực hiện và điều kiện hội tụ. Luận văn cũng đưa ra các ví dụ minh họa để chứng minh tính hiệu quả của các phương pháp này.
2.1. Phương pháp lặp
Các phương pháp lặp được sử dụng để xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach. Luận văn trình bày hai phương pháp lặp chính, bao gồm phương pháp lặp đơn giản và phương pháp lặp kết hợp. Các điều kiện hội tụ của các phương pháp này được phân tích chi tiết, đảm bảo rằng các nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ về nghiệm chính xác của bất đẳng thức biến phân. Các ví dụ minh họa được đưa ra để làm rõ các bước thực hiện và kết quả thu được.
2.2. Ứng dụng thực tế
Bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như kinh tế, giao thông, và công nghệ. Luận văn nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xấp xỉ nghiệm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Các phương pháp được trình bày trong luận văn có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán cân bằng trong kinh tế, bài toán khôi phục tín hiệu, và bài toán phân phối băng thông. Các ví dụ minh họa cụ thể được đưa ra để chứng minh tính hiệu quả của các phương pháp này trong thực tế.
