CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Khái niệm bài toán. Phương pháp giải toán 1. Bài toán Trong các tài liệu về lý luận dạy học môn Toán, người ta hầu như không định nghĩa khái niệm “Bài toán” vì vậy có nhiều cách hiểu khác nhau: - Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa [1]: “Khái niệm bài toán hiểu là một công việc hoàn thành được nhờ những phương thức đã biết trong những điều kiện cho trước”.Polya [3]: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”.
Do vậy bài toán cùng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ. Phân loại bài toán Để dùng các bài toán một cách tiện dụng nhất và đạt được những mục đích nhất định thì các bài toán phải được phân loại theo nhiều cách khác nhau.Polya [4] “Một sự phân loại tốt phải chia bài toán thành những loại (kiểu, dạng) sao cho mỗi loại bài toán xác định trước một phương pháp giải”. Dựa vào mục đích của các bài toán, ông chia bài toán thành hai loại: các bài toán về tìm tòi và các bài toán về chứng minh. - Bài toán dạng tìm tòi: gồm các bài toán tính toán, dựng hình, tập hợp điểm, toán giải phương trình hoặc bất phương trình.
Yêu cầu của các bài toán thuộc dạng này thường được thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng. - Bài toán dạng chứng minh: Yêu cầu với các bài toán ở dạng này thường được thể hiện bằng các cụm từ: chứng minh rằng, chỉ ra, tại sao. Phần chính của bài toán bao gồm những điều đã cho (giả thiết) và những điều cần phải 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com chứng minh (kết luận). Để giải được những bài toán ở dạng này cần phải tìm ra được mối liên hệ giữa những cái đã cho biết với cái cần chứng minh.
Trong thực tế học sinh thường gặp bài toán mà trong đó có phần là bài toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh và bài toán có nội dung thực tiễn. Những bài toán đó được gọi là bài toán tổng hợp. Ngoài ra dựa vào nội dung, bài toán có được phân chia thành các loại: bài toán số học, bài toán đại số và bài toán hình học. Nói riêng với các bài toán hình học, chúng thường có thể phân thành các loại như: tính toán, chứng minh, tìm quỹ tích và dựng hình.
Phương pháp giải bài toán Có thể nêu ra phương pháp chung để giải bài toán theo những gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải một bài toán, những tư tưởng tổng quát cùng với những đã được kiểm nghiệm thông qua quá trình thực tiễn dạy học, như sau: - Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (hiểu bài toán) + Phát biểu đề bài với những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán. + Phân biệt cái đã cho với cái phải tìm, phải chứng minh. + Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài. - Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải) + Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích.
+ Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,. + Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để có cách giải hợp lý nhất. 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Bước 3: Trình bày lời giải (thực hiện chương trình giải) Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. - Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải + Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải.
+ Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.391,392] Ví dụ 1: Cho biết hình chóp S.ABC với tam giác ABC ở đáy vuông cân tại A. Biết b 6 AB AC b và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính góc 2 giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Hướng dẫn giải Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Giáo viên Học sinh Yêu cầu học sinh: - Đọc kỹ nội dung đầu bài - Đọc kỹ nội dung đề bài - Xác định giả thiết, kết luận của bài - Xác định rõ giả thiết, kết luận của bài - Vẽ hình - Tiến hành vẽ hình Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải toán) Giáo viên Học sinh Hỏi học sinh về cách xác định góc giữa Cách 1: Xác định hai đường thẳng a, b hai mặt phẳng (P) và (Q)? lần lượt vuông góc với (P) và (Q).
Cách 2: - Xác định đường thẳng d chung (giao tuyến) của hai mặt phẳng (P) và (Q). 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giáo viên Học sinh - Trong (P) và (Q) lần lượt xác định các đường thẳng a, b vuông góc với d. - Giao tuyến giữa (SBC) và (ABC): BC - Gọi N là trung điểm của BC, ta chứng minh được SN và AN cùng vuông góc với BC. Bước 3: Thực hiện chương trình giải toán S Chóp S.
ΔABC có M GT A 90 , AB AC b .1 B KL (( SBC ),( ABC )) ? SA AB Từ SA ( ABC ) SAB SAC 90 (1) SA AC Xét tam giác SAB và SAC có SA (lµ c¹nh chung ) SAB SAC 90 (1) SAB SAC SB SC AB AC (gi¶ thiÕt ) Do đó ΔSBC cân tại S. 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi N là trung điểm BC suy ra SN BC, AN BC (SN, AN lần lượt là đường trung tuyến ứng với đỉnh cân của tam giác SBC và ABC). Từ đó ta có (( SBC ),( ABC )) ( SN , AN ) SNA. b 6 b 2 Trong tam giác SNA vuông tại A có SA (giả thiết), AN (nửa đường 2 2 chéo hình vuông cạnh b) nên SA tan SNA 3 SNA 60 (( SBC ),( ABC )) 60.
AN Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại toàn bộ lời giải và từ bài tập này rút ra các bước tính góc giữa hai mặt phẳng theo cách 2. Tiếp sau đó, giáo viên yêu cầu học sinh thử tìm lời giải theo cách 1. Với cách này học sinh có thể trình bày lời giải như sau: Từ A kẻ AM SN tại M. Ta chứng minh được AM ( SBC ).
Thật vậy SN BC , AN BC BC ( SNA) và AM ( SNA) suy ra BC AM , AM SN (vẽ hình) và BC AM (chứng minh trên) suy ra AM ( SBC ). 1 1 1 Ta có ( ΔSNA vuông tại A, AM là đường cao) AM 2 SA2 AN 2 2 2 1 2 2 8 b 6. Khi đó, ta có AM. AM 2 b 6 b 2 3b 2 4 AM b 6 b 6 1 Mà ΔSAM vuông tại M nên có cos 60.
SA 4 2 2 Qua hai cách giải, học sinh nắm được các bước xác định và tính góc tạo bởi hai mặt phẳng. Hơn nữa bài toán trong ví dụ 1 khi giải theo cách 2 sẽ ngắn gọn và hay hơn cách 1. Tuy nhiên cách 1 là cách cơ bản mà học sinh phải biết. 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Chức năng của bài tâp toán Ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học, mỗi bài tập toán đều có thể có những chức năng sau: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra. Trong đó (theo Vũ Dương Thụy): - Chức năng dạy học: qua giải bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. - Chức năng giáo dục: giải bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. - Chức năng phát triển: bài toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: bài tập toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh. Các chức năng nói trên đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học. Việc dạy toán ở trường phổ thông có hiệu quả hay không phụ thuộc vào sự khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập bằng năng lực sư phạm của giáo viên. Kỹ năng giải toán 1.
Kỹ năng Thực tiễn cuộc sống buộc con người phải giải quyết các vấn đề dựa vào việc vận dụng vốn hiểu biết cùng với kinh nghiệm của bản thân. Khi đó con người cũng dần dần hình thành cho mình những kỹ năng giải quyết các vấn đề đặt ra. Có khá nhiều khái niệm về kỹ năng. 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Theo [12] “kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”.
Theo [13] “kỹ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau”.386] “kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”.Polya còn khẳng định rằng [4] “ trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.