I. Mở đầu
Luận văn này nghiên cứu về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện. Lý do chọn đề tài xuất phát từ sự phát triển của lý thuyết phạm trù, đặc biệt là phạm trù monoidal và các ứng dụng của nó trong toán học. Các khái niệm như phạm trù Picard và nhóm phạm trù phân bậc đã được nghiên cứu sâu rộng, mở ra nhiều hướng đi mới trong nghiên cứu toán học. Mục tiêu của luận văn là phân tích cấu trúc của các đại số phạm trù và ứng dụng lý thuyết cản trở để giải quyết các bài toán mở rộng nhóm. Những kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
II. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard. Các khái niệm này là nền tảng cho việc nghiên cứu sâu hơn về mở rộng nhóm. Đặc biệt, các định nghĩa về đối đồng điều và hệ nhân tử được giới thiệu, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cấu trúc của các nhóm phạm trù. Việc phân lớp các nhóm phạm trù bện và các hệ thống liên quan cũng được thảo luận, nhấn mạnh tầm quan trọng của chúng trong việc phát triển lý thuyết. Những kiến thức này sẽ là cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo trong luận văn.
III. Hệ nhân tử trong các phạm trù Picard phân bậc
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu hệ nhân tử trong các phạm trù Picard phân bậc. Các kết quả cho thấy rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc có thể được mô tả thông qua một mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử. Điều này không chỉ giúp làm rõ cấu trúc của các phạm trù mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán mở rộng nhóm. Các định lý được trình bày trong chương này cung cấp những công cụ mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các vấn đề liên quan đến mở rộng nhóm và nhóm phạm trù phân bậc.
IV. Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện
Chương này nghiên cứu về môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Các khái niệm này được phát triển từ lý thuyết môđun chéo và có ứng dụng quan trọng trong việc phân lớp các môđun chéo bện. Việc xác định mối liên hệ giữa các môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện cho thấy sự tương đồng giữa các cấu trúc này. Các kết quả trong chương này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các nghiên cứu thực tiễn về mở rộng nhóm.
V. Mở rộng nhóm đẳng biến và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ
Chương cuối cùng của luận văn tập trung vào mở rộng nhóm đẳng biến và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ. Các kết quả cho thấy rằng việc phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến có thể được thực hiện thông qua các khái niệm đã được giới thiệu trong các chương trước. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán mở rộng nhóm trong tương lai. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm và lý thuyết môđun.
