I. Khái niệm về số t cân bằng
Chương này giới thiệu khái niệm về số t-cân bằng, một dạng số học đặc biệt được nghiên cứu bởi các nhà toán học như Behera, Panda, và Özkoç. Số t-cân bằng được định nghĩa thông qua công thức truy hồi: Bnt = 6tBn−1t − Bn−2t, với B0t = 0 và B1t = 1. Các số này có mối liên hệ chặt chẽ với phương trình sai phân và các giá trị đặc trưng α và β. Công thức Binet được sử dụng để biểu diễn các số t-cân bằng dưới dạng tổng quát: Bnt = (αn − βn) / √(9t2 − 1).
1.1. Định nghĩa và công thức truy hồi
Số t-cân bằng được định nghĩa thông qua công thức truy hồi: Bnt = 6tBn−1t − Bn−2t, với B0t = 0 và B1t = 1. Công thức này cho phép tính toán các số t-cân bằng một cách hiệu quả. Ví dụ, các số t-cân bằng đầu tiên là 1, 6t, 36t2 − 1, v.v. Công thức Binet cung cấp biểu diễn tổng quát của Bnt dưới dạng α và β, hai nghiệm của phương trình đặc trưng x2 − 6tx + 1 = 0.
1.2. Mối liên hệ với số Lucas t cân bằng
Số Lucas t-cân bằng Cnt được định nghĩa tương tự với công thức truy hồi: Cnt = 6tCn−1t − Cn−2t, với C0t = 1 và C1t = 3. Các số này có mối liên hệ chặt chẽ với số t-cân bằng thông qua công thức: Cnt = 3Bnt − Bn−1t. Điều này cho thấy sự tương đồng và khác biệt giữa hai dãy số này trong nghiên cứu số học.
II. Tính chất số học của số t cân bằng
Chương này tập trung vào các tính chất số học của số t-cân bằng, bao gồm tính chia hết và ước chung lớn nhất. Các số t-cân bằng liên tiếp nguyên tố cùng nhau, tức là (Bnt, Bn−1t) = 1. Hơn nữa, ước chung lớn nhất của Bnt và Bmt là B(n,m)t. Các tính chất này được chứng minh thông qua thuật toán Euclid và các bổ đề liên quan.
2.1. Tính chia hết và ước chung lớn nhất
Các số t-cân bằng liên tiếp nguyên tố cùng nhau, tức là (Bnt, Bn−1t) = 1. Điều này được chứng minh bằng thuật toán Euclid. Hơn nữa, ước chung lớn nhất của Bnt và Bmt là B(n,m)t. Tính chất này cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các số t-cân bằng trong nghiên cứu số học.
2.2. Tính chất của số Lucas t cân bằng
Tương tự, các số Lucas t-cân bằng cũng có tính chất số học đặc biệt. Hai số Lucas t-cân bằng liên tiếp nguyên tố cùng nhau, tức là (Cnt, Cn−1t) = 1. Ngoài ra, ước chung lớn nhất của Cnt và Cmt là C(n,m)t. Các tính chất này được chứng minh thông qua các phương pháp tương tự như với số t-cân bằng.
III. Tổng của các số t cân bằng
Chương này trình bày các tính chất liên quan đến tổng của các số t-cân bằng, số t-đối cân bằng, và số Lucas t-cân bằng. Các công thức tổng quát được đưa ra để tính tổng của n số đầu tiên trong các dãy số này. Ví dụ, tổng của n số t-cân bằng đầu tiên được tính bằng công thức: ΣBit = [(6t − 1)Bnt − Bn−1t − 1] / (6t − 2).
3.1. Tổng của các số t cân bằng
Tổng của n số t-cân bằng đầu tiên được tính bằng công thức: ΣBit = [(6t − 1)Bnt − Bn−1t − 1] / (6t − 2). Công thức này được chứng minh thông qua việc sử dụng công thức truy hồi và các tính chất của dãy số. Ví dụ, tổng của 5 số t-cân bằng đầu tiên có thể được tính một cách dễ dàng bằng công thức này.
3.2. Tổng của các số Lucas t cân bằng
Tương tự, tổng của n số Lucas t-cân bằng đầu tiên được tính bằng công thức: ΣCit = [(6t − 1)Cnt − Cn−1t − 2] / (6t − 2). Công thức này cho thấy sự tương đồng trong cách tính tổng giữa các dãy số t-cân bằng và Lucas t-cân bằng.
