I. Kiến thức chuẩn bị
Chương này cung cấp những kiến thức cơ bản về Ánh xạ đa trị và nguyên lý biến phân Ekeland. Ánh xạ đa trị được định nghĩa là ánh xạ từ một tập hợp X vào tập hợp con của Y. Định nghĩa này cho phép mỗi phần tử x trong X có thể ánh xạ đến nhiều phần tử trong Y. Nguyên lý biến phân Ekeland là một công cụ quan trọng trong Toán học ứng dụng, giúp tìm kiếm điểm cực tiểu trong không gian mêtric. Định lý này khẳng định rằng nếu một hàm nửa liên tục dưới có giá trị nhỏ hơn một ngưỡng nhất định, thì tồn tại một điểm gần đó mà hàm này vẫn giữ được tính chất tương tự. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các bài toán tối ưu trong Toán học.
1.1. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa về Ánh xạ đa trị cho thấy sự khác biệt giữa ánh xạ đơn trị và đa trị. Trong khi ánh xạ đơn trị chỉ ánh xạ mỗi phần tử x đến một phần tử duy nhất trong Y, ánh xạ đa trị cho phép ánh xạ đến một tập hợp các phần tử. Điều này mở ra nhiều khả năng trong việc nghiên cứu các bài toán phức tạp hơn trong Toán học giải tích. Các khái niệm như đồ thị và miền hữu hiệu của ánh xạ cũng được giới thiệu, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cấu trúc của ánh xạ đa trị.
1.2. Một số định nghĩa
Chương này cũng trình bày một số định nghĩa quan trọng liên quan đến không gian mêtric. Các khái niệm như khoảng cách Hausdorff và các loại mêtric khác nhau được định nghĩa rõ ràng. Những định nghĩa này là nền tảng cho việc nghiên cứu tính chính quy mêtric trong các chương tiếp theo. Việc hiểu rõ các khái niệm này sẽ giúp người đọc áp dụng chúng vào các bài toán thực tiễn trong Toán học ứng dụng.
II. Lý thuyết chính quy mêtric trên tập cố định
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu Tính chính quy mêtric của các ánh xạ đa trị trên một tập cố định. Tính chính quy mêtric địa phương và toàn cục được phân tích chi tiết. Tính chính quy địa phương liên quan đến việc xem xét các ánh xạ gần một điểm cụ thể, trong khi tính chính quy toàn cục mở rộng ra cho toàn bộ không gian. Các đặc trưng của tính chính quy toàn cục được làm rõ, bao gồm các tiêu chuẩn chính quy và định lý trù mật. Những khái niệm này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán tối ưu trong Toán học.
2.1. Lý thuyết chính quy mêtric địa phương
Tính chính quy mêtric địa phương được định nghĩa gần một điểm thuộc đồ thị của ánh xạ đa trị. Các điều kiện cần thiết để ánh xạ được coi là chính quy mêtric gần một điểm cụ thể được trình bày rõ ràng. Điều này giúp người đọc hiểu được cách thức mà các ánh xạ có thể duy trì tính chính quy trong các điều kiện nhất định. Các mệnh đề tương đương giữa tính chính quy mêtric và các điều kiện khác cũng được nêu ra, tạo cơ sở cho việc áp dụng trong các bài toán thực tiễn.
2.2. Lý thuyết chính quy mêtric toàn cục
Tính chính quy mêtric toàn cục được nghiên cứu trong bối cảnh các ánh xạ đa trị trên toàn bộ không gian. Các định nghĩa về tính mở và tính chính quy mêtric được đưa ra, cùng với các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính quy toàn cục. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển lý thuyết về ánh xạ đa trị và ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các bài toán thực tiễn.
III. Ứng dụng trong các định lý điểm bất động đa trị
Chương cuối cùng của luận văn tập trung vào việc ứng dụng các kết quả đã đạt được vào các định lý về điểm bất động. Sự tồn tại của điểm bất động và tính ổn định của bài toán điểm bất động được phân tích kỹ lưỡng. Các định lý về sự tồn tại điểm bất động kép và điểm trùng cũng được trình bày, cho thấy sự phong phú của các ứng dụng trong Toán học giải tích. Những ứng dụng này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực khác như kinh tế, kỹ thuật và khoa học máy tính.
3.1. Sự tồn tại của điểm bất động
Định lý về sự tồn tại của điểm bất động được chứng minh dựa trên các điều kiện chính quy mêtric đã được thiết lập. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa lý thuyết chính quy mêtric và các bài toán về điểm bất động. Việc chứng minh sự tồn tại của điểm bất động không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong Toán học.
3.2. Tính ổn định của bài toán điểm bất động
Tính ổn định của bài toán điểm bất động được phân tích trong bối cảnh các tham số thay đổi. Các kết quả cho thấy rằng tính chính quy mêtric có thể đảm bảo tính ổn định của các giải pháp trong các bài toán điểm bất động. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển các phương pháp giải quyết bài toán trong thực tiễn, đặc biệt là trong các lĩnh vực như tối ưu hóa và điều khiển.
