Chương 1 Phương trình Laplace và xuất xứ của phương trình Laplace Phương trình Laplace là một phương trình đạo hàm riêng được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Pierre-Simon DeLaplace (1749-1827). Ông là người đầu tiên đưa ra phương trình Laplace. Chương này sẽ giới thiệu về xuất xứ và ý nghĩa vật lý phương trình Laplace.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace Định nghĩa 1. Trong không gian ø chiều, cho z là một hàm thực khả vi 2 lần.
Phương trình Laplace là phương trình: 3?u 3?u Ou — — we =0.1 Oxt + 3x2 đựng 3x2 0 (1D) Khi về phải không thuần nhất: 3?u 3?u 3?u — = " = " R" 1.2 Ox + 2x2 + + 2x2 #GI,132a, Xn) f € ( ) thì phương trình đó được gọi là phương trình Poisson. Ta thường gặp phương trình Laplace trong không gian 3 chiều ở các hệ tọa độ khác nhau như sau: 3?u 3?u 3?u () Trong hệ toa dé Descartes: 52 + 2# + 22 =0.~ 3x Ll od „du 1 3 __ đự (1ñ) Trong hệ tọa độ câu: p2p (0 3) + p2sin°090 (m2) + _"¬ p?sin20 002 —ˆ Nghiệm của phương trình Laplace là một hàm điều hòa.2 Xuất xứ của phương trình Laplace 1.1 Ba định luật của Keple Như chúng ta đã biết, Tycho Brahe (1546-1601) là nhà thiên văn học người Đan Mạch , người đã quan sát bầu trời không qua kính viễn vọng trong vòng khoảng 20 năm và ông đã để lại nhưng dữ liêu quan trọng. Từ những dữ liệu đó, nhà thiên văn học người Đức Jahannes Keple đã nghiên cứu và đưa ra ba quy luật sau: () Mọi hành tinh đều chuyển động theo quy đạo là một hình eliptic và Mặt Trời là một tiêu điểm. (đi) Đoạn thẳng nối mặt trời với một hành tinh bất kì quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian như nhau.
(ii) Tỉ số giữa lập phương trục lớn và bình phương chu kì quay là giống nhau với mọi hành tỉnh. Các quy luật trên tuy đẹp nhưng khá phức tạp. Sau này , NÑewton tìm ra một biểu thức đơn giản hơn cho những quy luật này. Đó là định luật vận vật hấp dẫn : "lực hấp dẫn giữa hai vật bất kì tỉ lệ thuận với khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.
Thay vì xét lực hút của một vật có khối lượng đơn vị đến vật khác, ta xét 5 thế năng của lực hấp dẫn được khảo sát bằng phương trình sau u=yY M V (840)? + (Y= Yo)? + (2 = 20)” (1.3) với y la hằng số, (x¿;ya;za) là tọa độ của vật hut, M 14 khéi lượng. Các lực hút thành phần 7+, Fÿ,F, tác dụng vào các vật có khối lượng đơn nam ax vị đặt tại điểm (x,y,z) xác định như sau : 4 # = = pa z oz Trường hấp dẫn được xác định bởi véc to F = (fxị E;F;). Trong trường hợp lực hấp dẫn của hệ chất điểm (tâm khối lượng 4; đặt tại điểm có tọa độ (%;;y;;z¡)) thì lực hút tính theo công thức: M u =TỀ, 5 5 =: (1.4) TV (x—xi)? + (y= yi)? + (2-2) Laplace da dé xuat rằng để nghiên cứu lực hấp dẫn ta không sử dụng chính hàm mà từ các phương trình vi phân mà hàm đó thỏa mãn.2 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace Trước tiên ta khảo sát một thành phần trong công thức (1. Ta tính đạo hàm của nó.
Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai điểm (z;y;z) và (x;:y;;z¿) là r= W(x—xi)?+(y—yi)2+ (— z¡)Ÿ và lầy đạo hàm riêng theo biến x của ham r ta được: or XX; xX —X; a = .5 3x (x—x¡)°+(y—y¡)“+(a—z)° 7 oo) 6 ar y—y, Ôn z= Tuong tu ta duge: 22 = 2 > Oy raz r Từ đó ta được các đạo hàm sau: đu; x xX —X; =~ = - Miz = —YM;—— x r r Cui —yM .6) Oy r du - Me Lấy đạo hàm lần nữa ta nhận được: 3ˆu; rằ—. dˆu; I1 3(z-z a2 mM (-4 +3 ) Từ đó ta được phương trình: 3?u¡ J?u; 3u; — —> —> =0.7) Với w = )u;¡ ta được đẳng thức sau: 3ˆ 3? 3ˆ a a “0, (1.8) ae | ay | a2 Đẳng thức trên được gọi là phương trình Laplace. Theo cách xây dựng trên, Laplace không cho ta công thức tường minh về lực, mà cho ta công thức đối với trường thế năng bằng cách thay thế các phép toán vào phương trình vi phân. Ta có thể coi phương trình vi phân mô tả tương tác của trường thế ¡.
Laplace cho chúng ta ý tưởng dùng phương trình vi phân để mô tả trường thế w, các phương trình tác động khắp nơi ngoài các điểm mà tại đó tập trung khối lượng hấp dẫn (tại các điểm X =#¡,y = y¡,z = z¡ ta không tính đạo hàm theo các công thức trên). 7 Theo đó, ta không phải làm việc với thế năng của chất điểm mà với trường hấp dẫn được sinh bởi khối lượng phân bồ trong thể tích nào đó. Ta xét phân bố có mật độ p = p(a,b,e) tại x = a,y = b,z = c trong hình cầu xŸ + yˆ + z” < R. Trường hợp p(a,b,c) = 0, mọi điểm nằm ngoài hình cầu nên a” + b” + c7 > R.
Chia hình cầu ra các hình hộp với các cạnh Aa, Ab, Ac tai mỗi hình hộp cơ bản này tập trung một khối lượng bằng p(a,b,e)AaAbAc. Thê năng của lực hút sinh bởi thế năng sinh bởi khối lượng này tại (x, y,z) nhận giá trị: p(a,b,c)AaAbAc "Ven aP ODP emo 7 Thế năng tổng khi tính theo tất cả các thể tích cơ bản sẽ là: (a,b — "= 1) Tato be Geo +(y—b)? + (z—e)? Qua giới hạn một cách hình thức bằng cách chia vô hạn hình cầu a? +b? + (1.10) c? < R”, ta thu được công thức biểu diễn thế năng dưới dạng tích phân sau: = fff (a,b, ee (1.11) a?+b2-+c2<R? được gọi là khối thế vị Newton. Bắt đầu từ công thức này ta có thể bỏ qua hằng số 7. Ta sẽ chứng minh rằng nếu p(z,b,e) có đạo hàm bậc nhất liên tục thì thé nang u(x, y,z) thỏa mãn phương trình Poisson: au du dru Rx By t 25 —47p (x,y,2).12) Bên ngoài khối lượng hút tức là ở những chỗ mà p(x, y,z) = 0 thì phương trình (1.12) sẽ trùng với phương trình Laplace.
Ta sẽ chứng minh công thức (1. Ta nhận xét rằng, trong các bài toán liên quan đến định luật vạn vật hấp dẫn, phân bố p(z,b,e) không nhận giá tri âm. Để thuận tiện, ta viết công thức biéu dién thé nang u(x, y,z): u(x, y,Z) —————— dc.13) Khi lấy tích phân trên toàn không gian can nhé rang p(a,b,c) = 0 nếu a+b? +c? > R?. Dùng phép đổi bién sé tich phan: a—x = €;:b-y = n;c—z = £ ta được cách biểu diễn thế năng sau: p(x+Š.z+) n2) =/I vận xe ——xzz độ dị để.14) Ta chỉ cần xét x,y,z nằm trong miễn hữu hạn x7 + yˆ + zˆ < R? vi p(x+ Ẽ,y+Ti.z+e) =0 khi (x+ €)? + (y+)? + (ct+e)? < R? nén ta có thể giới hạn mién tich phan la D = 7+ n+ €? > (R+R)? =4R* =L? va viết: D(x+Š,y+TỊ.z+ £) Woy) “| eae VỆ?+n2+e? Faxon độ dị để.15) là tích phân suy rộng vì hàm dưới dấu tích phân kì di 6 gốc tọa độ.
Tích phân này hội tụ đều với tham biến x, y,z. Vì hàm dưới dấu p” * —==—===s:ñÏ = max|p|. V§?+n?+£? | p* Lydr L? JE dn de = 4np* {| —_ =42p*—. “Các nh nhân nhận được bằng cách lấy đạo hàm hình thức của (1.15) tích phân khả tích theo phần tử trội That vay, theo từng biến x, y,z cũng hội tụ đều, do đó theo công thức đã biết: II ng (x+6,y+TỊ,z+£)] dễ dn de = II aes y+TỊ,z+ £)] dé dnd Ve +n2 +e V§?+mn?+£2 (1.16) Áp dụng công thức tính tích phân từng phần cho tích phân cuối cùng với nhận xét: 2Ip(x+ễ.
p(x+Š,y+TỊ,z + €) p(x+Š,y+TỊ,z+ €) Jerre | (Bare (2+n2+e)Ÿ 9 và lấy giá trị của hàm p(x+Ế,y-ETỊ,z-L£) xác định trên hình cầu É2 + rị?-- £? = L2 bằng 0 nên nhận được: sPŒ+š,y+Tz +) de dn de.17 x I (?+n2+e?)? $ 1 ae ( ) Tích phân từng phần thực hiện được do tích phân (1. Hơn nữa, nó hội tụ dều theo tham biến x, y,z và hàm dưới dấu tích phân khả tích với hàm trội 1a max||p||/(E2 +? +2). That vay, L * * r?dr * Whee dn de =4np [34x L.18) D 0 Đạo hàm của hàm số dưới dấu tích phân theo +, y,z ta cũng có hàm trội khả tích. Do đó, đạo hàm bậc hai của hàm ø có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm về phải của (1.17) đưới dấu tích phân.17) đạo hàm hai về ta được: du ễ me = SY @anieer® ytn,ztejdé dn de = 5 = Mo tet bay tinct 06 an ae D (B+qr+eri oe Tương tự ta có các đạo hàm: ou 3 CĐ gian el2nf x+Š,y+TỊ,z+£)dễ an de lã 3 22 =lmaiae x+é y+n,zt+e)dé dn de.
Cộng các về của ba đẳng thức trên ta được: dễ dĩ de.19) 10 Để tính tích phân và thuận tiện hơn ta có thể viết nó dưới dạng tích phân lặp f if - dS, har với Š„ là mặt cầu có bán kính r, tim tai géc toa dé, dS, 1a 0 diện tích mặt cầu. Nhận xét rằng, đạo hàm theo bán kính SP bằng tích vô Op Op op dé’ dn’ de 62+? +e”. Do dé hướng của hàm véc tơ vô hướng Ur 2e) với véc tơ đơn vị hướng r theo bán kính là véc tơ (=, ne — r’r dp op 9p _ 9p S2gT an de dar’ Khi đó từ (1.19) ta có: l5 than +e0E = dụ" —“—_ Vì đ$„ = r?dO (4Ô : đơn vị điện tích mặt cầu đơn vị © hay là phần tử của góc khôi) nên ta có: Pu Pu Pu LÍ .z+£)] de ae ae tie mC Lo =Jj parler sytme+e)l 20 6 |0 or = JJIp(x + €oL,y + noL, z+ €oL) — p(x+ 00, y + N00, z+ €00)|dQ Q = JJpG.12) được chứng minh cho mọi hình cầu bất ki x7 ++ y? +22 < Ñ. Do đó, nó được chứng minh trên toàn không gian.
Vậy đẳng thức (1.12) được chứng minh. Trong phần kết luận này, ta chứng minh thêm rằng thế năng Newton cũng hội tụ đến 0 khi (x7 + yˆ + z”) —> œ. Chính xác hơn, ta chứng minh đẳng thức: lim — w+?+y”+z7,(x,y,z) = JJJ'p(a,b,c)da đb dc. (x2 +y?+2?) p00 Ta xét thê năng dưới dạng pep PCP) 19) = Jf jnoy 11 D= {r(P,O) < R}, với P là điểm có tọa độ (x,y,z), Q là điểm có tọa độ (a,b,c) ,dV =da db dc, r(P,Q) la kjhoang cac gitta P va Q.
Trường hợp Ó là gốc tọa độ thì r(O,Q) = Vx? +y?2 +22.0) Vi |r(O,Q) —r(P,Q)|<r(O,P) < R nên ta có: r(O,Q)u(Q) = HI dV.