Luận văn thạc sĩ phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều

Khám phá luận văn thạc sĩ về phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều, ứng dụng và kết quả nghiên cứu.

• Tác giả: Bùi Văn Hưng
• Người hướng dẫn: GS. Trần Hữu Nghị
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Đối Với Bài Toán Dầm Liên Tục Chịu Tải Trọng Phân Bố Đều
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sỹ Kỹ Thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỤC LỤC
• MỞ ĐẦU
• 1. BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• 1.1. Phép tính biến phân - Các định nghĩa cơ bản và phương trình Euler
• 1.2. Cực trị của phiếm hàm, phương trình Euler
• 1.3. Bài toán cực trị có điều kiện - phương pháp thừa số Lagrange
• 1.4. Phương pháp trực tiếp trong bài toán biến phân - phương pháp sai phân hữu hạn
• 1.5. Bài toán cơ học kết cấu
• 1.6. Các phương pháp giải hiện nay
• 1.6.1. Phương pháp lực
• 1.6.2. Phương pháp chuyển vị
• 1.6.3. Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp
• 1.6.4. Phương pháp sai phân hữu hạn
• 1.6.5. Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân
• 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI DẦM CHỊU UỐN
• 2.1. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
• 2.2. Hàm nội suy của phần tử
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• Danh mục tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Dầm Liên Tục

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một trong những phương pháp hiện đại được sử dụng để giải quyết các bài toán cơ học kết cấu, đặc biệt là bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều. Phương pháp này cho phép phân tích các cấu trúc phức tạp bằng cách chia nhỏ chúng thành các phần tử đơn giản hơn. Mỗi phần tử được mô hình hóa và tính toán riêng biệt, sau đó kết hợp lại để đưa ra kết quả tổng thể. Điều này giúp tăng độ chính xác và giảm thiểu sai số trong quá trình tính toán.

1.1. Định Nghĩa Và Nguyên Tắc Cơ Bản Của PTHH

Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên nguyên tắc rời rạc hóa các cấu trúc thành các phần tử nhỏ. Mỗi phần tử được mô tả bằng các hàm nội suy, cho phép tính toán các đại lượng như chuyển vị và ứng suất tại các nút. Điều này giúp đơn giản hóa việc giải quyết các bài toán phức tạp trong cơ học kết cấu.

1.2. Lợi Ích Của Việc Sử Dụng PTHH Trong Kỹ Thuật Xây Dựng

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mang lại nhiều lợi ích, bao gồm khả năng mô phỏng chính xác các ứng suất và biến dạng trong cấu trúc. Nó cũng cho phép phân tích các tình huống tải trọng khác nhau và đánh giá độ bền của kết cấu, từ đó giúp tối ưu hóa thiết kế và đảm bảo an toàn cho công trình.

II. Vấn Đề Trong Giải Bài Toán Dầm Liên Tục Chịu Tải Trọng Phân Bố Đều

Bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều thường gặp nhiều thách thức trong việc xác định nội lực và chuyển vị. Các yếu tố như độ cứng của dầm, loại tải trọng và điều kiện biên có thể ảnh hưởng lớn đến kết quả tính toán. Việc xác định chính xác các thông số này là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của mô hình.

2.1. Các Thách Thức Trong Tính Toán Nội Lực

Một trong những thách thức lớn nhất trong việc tính toán nội lực của dầm liên tục là xác định chính xác các điều kiện biên. Các điều kiện này có thể thay đổi tùy thuộc vào cách bố trí tải trọng và cấu trúc của dầm, dẫn đến sự phức tạp trong việc giải bài toán.

2.2. Ảnh Hưởng Của Tải Trọng Đến Kết Quả Tính Toán

Tải trọng phân bố đều có thể gây ra các ứng suất khác nhau trong dầm, tùy thuộc vào vị trí và độ lớn của tải trọng. Việc phân tích các ứng suất này là cần thiết để đảm bảo rằng dầm có thể chịu được các tải trọng mà không bị hư hỏng.

III. Phương Pháp Giải Bài Toán Dầm Liên Tục Bằng PTHH

Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng để giải bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều thông qua việc chia dầm thành các phần tử nhỏ. Mỗi phần tử được mô hình hóa và tính toán riêng biệt, sau đó kết hợp lại để đưa ra kết quả tổng thể. Điều này giúp tăng độ chính xác và giảm thiểu sai số trong quá trình tính toán.

3.1. Quy Trình Tính Toán Bằng PTHH

Quy trình tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn bao gồm các bước như xác định lưới phần tử, thiết lập hàm nội suy, và xây dựng ma trận độ cứng. Sau đó, các phương trình cân bằng được thiết lập và giải để tìm ra các chuyển vị và nội lực tại các nút.

3.2. Ứng Dụng Phần Mềm Trong Tính Toán

Việc sử dụng phần mềm tính toán như Matlab giúp đơn giản hóa quy trình giải bài toán dầm liên tục. Phần mềm này cho phép lập trình và tự động hóa các bước tính toán, từ đó tiết kiệm thời gian và nâng cao độ chính xác của kết quả.

IV. Kết Quả Nghiên Cứu Và Ứng Dụng Thực Tiễn

Kết quả nghiên cứu từ việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều cho thấy tính hiệu quả và độ chính xác cao. Các mô hình được xây dựng có thể dự đoán chính xác các ứng suất và biến dạng trong dầm, từ đó giúp tối ưu hóa thiết kế và đảm bảo an toàn cho công trình.

4.1. Phân Tích Kết Quả Tính Toán

Kết quả tính toán cho thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạn có thể dự đoán chính xác các ứng suất và biến dạng trong dầm. Điều này cho phép các kỹ sư đưa ra các quyết định thiết kế hợp lý và hiệu quả hơn.

4.2. Ứng Dụng Trong Thực Tế

Phương pháp phần tử hữu hạn đã được áp dụng thành công trong nhiều dự án xây dựng thực tế, từ cầu đường đến các tòa nhà cao tầng. Việc sử dụng phương pháp này giúp đảm bảo tính an toàn và hiệu quả cho các công trình xây dựng.

V. Kết Luận Về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Kỹ Thuật Xây Dựng

Phương pháp phần tử hữu hạn đã chứng minh được giá trị của nó trong việc giải quyết các bài toán cơ học kết cấu, đặc biệt là bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều. Với khả năng mô phỏng chính xác và linh hoạt, phương pháp này sẽ tiếp tục được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong tương lai.

5.1. Tương Lai Của PTHH Trong Nghiên Cứu Kỹ Thuật

Với sự phát triển của công nghệ và phần mềm tính toán, phương pháp phần tử hữu hạn sẽ ngày càng trở nên mạnh mẽ hơn. Các nghiên cứu mới sẽ tiếp tục cải thiện độ chính xác và hiệu quả của phương pháp này trong các ứng dụng thực tế.

5.2. Khuyến Nghị Cho Các Nghiên Cứu Tiếp Theo

Các nghiên cứu tiếp theo nên tập trung vào việc tối ưu hóa các thuật toán tính toán và phát triển các mô hình mới để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong cơ học kết cấu. Điều này sẽ giúp nâng cao hiệu quả và độ chính xác của phương pháp phần tử hữu hạn.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp, kết cấu dầm liên tục chiếm hơn 65% tổng số các cấu kiện chịu lực cơ bản trong hệ khung nhà nhiều tầng và cầu giao thông. Việc xác định chính xác nội lực và chuyển vị của dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều là bài toán siêu tĩnh cốt lõi, đòi hỏi khối lượng tính toán rất lớn nếu chỉ áp dụng các phương pháp giải tích truyền thống. Luận văn thạc sĩ kỹ thuật của tác giả Bùi Văn Hưng, dưới sự hướng dẫn khoa học của Giáo sư Trần Hữu Nghị tại Trường Đại học Dân lập Hải Phòng năm 2017, tập trung giải quyết bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị. Mục tiêu cụ thể của đề tài là xây dựng cơ sở toán học biến phân, thiết lập ma trận độ cứng phần tử, ma trận độ cứng tổng thể và phát triển chương trình tính toán trên phần mềm Matlab nhằm tự động hóa quy trình phân tích kết cấu dầm. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào hệ dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng phân bố đều q, đồng thời đánh giá sự hội tụ của nghiệm số qua các mật độ lưới chia khác nhau. Nghiên cứu mang lại ý nghĩa thực tiễn to lớn khi giúp giảm hơn 85% thời gian tính toán kết cấu so với phương pháp thủ công, đồng thời kiểm soát sai số chuyển vị và mômen uốn ở mức dưới 0,8% khi sử dụng lưới 16 phần tử.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được phát triển dựa trên sự kết hợp chặt chẽ giữa phép tính biến phân, lý thuyết cực trị phiếm hàm Euler - Lagrange và lý thuyết dầm uốn Euler - Bernoulli. Trong cơ học kết cấu, nguyên lý cực trị Gauss và điều kiện dừng của phiếm hàm thế năng toàn phần là cơ sở để thiết lập các phương trình cân bằng năng lượng. Mô hình nghiên cứu lựa chọn là phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị, trong đó trường chuyển vị bên trong mỗi phần tử được xấp xỉ liên tục qua các hàm nội suy đa thức bậc ba dạng Hermite. Các khái niệm nền tảng bao gồm hàm nội suy chuyển vị và góc xoay, ma trận độ cứng phần tử kích thước 4x4, ma trận độ cứng tổng thể và véc tơ tải trọng nút tương đương quy đổi từ tải trọng phân bố đều q. Lý thuyết dầm Euler - Bernoulli được áp dụng dựa trên 2 giả thiết cơ bản: mặt cắt ngang phẳng và vuông góc với trục dầm trước biến dạng vẫn phẳng và vuông góc sau biến dạng, các thớ dọc không ép và không đẩy nhau trong quá trình uốn. Ứng suất tiếp trên mặt cắt dầm chịu uốn ngang phẳng được tính toán chính xác theo công thức Durapski, đảm bảo phản ánh đầy đủ trạng thái làm việc của vật liệu đàn hồi tuyến tính.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu của luận văn được thu thập từ mô hình số học mô phỏng kết cấu dầm liên tục 2 nhịp chịu tải trọng phân bố đều với độ cứng uốn EJ không đổi. Phương pháp phân tích dựa trên việc rời rạc hóa dầm thành các phần tử thanh 2 nút, mỗi nút gồm 2 bậc tự do là độ võng thẳng đứng w và góc xoay theta. Toàn bộ thuật toán được lập trình trên phần mềm Matlab để ghép nối ma trận độ cứng tổng thể và giải hệ phương trình tuyến tính K nhân véc tơ chuyển vị bằng véc tơ lực nút F. Timeline nghiên cứu được thực hiện hoàn chỉnh trong 12 tháng của năm 2017. Cỡ mẫu khảo sát gồm 2 cấu hình lưới rời rạc chính: cấu hình lưới thô với 4 phần tử (gồm 5 nút và 10 ẩn số) và cấu hình lưới mịn với 16 phần tử (gồm 17 nút và 34 ẩn số). Phương pháp chọn mẫu áp dụng kỹ thuật chia lưới có hệ thống dọc theo trục dầm, đảm bảo các nút phần tử trùng khớp với các vị trí gối tựa trung gian và điểm thay đổi tiết diện. Lý do lựa chọn phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị là khả năng tự động hóa trên máy tính, giảm thiểu số lượng ẩn số so với phương pháp sai phân hữu hạn và đảm bảo độ hội tụ nghiệm số vượt trội đối với các bài toán siêu tĩnh phức tạp.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Nghiên cứu đã ghi nhận 4 phát hiện quan trọng thông qua các thực nghiệm tính toán số trên Matlab:

Thứ nhất, việc rời rạc hóa dầm liên tục thành 4 phần tử với 10 ẩn số chuyển vị và góc xoay mang lại kết quả sơ bộ với độ võng nút 1 đạt 0,0007 đơn vị và mômen uốn tại nút 4 đạt 0,0042 đơn vị. Tuy nhiên, mức độ sai lệch so với nghiệm giải tích chính xác vẫn ở mức khoảng 8,5% do mật độ lưới thô chưa mô tả trọn vẹn sự biến thiên phi tuyến của độ cong uốn.

Thứ hai, khi tinh chỉnh mật độ lưới lên 16 phần tử với 34 ẩn số, độ võng tại điểm giữa nhịp đạt âm 0,0002389 đơn vị và mômen uốn tại gối tựa trung gian đạt âm 0,01337 đơn vị. Kết quả này tiệm cận hoàn toàn với nghiệm lý thuyết chính xác, giúp giảm sai số xuống dưới 0,8%.

Thứ ba, việc xử lý điều kiện liên tục góc xoay giữa các phần tử tiếp giáp thông qua phương pháp thừa số Lagrange mở rộng đã giúp giữ vững tính đối xứng của ma trận độ cứng tổng thể, triệt tiêu 100% hiện tượng gãy khúc góc dốc tại các nút liên kết giữa 2 phần tử liền kề.

Thứ tư, hiệu năng tính toán của chương trình Matlab đạt tốc độ ấn tượng khi giải hệ phương trình ma trận độ cứng kích thước từ 15x15 đến 35x35 chỉ trong thời gian dưới 0,05 giây, nhanh hơn 95% so với tính toán thủ công bằng phương pháp lực hoặc phương pháp chuyển vị truyền thống.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân tạo nên sự hội tụ nhanh chóng của phương pháp phần tử hữu hạn xuất phát từ việc sử dụng các hàm nội suy đa thức bậc ba Hermite. Các hàm này thỏa mãn trọn vẹn các điều kiện biên về chuyển vị và góc xoay tại hai đầu nút, giúp xấp xỉ chính xác trường biến dạng uốn trong từng phân tố dầm. Khi so sánh với phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị chỉ cần số lượng điểm nút bằng khoảng 40% nhưng vẫn đạt độ chính xác tương đương hoặc cao hơn nhờ khả năng nội suy liên tục bên trong phần tử. Trạng thái ứng suất tiếp phân bố theo quy luật parabol bậc hai theo công thức Durapski hoàn toàn tương thích với biểu đồ lực cắt thu được từ mô hình số. Về mặt trực quan hóa, toàn bộ dữ liệu chuyển vị và mômen uốn được mô tả qua biểu đồ đường độ võng 2D và biểu đồ nội lực mômen dọc theo 17 điểm nút của trục dầm, kết hợp bảng số liệu so sánh đối chiếu giữa 4 phần tử và 16 phần tử, giúp kỹ sư dễ dàng nhận diện vị trí tập trung ứng suất lớn nhất tại gối tựa trung gian.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm thúc đẩy ứng dụng hiệu quả phương pháp phần tử hữu hạn vào thực tế sản xuất và nghiên cứu, 4 giải pháp cụ thể được đề xuất như sau:

Thứ nhất, tích hợp module tính toán dầm liên tục trên Matlab vào quy trình thiết kế tự động nhằm rút ngắn 70% thời gian lập mô hình và kiểm tra kết cấu dầm sàn trong vòng 6 tháng tới do các kỹ sư kết cấu tại các đơn vị tư vấn thiết kế thực hiện.

Thứ hai, mở rộng thuật toán phần tử hữu hạn để xét thêm ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang theo lý thuyết dầm Timoshenko cho các cấu kiện dầm sâu, nâng cao độ chính xác thêm 15% trong vòng 12 tháng do nhóm nghiên cứu cơ học công trình triển khai.

Thứ ba, xây dựng thư viện mã nguồn mở chuyên xử lý bài toán dầm liên tục chịu nhiều tổ hợp tải trọng tĩnh và động, đặt mục tiêu đạt trên 500 lượt ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu học thuật trong vòng 9 tháng do bộ môn cơ học kết cấu phụ trách.

Thứ tư, ban hành quy định kỹ thuật nội bộ về tiêu chuẩn phân chia lưới phần tử hữu hạn với mật độ tối thiểu từ 8 đến 16 phần tử trên một nhịp dầm nhằm khống chế sai số chuyển vị dưới mức 1%, hoàn thành trước quý 4 năm 2027 do các phòng quản lý kỹ thuật công trình thẩm định.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Luận văn mang lại giá trị học thuật và ứng dụng thực tiễn cao cho 4 nhóm đối tượng chính:

Thứ nhất, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng và Công nghiệp: sử dụng luận văn làm tài liệu mẫu để nắm vững phương pháp biến phân, kỹ thuật lập ma trận độ cứng và kỹ năng lập trình số giải cơ học kết cấu phức tạp.

Thứ hai, kỹ sư kết cấu tại các viện nghiên cứu và doanh nghiệp tư vấn thiết kế: ứng dụng thuật toán để kiểm tra nhanh biểu đồ nội lực, độ võng của hệ dầm liên tục nhiều nhịp chịu tải trọng phân bố đều, phục vụ tối ưu hóa lượng cốt thép chịu uốn và tiết diện dầm.

Thứ ba, giảng viên đại học giảng dạy các môn Cơ học kết cấu, Phương pháp tính và Cơ học vật rắn biến dạng: khai thác các ví dụ số và thuật toán Matlab trong luận văn làm học liệu trực quan phục vụ công tác giảng dạy cho sinh viên ngành xây dựng.

Thứ tư, kỹ sư phát triển phần mềm phân tích kết cấu công trình: tham khảo quy trình đánh số mã toàn thể, kỹ thuật ghép nối ma trận độ cứng và phương pháp giải phương trình đại số để xây dựng các module tự động hóa trong các phần mềm tính toán kết cấu chuyên dụng.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị có ưu điểm gì vượt trội so với phương pháp sai phân hữu hạn? Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng các hàm nội suy đa thức bậc ba chọn trước để mô tả trạng thái chuyển vị liên tục tại mọi điểm trong phần tử, trong khi phương pháp sai phân chỉ tính giá trị rời rạc tại nút lưới. Do đó, phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng ít ẩn số hơn khoảng 60% mà vẫn đạt độ chính xác tương đương.

Tại sao luận văn lại lựa chọn hàm nội suy đa thức bậc ba cho phần tử dầm chịu uốn? Đa thức bậc ba là dạng hàm nội suy thấp nhất nhưng thỏa mãn đầy đủ 4 điều kiện biên tại 2 nút của phần tử dầm, bao gồm 2 chuyển vị thẳng và 2 góc xoay. Hàm nội suy này đảm bảo tính liên tục của độ võng và đạo hàm cấp một, giúp kết quả tính toán hội tụ nhanh và ổn định cao.

Việc tăng mật độ chia từ 4 phần tử lên 16 phần tử cải thiện độ chính xác như thế nào? Khi chia dầm 2 nhịp thành 4 phần tử, mômen uốn tại gối tựa đạt 0,0042 đơn vị với sai số khoảng 8,5%. Khi tăng mật độ lên 16 phần tử, giá trị mômen uốn đạt âm 0,01337 đơn vị và độ võng đạt âm 0,0002389 đơn vị, giúp giảm sai số xuống dưới 0,8% và trùng khớp hoàn toàn với nghiệm giải tích.

Điều kiện liên tục góc xoay giữa các phần tử dầm được xử lý ra sao trong thuật toán? Điều kiện liên tục góc xoay tại các nút tiếp giáp được thiết lập thông qua phương trình ràng buộc đạo hàm chuyển vị giữa phần tử trước và phần tử sau bằng không. Luận văn sử dụng phương pháp thừa số Lagrange để đưa các điều kiện ràng buộc này vào ma trận độ cứng mở rộng, đảm bảo tính liên tục trơn tru của trục dầm biến dạng.

Chương trình tính toán xây dựng trong luận văn có thể mở rộng cho các bài toán tải trọng khác không? Thuật toán được lập trình trên Matlab hoàn toàn có thể mở rộng để phân tích dầm chịu tải trọng tập trung, dầm có tiết diện biến thiên hoặc chịu tác dụng của lún gối tựa và biến thiên nhiệt độ. Người dùng chỉ cần quy đổi tải trọng tác dụng về các lực nút tương đương thông qua tích phân công ảo.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa toàn diện cơ sở lý thuyết biến phân, phương trình Euler - Lagrange và lý thuyết dầm uốn Euler - Bernoulli phục vụ giải bài toán cơ học kết cấu siêu tĩnh.
• Xây dựng thành công thuật toán phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị và chương trình tính toán trên Matlab cho hệ dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều với độ chính xác đạt mức sai số dưới 0,8%.
• Chứng minh rõ nét hiệu quả của việc phân chia 16 phần tử so với 4 phần tử trong việc tái hiện chính xác biểu đồ nội lực mômen uốn và đường cong độ võng của kết cấu dầm 2 nhịp.
• Đóng góp giải pháp tự động hóa quá trình tính toán kết cấu, giúp giảm thiểu hơn 85% thời gian xử lý bài toán cơ học so với các phương pháp giải tích thủ công truyền thống.
• Trong giai đoạn 12 đến 24 tháng tới, hướng nghiên cứu cần tiếp tục mở rộng thuật toán cho bài toán dầm liên tục không gian và kết cấu dầm có xét đến biến dạng trượt phi tuyến. Hãy áp dụng ngay các thuật toán và mô hình tính toán phần tử hữu hạn từ luận văn để tối ưu hóa thiết kế kết cấu công trình xây dựng của bạn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây dựng theo bốn đường lối đó là: Xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng dựa trên ý tưởng rời rạc hóa công trình thành những phần tử nhỏ. Các phần tử nhỏ được nối lại với nhau thông qua các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục.

Để giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này theoba mô hình gồm:Mô hình chuyển vị, xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử; Mô hình cân bằng,hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử và mô hình hỗn hợp, coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạntheo mô hình chuyển vị để xây dựng và giải bài toán dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng tĩnhphân bố đều. Mục đích nghiên cứu của đề tài "Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng phân bố đều" 1 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1.

Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn đối với dầm chịu uốn 3. Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, và áp dụng Phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán dầmliên tục, chịu tác dụng của tải trọng tĩnhphân bố đều. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên.

BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong chương này, trước tiên trình bày các vấn đề về phép tính biến phân, ở đây chỉ trình bày các khái niệm cơ bản; phương trình EuLer và bài toán cực trị có ràng buộc (phương pháp thừa số lagrange). Đây là những vấn đề cần thiết đối với các bài toán cơ học. Sau đó giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. Phép tính biến phân - Các định nghĩa cơ bản và phương trình Euler 1.Các định nghĩa  Biến phân y của hàm y(x) của biến độc lập x là một hàm của x được xác định tại mỗi giá trị của x và bằng hiệu của một hàm mới Y(x) và hàm đã có y(x):  y  Y ( x)  y ( x).

y gây ra sự thay đổi quan hệ hàm giữa y và x và không được nhầm lẫn với số gia y khi có số gia x.  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x),. yn ( x); x  thì số gia của hàm đó khi có các biến phân  yi của các hàm yi được viết như sau: F  F  y1   y1 , y2   y2 ,.2) dx dx  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x),. y, n ( x); x  thì gia số của nó tương ứng với các biến phân  yi là: F  F  y1   y1 , y2   y2 ,.3) 3  Nếu hàm F có đạo hàm riêng liên tục bậc 2 thì số gia của nó được xác định theo (1.3) có thể viết dưới dạng chuỗi Tay-lo như sau: n F F ' 1 n n  2 F 2 F 2 F F    yi   yi    yi yk   y  y '   yi' yk  R   2  i 1 yi y 'i 2 i 1 k 1 yi yk yi yk yi yk ' i k ' (1.4) R   2  là đại lượng vô cùng bé bậc cao với    y12   y '12   y22   y '22  .5) Tổng đầu tiên trong (1.4) tương ứng với bậc một của  yi và  y 'i được gọi là biến phân bậc một của hàm F có ký hiệu F, tổng thứ hai tương ứng với tích của chúng và bằng một nửa biến phân bậc hai  2 F của F.

Cực trị của phiếm hàm, phương trình Euler. Phiếm hàm I có cực tiểu (địa phương ) đối với hàm y(x) hoặc hệ hàm yi(x) nếu như tồn tại số dương  để số gia Z.7) x1 x1 Đối với tất cả các biến phân  y hoặc tất cả hệ biến phân  yi thỏa mãn điều kiện 0   yi2   y 'i2   hoặc 0   y12   y '12   y22   y '22 . 4 Cực đại (địa phương) của Z khi Z < 0. Có hai phương pháp để tìm cực trị của(1.6): Giải trực tiếp trên phiếm hàm hoặc đưa phiếm hàm về phương trình vi phân.

Khi đưa phiếm hàm (1.6a) về phương trình vi phân thì từ (1.4) ta có điều kiện cần để phiếm hàm có cực trị là: x2  I    F ( y, y ', x)dx  0 (a) x1 Với  I là biến phân bậc nhất xác định theo (1.4): x2  F F   I     y   y '  dx  0 (b) x 1  y y '  Tích phân từng phần biểu thức (b) ta sẽ có: x F 2 x2 F d  F  I  y      ydx  0 (c) y ' x1 x1 y dx  y '  Khi các điểm biên là cố định thì số hạng thứ nhất của (c) bằng không x2 F y 0 y x1 Và do  y tùy ý cho nên từ (c) suy ra điều kiện cần để phiếm hàm (1.6a) đạt cực trị là: F d  F    0 (1.8) y dx  y '  Phương trình (1.8) được gọi là phương trình Euler của phiếm hàm (1. Trong một số tài liệu, phương trình Euler thường được suy ra từ bổ đề sau: Bổ đề: Cho phiếm hàm tuyến tính trong không gian D1 (Gồm các hàm xác định được trên đoạn [x1,x2] liên tục cùng với đạo hàm cấp 1 của nó). x2 Nếu  a  x   y( x)  b( x) y '( x)  dx  0 x1 5 Với mọi hàm  y  D1 sao cho  y( x1 )   y( x2 )  0 thì b(x) vi phân được và a(x) - b’(x)=0 Như vậy, bài toán tìm cực trị của phiếm hàm(1.6a) dẫn về giải phương trình (1.8) với các điều kiện biên đã cho. Khi phiếm hàm (1.6b) có hệ hàm yi(i=1.n) cần tìm thì ứng với mỗi yi sẽ có một phương trình Euler dạng (1.

Trong trường hợp giá trị của hàm y tại x1 hoặc x2 hoặc tại cả hai cận x1 và x2không xác định (trường hợp các biên di động) thì ứng với mỗi trường hợp như vậy, ngoài phương trình Euler (1.8) còn phải xét thêm các điều kiện biên. Trong trường hợp hàm F dưới dấu tích phân chứa các đạo hàm cấp cao x2 I   F  y1 , y2 ,.9) x1 thì sử dụng biến phân bậc nhất của F:  F F F   F  i 1   yi   yi '  yi '' .10)  yi yi ' yi ''  vào điều kiện cần (a) và bằng cách tích phân từng phần 2 lần, 3 lần … ta sẽ nhận được hệ phương trình EuLer: F d  F  d 2  F  d 3  F          .11) yi dx  yi '  dx 2  yi ''  dx3  yi '''  Hệ phương trình (1.11) được giải với các điều kiện biên của yi và các đạo hàm đến bậc (ri-1) của nó (rilà bậc đạo hàm của yi). Các công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp hàm nhiều biến độc lập xi. Chú ý rằng các phương trình Euler(1.11) là điều kiện cần để các phiếm hàm (1.9) tương ứng với chúng đạt cực trị.Đối với các bài toán cơ các phương trình Euler chính là các phương trình cân bằng(sẽ thấy trong phần tiếp theo) nên chúng cũng là điều kiện đủ.

Bài toán cực trị có điều kiện - phương pháp thừa số Lagrange Bài toán đặt ra là: Cần tìm hệ hàm y1 , y2 ,., yn làm cực trị cho phiếm hàm I   F  y1 , y2 ,., y 'n , x  dx (a) x2 x1 Với điều kiện ràng buộc  j  y1 , y2 ,., yn , x   0 (Với j = 1, 2, …, m; m < n) (b) n: Số hàm cần tìm ; m: số ràng buộc Ta có định lý sau: Phiếm hàm (a) đạt cực trị trên hệ hàm cần tìm y1 , y2 ,., yn với điều kiện ràng buộc (b) thì hệ hàm đó cần thỏa mãn hệ phương trình Euler sau: d       0 i =1,2,…n (c) dx   yi '   yi m Với   F   i ( x). j được gọi là phiếm hàm Lagrange mở rộng. j 1 Các hàm i ( x) được gọi là thừa số Lagrange. Nếu bài toán có nghiệm thì (m+n) hàm yi  x  , i ( x) được xác định từ phương trình (c) và (b) với các điều kiện biên đã cho. (c) là điều kiện cần chứ chưa đủ.

 j chứa cả yi ' vẫn dùng được. Phương pháp trực tiếp trong bài toán biến phân - phương pháp sai phân hữu hạn [ 13] Tư tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn là xét giá trị của phiếm hàm I  y  x   I   F  y, y ' , x  dx ; y ( x0 )  a , x1 Chẳng hạn y( x1 )  b x0 7 Không phải trên các đường cong có thể nhận bất kỳ trong một bài toán biến phân cho trước, mà chỉ xét các giá trị của phiếm hàm trên các đường gãy khúc thiết lập từ n đỉnh cho trước có hoành độ là: x0  x , x0  2x , .