I. Luận Văn Thạc Sĩ
Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều. Tác giả Hà Thị Ngọc Bích đã thực hiện nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Song Hà tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Luận văn này không chỉ đóng góp vào lý thuyết toán học mà còn có tiềm năng ứng dụng trong các lĩnh vực thực tiễn như công nghệ thông tin, kinh tế, và y học.
1.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận văn thạc sĩ là nghiên cứu và trình bày một cách hệ thống về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Tác giả tập trung vào việc phân tích các tính chất định tính của bài toán, bao gồm sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm, cũng như đề xuất các phương pháp giải số hiệu quả. Ngoài ra, luận văn cũng hướng đến việc ứng dụng lý thuyết vào giải quyết các mô hình thực tiễn.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận văn bao gồm việc hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về giải tích lồi và giải tích hàm, cùng với việc áp dụng các công cụ toán học như ánh xạ KKM và nguyên lý ánh xạ KKM để chứng minh sự tồn tại nghiệm. Tác giả cũng sử dụng các phương pháp chiếu như phương pháp chiếu gradient và phương pháp chiếu lai ghép để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán.
II. Nghiên Cứu Sự Tồn Tại Nghiệm
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm là trọng tâm của luận văn, với việc phân tích các điều kiện đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Tác giả đã xem xét cả trường hợp miền ràng buộc là tập compact và không compact, đồng thời đưa ra các kết quả tồn tại nghiệm dựa trên tính chất đơn điệu của ánh xạ mục tiêu và cấu trúc tôpô của miền ràng buộc.
2.1. Trường hợp miền ràng buộc compact
Trong trường hợp miền ràng buộc là tập compact, tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm dựa trên các định lý điểm bất động và tính chất đơn điệu của ánh xạ. Các kết quả này được hỗ trợ bởi các ví dụ số minh họa cụ thể, giúp làm rõ các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại nghiệm.
2.2. Trường hợp miền ràng buộc không compact
Đối với trường hợp miền ràng buộc không compact, tác giả đã sử dụng các công cụ như ánh xạ KKM và nguyên lý ánh xạ KKM để chứng minh sự tồn tại nghiệm. Các kết quả này cho thấy rằng, ngay cả khi miền ràng buộc không compact, bài toán vẫn có thể có nghiệm nếu ánh xạ mục tiêu thỏa mãn các điều kiện đơn điệu và liên tục.
III. Bài Toán Bất Đẳng Thức Biến Phân
Bài toán bất đẳng thức biến phân là một trong những bài toán quan trọng trong toán học ứng dụng, có liên hệ mật thiết với nhiều bài toán lý thuyết và thực tiễn. Luận văn đã trình bày chi tiết về cấu trúc và các tính chất của bài toán, đồng thời đưa ra các phương pháp giải số hiệu quả để tìm nghiệm xấp xỉ.
3.1. Cấu trúc bài toán
Bài toán bất đẳng thức biến phân được định nghĩa trong không gian hữu hạn chiều, với ánh xạ mục tiêu và miền ràng buộc được xác định rõ ràng. Tác giả đã phân tích các tính chất định tính của bài toán, bao gồm sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm, cũng như các điều kiện đảm bảo tính ổn định của nghiệm.
3.2. Phương pháp giải số
Luận văn đã đề xuất ba phương pháp giải số chính để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân, bao gồm phương pháp chiếu gradient, phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp chiếu tăng cường. Các phương pháp này được minh họa bằng các ví dụ số cụ thể, giúp làm rõ hiệu quả và tính ứng dụng của chúng trong thực tế.
IV. Ứng Dụng Toán Học
Ứng dụng toán học của bài toán bất đẳng thức biến phân được thể hiện qua việc giải quyết các mô hình thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Luận văn đã chỉ ra tiềm năng ứng dụng của bài toán trong công nghệ thông tin, kinh tế, y học, và quân sự, đồng thời đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa tính hiệu quả của các phương pháp giải số được đề xuất.
4.1. Ứng dụng trong công nghệ thông tin
Trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bài toán bất đẳng thức biến phân có thể được sử dụng để tối ưu hóa các thuật toán xử lý dữ liệu và truyền thông. Các phương pháp giải số được đề xuất trong luận văn có thể giúp cải thiện hiệu suất và độ chính xác của các hệ thống thông tin.
4.2. Ứng dụng trong kinh tế
Trong kinh tế, bài toán bất đẳng thức biến phân có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong quản lý tài nguyên và phân bổ ngân sách. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn có thể giúp các nhà quản lý đưa ra các quyết định hiệu quả hơn trong việc phân bổ nguồn lực.
