Luận Văn Thạc Sĩ: Nghiên Cứu Ổn Định Đàn Hồi Của Thanh Bằng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Luận văn thạc sĩ phân tích nghiên cứu ổn định đàn hồi của thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Lê Minh Tuấn
• Người hướng dẫn: TS. Đoàn Văn Duẩn
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Nghiên Cứu Ổn Định Đàn Hồi Của Thanh Bằng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH
• 1.1. Khái niệm về ổn định và ổn định công trình
• 1.2. Tầm quan trọng và lịch sử phát triển của lý thuyết ổn định công trình
• 1.3. Các phương pháp xây dựng bài toán ổn định công trình
• 1.3.1. Phương pháp tĩnh học
• 1.3.2. Phương pháp động lực học
• 1.3.3. Phương pháp năng lượng
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS
• 2.1. Nguyên lý cực trị Gauss
• 2.2. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss
• 3. CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH UỐN DỌC CỦA THANH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nghiên Cứu Ổn Định Đàn Hồi Của Thanh

Nghiên cứu về ổn định đàn hồi của thanh là một lĩnh vực quan trọng trong kỹ thuật xây dựng. Đặc biệt, trong các công trình hiện đại, việc đảm bảo tính ổn định của các kết cấu chịu lực là rất cần thiết. Các thanh dài và mỏng thường gặp phải các vấn đề về ổn định, đặc biệt khi chịu tác động của lực nén. Việc áp dụng các phương pháp như phương pháp phần tử hữu hạn giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong lĩnh vực này.

1.1. Khái Niệm Về Ổn Định Đàn Hồi

Khái niệm ổn định đàn hồi liên quan đến khả năng của một kết cấu duy trì hình dạng và vị trí dưới tác động của lực. Các yếu tố như hình dạng, vật liệu và điều kiện biên đều ảnh hưởng đến tính ổn định của thanh.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Nghiên Cứu Ổn Định

Nghiên cứu về ổn định không chỉ giúp đảm bảo an toàn cho các công trình mà còn tiết kiệm chi phí và thời gian trong thiết kế. Việc hiểu rõ các nguyên lý cơ bản sẽ giúp kỹ sư đưa ra các giải pháp hiệu quả hơn.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Ổn Định Đàn Hồi

Trong quá trình thiết kế, các kỹ sư thường gặp phải nhiều thách thức liên quan đến ổn định đàn hồi của thanh. Các yếu tố như tải trọng, độ dài và hình dạng của thanh có thể dẫn đến mất ổn định. Việc không tính toán chính xác có thể dẫn đến các sự cố nghiêm trọng trong công trình.

2.1. Các Yếu Tố Gây Mất Ổn Định

Các yếu tố như tải trọng lớn, chiều dài thanh quá dài và vật liệu không đạt tiêu chuẩn có thể gây ra mất ổn định. Việc phân tích kỹ lưỡng các yếu tố này là rất cần thiết.

2.2. Hệ Thống Phân Tích Hiện Tại

Hiện nay, nhiều phương pháp phân tích được sử dụng để đánh giá tính ổn định của thanh. Tuy nhiên, không phải phương pháp nào cũng cho kết quả chính xác trong mọi trường hợp.

III. Phương Pháp Phân Tử Hữu Hạn Trong Tính Toán Ổn Định

Phương pháp phân tử hữu hạn là một trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong việc tính toán ổn định của thanh. Phương pháp này cho phép mô hình hóa các kết cấu phức tạp và phân tích chúng dưới tác động của các lực khác nhau.

3.1. Nguyên Tắc Cơ Bản Của Phương Pháp

Phương pháp phân tử hữu hạn chia nhỏ kết cấu thành các phần tử nhỏ hơn, từ đó dễ dàng tính toán và phân tích. Nguyên tắc này giúp giảm thiểu sai số trong quá trình tính toán.

3.2. Ứng Dụng Của Phương Pháp Trong Nghiên Cứu

Phương pháp này đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều nghiên cứu và dự án thực tế, giúp các kỹ sư đưa ra các giải pháp tối ưu cho các vấn đề về ổn định.

IV. Kết Quả Nghiên Cứu Và Ứng Dụng Thực Tiễn

Kết quả từ nghiên cứu về ổn định đàn hồi của thanh bằng phương pháp phân tử hữu hạn đã chỉ ra nhiều ứng dụng thực tiễn. Các kết quả này không chỉ giúp cải thiện thiết kế mà còn nâng cao độ an toàn cho các công trình.

4.1. Các Kết Quả Đạt Được

Nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc áp dụng phương pháp phân tử hữu hạn giúp xác định chính xác lực tới hạn và các trạng thái ổn định của thanh.

4.2. Ứng Dụng Trong Thiết Kế Công Trình

Các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng trong thiết kế các công trình như cầu, nhà cao tầng và các kết cấu chịu lực khác, đảm bảo tính ổn định và an toàn.

V. Kết Luận Về Nghiên Cứu Ổn Định Đàn Hồi

Nghiên cứu về ổn định đàn hồi của thanh bằng phương pháp phân tử hữu hạn đã mở ra nhiều hướng đi mới trong thiết kế và phân tích kết cấu. Tương lai của lĩnh vực này hứa hẹn sẽ có nhiều tiến bộ và ứng dụng mới.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu

Với sự phát triển của công nghệ, các phương pháp mới sẽ tiếp tục được phát triển, giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong tính toán ổn định.

5.2. Khuyến Nghị Cho Các Nghiên Cứu Tiếp Theo

Cần tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến ổn định và phát triển các phương pháp mới để giải quyết các vấn đề phức tạp trong lĩnh vực này.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong kỹ thuật xây dựng hiện đại, xu hướng sử dụng vật liệu cường độ cao và kết cấu thanh mảnh, tấm vỏ mỏng đang chiếm hơn 70% các giải pháp thiết kế nhà cao tầng, cầu nhịp lớn và tháp truyền hình. Tuy nhiên, việc tăng chiều dài cấu kiện và giảm diện tích tiết diện dẫn đến nguy cơ mất ổn định đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng nén dọc trục. Lịch sử ngành xây dựng thế giới từng ghi nhận nhiều thảm họa do mất ổn định kết cấu như sự cố cầu dàn hở Kevđa tại Nga năm 1875, cầu dàn Quebec tại Canada năm 1907 làm sập nhịp cầu khi đang thi công, hay cầu Tacoma Narrows tại Mỹ khánh thành ngày 01/07/1940 nhưng bị phá hủy hoàn toàn vào ngày 07/11/1940 (chỉ sau khoảng 4 tháng vận hành).

Vấn đề nghiên cứu cốt lõi của đề tài là xây dựng mô hình toán - cơ học chính xác nhằm xác định lực tới hạn của thanh thẳng đàn hồi chịu uốn dọc. Mục tiêu cụ thể là ứng dụng nguyên lý cực trị Gauss kết hợp phương pháp chuyển vị cưỡng bức và phương pháp phần tử hữu hạn để thiết lập thuật toán phân tích trạng thái mất ổn định. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào miền đàn hồi tuyến tính của cấu kiện thanh một chiều với các sơ đồ liên kết đầu mút điển hình trong điều kiện chịu lực nén đúng tâm. Nghiên cứu mang ý nghĩa thực tiễn to lớn khi giúp giảm sai số dự báo tải trọng tới hạn xuống dưới mức 1,5%, hỗ trợ kỹ sư kết cấu tối ưu hóa từ 15% đến 20% khối lượng vật liệu thép mà vẫn đảm bảo độ an toàn chịu lực của công trình.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu xây dựng trên nền tảng lý thuyết ổn định kết cấu kinh điển khởi nguồn từ các thí nghiệm của Piter Musschenbroek năm 1729 và phân tích toán học của Leonhard Euler năm 1759. Euler đã chứng minh lực tới hạn tỷ lệ nghịch với bình phương chiều dài tính toán của thanh. Để khắc phục các hạn chế của phương pháp năng lượng truyền thống (vốn phụ thuộc nhiều vào việc giả thiết dạng đường đàn hồi), luận văn áp dụng nguyên lý cực trị Gauss do Carl Friedrich Gauss công bố năm 1829 và được phát triển bởi các nhà khoa học Gibbs năm 1879 và Appell năm 1899.

Khung lý thuyết của đề tài bao quát 4 khái niệm cơ bản:

• Trạng thái cân bằng ổn định: Trạng thái cơ hệ có năng lượng thế năng đạt cực tiểu và tự phục hồi vị trí ban đầu sau khi chịu kích động nhỏ.
• Lực tới hạn: Giá trị tải trọng nén nhỏ nhất giữ cho kết cấu tồn tại ở một trạng thái cân bằng cong mới lệch khỏi trục ban đầu.
• Phiếm hàm lượng cưỡng bức Gauss: Đại lượng biểu thị độ lệch chuyển vị, vận tốc hoặc gia tốc giữa hệ thực có liên kết và hệ so sánh hoàn toàn tự do.
• Phương pháp chuyển vị cưỡng bức: Công cụ đưa phương trình vi phân thuần nhất về phương trình có vế phải thông qua việc gán chuyển vị cục bộ và sử dụng nhân tử Lagrange.

Trong cơ học môi trường liên tục, trạng thái ứng suất và biến dạng được mô tả qua 6 thành phần ứng suất độc lập cùng 2 hằng số vật liệu đàn hồi đẳng hướng là mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson. Đối với kết cấu thanh, phương trình vi phân uốn dọc bậc 4 được thiết lập chặt chẽ thông qua việc cực tiểu hóa phiếm hàm lượng cưỡng bức Gauss.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu kết hợp phương pháp giải tích biến phân và phương pháp số thông qua mô hình phần tử hữu hạn dạng chuyển vị. Nguồn dữ liệu phục vụ nghiên cứu bao gồm các nghiệm giải tích chuẩn mực của bài toán Euler, dữ liệu hình học và cơ lý của 24 kịch bản thanh thép tiêu chuẩn có tỷ số độ mảnh biến thiên từ 40 đến 160. Phương pháp chọn mẫu phân tầng được áp dụng dựa trên 4 dạng điều kiện biên cơ bản: ngàm - tự do, khớp - khớp, ngàm - khớp và ngàm - ngàm.

Lý do lựa chọn phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị xuất phát từ tính tương thích cao với nguyên lý cực trị Gauss, cho phép rời rạc hóa thanh liên tục thành 10 đến 50 phần tử hữu hạn một chiều. Mỗi phần tử gồm 2 nút với 4 bậc tự do (chuyển vị đứng và góc xoay tại mỗi nút). Ma trận độ cứng phần tử kích thước 4x4 được thiết lập dựa trên trường chuyển vị đa thức Hermite bậc 3, đảm bảo thỏa mãn liên tục độ võng và độ dốc. Quá trình tính toán, lập trình thuật toán ghép nối ma trận độ cứng tổng thể và giải bài toán trị riêng được triển khai liên tục trong khung thời gian 6 tháng nghiên cứu.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình mô phỏng số và phân tích lý thuyết đã mang lại 3 phát hiện khoa học quan trọng:

Thứ nhất, việc áp dụng nguyên lý cực trị Gauss với đại lượng biến phân là chuyển vị đã chuyển hóa thành công bài toán vi phân cân bằng phi tuyến phức tạp thành bài toán tìm cực tiểu của phiếm hàm lượng cưỡng bức. Kết quả tính toán lực tới hạn cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do đạt độ chính xác tương thích tuyệt đối với nghiệm lý thuyết Euler, với sai số tương đối ghi nhận dưới 0,85% khi chia từ 10 phần tử hữu hạn trở lên.

Thứ hai, phương pháp chuyển vị cưỡng bức thông qua việc thiết lập phiếm hàm mở rộng Lagrange đã biến đổi bài toán tìm trị riêng thuần nhất thành bài toán giải phương trình đại số xác định nghiệm của nhân tử Lagrange. Khi lực giữ cưỡng bức triệt tiêu, nghiệm tải trọng thu được chính là tải trọng mất ổn định uốn dọc của thanh. Thuật toán này giúp giảm khoảng 35% số bước lặp hội tụ so với các thuật toán lặp ma trận truyền thống.

Thứ ba, sự hội tụ của phương pháp phần tử hữu hạn diễn ra rất nhanh chóng trên hệ thanh một chiều. Khi tăng mật độ lưới chia từ 4 phần tử lên 20 phần tử, độ chính xác của nghiệm lực tới hạn tăng từ 96,4% lên 99,85%. Đồng thời, ma trận độ cứng tổng thể của hệ luôn duy trì tính chất đối xứng và xác định dương, đảm bảo tính ổn định số trong suốt quá trình giải hệ phương trình đại số tuyến tính.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân cốt lõi giúp mô hình đạt độ chính xác cao là do nguyên lý Gauss cho phép so sánh trực tiếp cơ hệ có liên kết với cơ hệ hoàn toàn tự do, loại bỏ sự phụ thuộc chủ quan vào việc đoán trước dạng hàm sóng biến dạng uốn vốn là nhược điểm của phương pháp năng lượng Rayleigh-Ritz hay Timoshenko.

Khi so sánh với phương pháp sai phân hữu hạn (sử dụng phép nội suy tuyến tính giữa các điểm nút), phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng hàm dạng bậc cao đã mô tả hoàn hảo đường đàn hồi thực tế của thanh chịu nén. Để đánh giá trực quan, toàn bộ kết quả phân tích có thể được biểu diễn thông qua biểu đồ quan hệ lực nén - chuyển vị ngang và bảng dữ liệu so sánh sai số tương đối tại các mức chia lưới khác nhau. Biểu đồ cho thấy rõ điểm phân nhánh cân bằng và sự suy giảm độ cứng đột ngột khi tải trọng tiệm cận giá trị tới hạn Euler. Điều này khẳng định độ tin cậy tuyệt đối của phương pháp mới trong việc mô phỏng ứng xử mất ổn định kết cấu công trình.

Đề xuất và khuyến nghị

Dựa trên các kết quả đạt được, luận văn đưa ra 4 nhóm giải pháp và khuyến nghị kỹ thuật:

• Tích hợp thuật toán nguyên lý Gauss và phương pháp chuyển vị cưỡng bức vào các phần mềm tính toán kết cấu chuyên dụng tại Việt Nam trong lộ trình 12 tháng tới do các viện nghiên cứu chuyên ngành và doanh nghiệp phần mềm xây dựng chủ trì, nhằm rút ngắn 25% thời gian phân tích ổn định phi tuyến.
• Áp dụng quy trình kiểm tra ổn định uốn dọc chính xác cho các cấu kiện cột thép và thanh giàn nhịp lớn trong các dự án nhà xưởng công nghiệp, yêu cầu các đơn vị tư vấn thiết kế duy trì hệ số an toàn ổn định tối thiểu từ 1,35 đến 1,50 nhằm triệt tiêu rủi ro sập đổ do hiệu ứng uốn dọc.
• Mở rộng phạm vi nghiên cứu của mô hình phần tử hữu hạn sang bài toán ổn định của thanh có tiết diện thay đổi, thanh thành mỏng chịu nén - xoắn đồng thời và kết cấu tấm vỏ đàn - dẻo trong giai đoạn 18 tháng tiếp theo do nhóm nghiên cứu cơ học kết cấu tại các trường đại học thực hiện.
• Tổ chức các khóa đào tạo nâng cao năng lực cho khoảng 500 kỹ sư kết cấu công trình dân dụng và công nghiệp trên toàn quốc trong thời gian 1 năm, tập trung vào việc nhận diện các dạng mất ổn định đàn hồi và ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tối ưu hóa thiết kế.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Nội dung luận văn mang lại giá trị thực tiễn và học thuật cho 4 nhóm đối tượng chính:

• Kỹ sư thiết kế kết cấu công trình xây dựng: Nắm vững bản chất cơ học của hiện tượng mất ổn định uốn dọc, áp dụng các công thức tính toán và ma trận độ cứng để tối ưu hóa kích thước tiết diện cột, thanh dàn, nâng cao độ tin cậy thiết kế lên trên 98%.
• Học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Kỹ thuật Xây dựng: Sử dụng luận văn như tài liệu tham khảo chuẩn mực về phương pháp biến phân, nguyên lý cực trị Gauss và các kỹ thuật giải bài toán ổn định đàn hồi bằng phương pháp số.
• Giảng viên bộ môn Cơ học kết cấu và Sức bền vật liệu: Khai thác cấu trúc 3 chương của luận văn để làm phong phú bài giảng chuyên đề, xây dựng các bài tập lớn và hướng dẫn sinh viên thực hiện đồ án tốt nghiệp sát với thực tế kỹ thuật.
• Lập trình viên và chuyên gia phát triển phần mềm mô phỏng: Tham khảo chi tiết thuật toán xây dựng ma trận độ cứng phần tử kích thước 4x4 và quy trình ghép nối ma trận tổng thể để xây dựng các mô-đun phân tích ổn định kết cấu tự động.

Câu hỏi thường gặp

Nguyên lý cực trị Gauss có ưu điểm gì vượt trội so với nguyên lý công ảo truyền thống?

Nguyên lý Gauss thiết lập điều kiện cực tiểu của lượng cưỡng bức dưới dạng bất đẳng thức mở rộng, cho phép so sánh hệ có liên kết với hệ tự do. Phương pháp này biến bài toán cân bằng lực cơ học thuần túy thành bài toán tìm cực trị toán học, áp dụng đồng thời cho cả bài toán tĩnh, động lực học và các liên kết bất đẳng thức mà không phụ thuộc vào giả thiết biến dạng ban đầu.

Phương pháp chuyển vị cưỡng bức xác định lực tới hạn của thanh như thế nào?

Phương pháp gán một chuyển vị cưỡng bức tại một điểm bất kỳ trên trục thanh, sau đó thiết lập phiếm hàm mở rộng với nhân tử Lagrange. Về mặt cơ học, nhân tử Lagrange đóng vai trò là lực giữ chuyển vị. Khi giải phương trình đa thức để tìm giá trị tải trọng làm cho lực giữ này triệt tiêu, giá trị tải trọng thu được chính là lực tới hạn uốn dọc của thanh.

Cần chia tối thiểu bao nhiêu phần tử hữu hạn để đạt sai số tính toán dưới 1%?

Đối với thanh thẳng chịu nén đàn hồi có tiết diện không đổi, kết quả phân tích số cho thấy chỉ cần chia từ 10 đến 12 phần tử hữu hạn là sai số so với nghiệm giải tích chính xác của Euler đã giảm xuống dưới mức 0,85%. Việc tăng số phần tử lên 20 giúp độ chính xác đạt tới 99,85%.

Luận văn có thể áp dụng cho các sơ đồ liên kết đầu thanh phức tạp không?

Mô hình phần tử hữu hạn được thiết lập cho phép áp dụng linh hoạt cho mọi điều kiện biên thực tế. Bằng cách khử hoặc gán các bậc tự do tương ứng tại các nút biên trên ma trận độ cứng tổng thể (như chuyển vị bằng 0 tại gối cố định hoặc góc xoay bằng 0 tại ngàm), mô hình giải quyết chính xác bài toán ổn định cho mọi sơ đồ liên kết.

Nghiên cứu này đóng góp gì vào việc phòng ngừa các sự cố sập đổ công trình?

Bằng việc cung cấp thuật toán phân tích chính xác lực tới hạn, nghiên cứu giúp các kỹ sư loại bỏ các giả định an toàn thái quá hoặc đánh giá thấp nguy cơ mất ổn định đàn hồi. Điều này giúp ngăn ngừa triệt để các tai nạn sập đổ kết cấu thanh mảnh từng xảy ra trong lịch sử ngành cầu đường và nhà công nghiệp cao tầng.

Kết luận

• Hệ thống hóa hoàn chỉnh lý thuyết ổn định công trình và làm rõ cơ chế mất ổn định của cấu kiện thanh chịu nén đàn hồi.
• Ứng dụng thành công nguyên lý cực trị Gauss với đại lượng biến phân chuyển vị để xây dựng phương trình vi phân uốn dọc của thanh.
• Đề xuất giải pháp giải bài toán ổn định thông qua phương pháp chuyển vị cưỡng bức và phiếm hàm mở rộng Lagrange đạt độ chính xác cao.
• Xây dựng quy trình phân tích số bằng phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị với sai số tính toán kiểm chứng dưới 1%.
• Mở ra hướng tiếp cận toán học mạch lạc, dễ lập trình tự động hóa cho các bài toán phân tích ổn định kết cấu phức tạp.

Kế hoạch phát triển tiếp theo tập trung vào việc mở rộng thuật toán sang bài toán thanh chịu nén lệch tâm và tấm vỏ mỏng trong khung thời gian 12 đến 24 tháng tới. Các đơn vị tư vấn thiết kế và viện nghiên cứu chuyên ngành có thể tham khảo, ứng dụng trực tiếp các thuật toán trong luận văn vào công tác tính toán thực tế nhằm nâng cao chất lượng và độ an toàn cho các công trình xây dựng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Tổng quan về lý thuyết ổn định công trình, Chương 2: Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Chương 3: Tính toán ổn định uốn dọc của thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn. 3 CHƯƠNG1 LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH Trong chương này bàn về lý thuyết ổn định công trình và các phương pháp chung để xây dựng các bài toán ổn định công trình, tiêu chuẩn về ổn định và các phương pháp giải bài toán ổn định công trình. Khái niệm về ổn định và ổn định công trình Một cách hình dung tốt nhất về khái niệm ổn định là ta (b) xét các trường hợp viên bi cứng (a) (d) trên các mặt cầu cứng lõm và s a lồi, Hình 1. Các trường hợp mất ổn định Rõ ràng là trong trường hợp (a), mặt cầu lõm, sự cân bằng của viên bi là ổn định bởi vì kích nó ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu (đáy cầu) rồi thả ra thì nó sẽ trở về vị trí đáy cầu hoặc lân cận với vị trí đó (nếu có ma sát).Trong trường hợp (b), mặt cầu lồi, sự cân bằng là không ổn định, bởi vì kích viên bi ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu rồi thả bi ra thì viên bi sẽ không trở lại vị trí ban đầu nữa.Trong trường hợp (c), hình yên ngựa, sự cân bằng là ổn định khi kích viên bi ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu theo phương s và là không ổn định theo phương t.Trong trường hợp (d), kích viên bi ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu thì nó lăn trên mặt phẳng ngang đến khi ngừng chuyển động, nó có vị trí cân bằng mới khác với trạng thái cân bằng ban đầu.

Trong trường hợp này ta nói rằng trạng thái cân bằng ban đầu là phiếm định (không phân biệt). Ở trên ta đã nói đến trạng thái cân bằng của viên bi. Suy rộng rata cũng có thể nói như vậy đối với các trạng thái cân bằng của cơ hệ phức tạp, ví dụ như trạng thái ứng suất và biến dạng, trạng thái nội lực và chuyển vị hoặc là trạng thái năng lượng. 4 Trở lại hình 1.

Khi lệch ra khỏi vị trí cân bằng, trọng tâm của viên bi lên cao, thế năng của nó tăng. Trạng thái cân bằng ổn định là trạng thái có thế năng tối thiểu.2b, khi lệch với trị số nhỏ, trọng tâm của viên bi giảm, thế năng của nó giảm. Trạng thái cân bằng không ổn định ứng với thế năng lớn.2d, khi lệch ra khỏi vị trí cân bằng, trọng tâm của viên bi không thay đổi, trạng thái cân bằng là phiếm định hoặc không phân biệt.2, để biết được trạng thái cân bằng của cơ hệ có ổn định hay không thì ta phải kích nó ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu. Phương pháp chung để đánh giá sự mất ổn định của cơ hệ là: Đưa hệ ra khỏi vị trí cân bằng ban đầu của nó và kiểm tra xem nó có tồn tại trạng thái cân bằng mới không.

Nếu như tìm được trạng thái cân bằng mới khác với trạng thái cân bằng ban đầu thì hệ là mất ổn định và lực giữ cho hệ ở trạng thái cân bằng mới này gọi là lực tới hạn, trường hợp ngược lại hệ là ổn định. Tầm quan trọng và lịch sử phát triển của lý thuyết ổn định công trình Ngoài việc biết được trạng thái cân bằng của hệ thì còn cần xét xem trạng thái cân bằng đó có phải là trạng thái cân bằng ổn định hay không.Thực tế, có nhiều công trình bị phá hoại do mất ổn định. Lịch sử về công nghệ xây dựng cho thấy không ít tai nạn lớn xảy ra ở các nước khác nhau do khi thiết kế các công trình đó người kỹ sư không xét đến đầy đủ các hiện tượng động cũng như sự mất ổn định. Việc sử dụng thép và các hợp kim có cường độ cao trong những kết cấu hiện đại như kết cấu nhà cao tầng; silo; bể chứa; cầu; tàu thủy và máy bay tất yếu dẫn đến phải sử dụng các cấu kiện thanh, thanh thành mỏng, tấm và vỏ mỏng chịu nén, làm cho hiện tượng mất ổn định đàn hồi trở thành một vấn đề có tầm quan trọng đặc biệt.

Thực tế cho thấy nhiều công trình bị sập đổ do mất ổn định, chiếc cầu đường sắt đầu tiên ở Kevđa – Nga là cầu dàn hở đã bị phá hủy năm 1875 do hệ thanh biên trên bị mất ổn định, Cầu dàn Quebéc ở Canada, bị phá hủy vì mất ổn định của thanh chịu nén trong khi xây dựng vào năm 1907[10, trg 5], Cầu Tacoma ở Mỹ xây dựng hoàn thành ngày 1/7/1940 và bị phá hủy 7/11/1940 do bị mất ổn định vì tác dụng của gió [32, trg 277] v.v… 5 Vấn đề ổn định kết cấu được bắt đầu từ công trình nghiên cứu bằng thực nghiệm do Piter Musschenbroek công bố năm 1729, đã đi đến kết luận rằng lực tới hạn tỷ lệ nghịch với bình phương chiều dài thanh. Ba mươi năm sau bằng phân tích toán học Leonhard Euler cũng nhận được kết quả như vậy. Đầu tiên các kỹ sư không chấp nhận kết quả thí nghiệm của Piter Musschenbroek và kết quả của lý thuyết Euler ngay cả Culông [31, trg 185] cũng tiếp tục cho rằng độ cứng của cột tỷ lệ thuận với diện tích mặt cắt ngang và không phụ thuộc vào chiều dài thanh. Những quan điểm đó dựa trên các kết quả thí nghiệm của cột gỗ và cột sắt lắp ghép có chiều dài tương đối ngắn, những thanh loại này thường bị phá hoại với tải trọng nhỏ thua tải trọng Euler do vật liệu bị phá hoại mà không phải do mất ổn định ngang gây ra.Lamac là người đầu tiên giải thích một cách thỏa đáng sự không phù hợp giữa kết quả lý thuyết và kết quả thực nghiệm, ông ấy chỉ ra rằng lý thuyết Euler là hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm khi bảo đảm rằng những giả thiết cơ bản của Euler về xem vật liệu là đàn hồi và điều kiện lý tưởng của các đầu cuối cần phải được bảo đảm.

Những thí nghiệm sau này khi người ta rất chú ý bảo đảm của đầu cuối của thanh và bảo đảm cho lực đặt đúng tâm của thanh đã khẳng định tính đúng đắn của công thức Euler. Các phương pháp xây dựng bài toán ổn định công trình 1.1 Phương pháp tĩnh học - Tạo cho hệ nghiên cứu một dạng cân bằng lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu. -Xác định trị số lực tới hạn (trị số lực cần thiết giữ cho hệ ở dạng cân bằng mới, lệch khỏi dạng cân bằng đầu). Lực tới hạn xác định từ phương trình đặc trưng (hay còn gọi là phương trình ổn định).

Người nghiên cứu có thể vận dụng nội dung nói trên khi áp dụng: Phương pháp thiết lập và giải phương trình vi phân; Phương pháp thông số ban đầu; Phương pháp lực; Phương pháp chuyển vị; Phương pháp hỗn hợp; Phương pháp sai phân hữu hạn; Phương pháp dây xích; Phương pháp nghiệm đúng tại từng điểm; Phương pháp Bubnov-Galerkin; Phương pháp giải đúng dần. 6 Trong thực tế, áp dụng các phương pháp tĩnh học để tìm nghiệm chính xác của bài toán ổn định thường gặp nhiều khó khăn và đôi khi không thể thực hiện được.2 Phương pháp động lực học - Lập và giải phương trình dao động riêng của hệ. - Xác định lực tới hạn bằng cách biện luận tính chất nghiệm của chuyển động: nếu dao động của hệ có biên độ tăng không ngừng theo thời gian thì dạng cân bằng ban đầu là không ổn định; ngược lại, nếu hệ luôn dao động bé quanh vị trí cân bằng ban đầu hoặc tắt dần thì là dạng đó là ổn định.3 Phương pháp năng lượng - Giả thiết trước dạng biến dạng của hệ ở trạng thái lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu. - Xuất phát từ dạng biến dạng đã giả thiết, lập biểu thức thế năng biến dạng và công của ngoại lực để viết điều kiện tới hạn của hệ.

- Từ điều kiện tới hạn, xác định giá trị của lực tới hạn. Có thể vận dụng các phương pháp năng lượng bằng cách áp dụng: Trực tiếp nguyên lý Lejeune-Dirichlet; Phương pháp Rayleigh-Ritz; Phương pháp Timoshenko. Do giả thiết trước biến dạng của hệ nên kết quả lực tới hạn tìm được thường là gần đúng và cho kết quả lớn hơn giá trị của lực tới hạn chính xác. Như vậy mức độ chính xác của kết quả theo các phương pháp năng lượng phụ thuộc vào khả năng phán đoán biến dạng của hệ ở trạng thái lệch: hàm chuyển vị được chọn càng gần với đường đàn hồi thực của thanh thì kết quả càng chính xác.

Theo cách làm này thì hàm chuyển vị chọn trước thỏa mãn càng nhiều điều kiện biên hình học và tĩnh học càng tốt nhưng ít nhất phải thỏa mãn điều kiện biên tĩnh học. Đường lối của ba loại phương pháp (phương pháp tĩnh; phương pháp động; phương pháp năng lượng) tuy khác nhau nhưng cho cùng một kết quả đối với hệ bảo toàn.Đối với hệ không bảo toàn, các phương pháp tĩnh và các phương pháp năng lượng dẫn đến kết quả không chính xác, người ta phải sử dụng các phương pháp động lực học. 7 Hệ bảo toàn tức là những hệ chịu lực bảo toàn. Lực bảo toàn có tính chất sau đây : - Độ biến thiên công của lực bằng vi phân toàn phần của thế năng.

- Công sinh ra bởi các lực trên các chuyển vị hữu hạn không phụ thuộc vào đường di chuyển của lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đặt đầu và điểm đặt cuối của lực. - Tuân theo nguyên lý bảo toàn năng lượng. Sự xuất hiện của ma sát nội do quan hệ phi đàn hồi hay ma sát ngoại sẽ dẫn đến hệ lực không bảo toàn. 8 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS Chương này trình bày nguyên lý Gauss, sau đó trình bày phương pháp mới dựa trên nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng và giải các bài toán cơ học dưới dạng tổng quát, chủ yếu là của cơ hệ vật rắn biến dạng.

Để đạt mục tiêu trên, trong chương còn giới thiệu các khái niệm ứng suất và biến dạng của cơ hệ môi trường liên tục và của cơ học kết cấu. Cuối cùng, để làm ví dụ, trình bày việc áp dụng phương pháp mới để nhận được các phương trình vi phân cân bằng của cơ hệ. Nguyên lí cực trị Gauss Năm 1829 nhà toán học người Đức K. Gauss đã đưa ra nguyên lý sau đây đối với cơ hệ chất điểm [1,tr.