Luận văn: Nghiên cứu tính chất quang của nanô tinh thể CdSe/ZnS

Luận văn nghiên cứu chế tạo và khảo sát tính chất quang của nanô tinh thể bán dẫn CdSe/ZnS cấu trúc lõi vỏ. Tìm hiểu ứng dụng tiềm năng.

• Tác giả: Nguyễn Văn Chúc
• Người hướng dẫn: PGS. Phạm Thu Nga
• Trường học: Trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Khoa học và Công nghệ nanô
• Đề tài: Nghiên Cứu Chế Tạo, Tính Chất Quang Của Các Nanô Tinh Thể Bán Dẫn CdSe/ZnS Với Cấu Trúc Lõi/Vỏ (Core/Shell)
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2005
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. Chương 1: TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU
• 1.1. Giới thiệu về các hệ bán dẫn thấp chiều
• 2. chương 2 trình bầy về phần thực nghiệm
• 3. chương 3 trình bầy các kết quả chính của bản luận văn và thảo luận
• Tài liệu tham khảo
• kết luận

Tóm tắt

I. Luận Văn Thạc Sĩ Tổng Quan Chế Tạo CdSe ZnS Core Shell

Các nanô tinh thể bán dẫn, hay còn gọi là chấm lượng tử (Quantum dots), là những tinh thể nhân tạo với kích thước nanomet (1 nm = 10⁻⁹ m). Chúng sở hữu các tính chất quang vật lý và quang hóa độc đáo, phụ thuộc vào kích thước, điều mà không thể tìm thấy ở các phân tử riêng lẻ hay vật liệu khối có cùng thành phần. Do hiệu ứng giam giữ lượng tử, các tính chất điện được tăng cường, các tính chất quang thay đổi, và khả năng xúc tác quang hóa tăng lên. Điều này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học. Việc tổng hợp các nanô tinh thể bán dẫn với sự phân bố kích thước hẹp và hiệu suất huỳnh quang cao đã làm cho các chấm lượng tử trở nên hấp dẫn hơn so với các phân tử hữu cơ trong các ứng dụng quang điện tử và dán nhãn huỳnh quang sinh học. Các chấm lượng tử bền hơn đối với sự oxy hóa bằng các photon so với các phân tử hữu cơ, và vạch huỳnh quang của chúng cũng hẹp hơn. Các tính chất quang học theo kích thước của chúng, độc lập với các tính chất hóa học, đã làm cho các chấm lượng tử bán dẫn đặc biệt thú vị để làm các vật liệu hoạt tính trong các linh kiện phát sáng (QDs-LED).

1.1. Giới thiệu chung về nanô tinh thể CdSe ZnS

Các nanô tinh thể CdSe/ZnS với cấu trúc lõi vỏ (core-shell) đang thu hút sự quan tâm lớn nhờ vào khả năng điều chỉnh tính chất quang của chúng thông qua việc thay đổi kích thước và thành phần. Cấu trúc này bao gồm một lõi CdSe và một lớp vỏ ZnS, giúp tăng cường độ bền quang và hiệu suất lượng tử của nanô tinh thể. Nghiên cứu tập trung vào việc tổng hợp, đặc trưng và ứng dụng của các vật liệu này. Tài liệu gốc đề cập đến việc chế tạo các nanô tinh thể này bằng phương pháp micelle đảo, một kỹ thuật hóa học phù hợp với điều kiện phòng thí nghiệm.

1.2. Ứng dụng tiềm năng của nanô tinh thể bán dẫn

Nanô tinh thể bán dẫn có nhiều ứng dụng tiềm năng, bao gồm công nghệ sinh học (làm các chất đánh dấu sinh học và hiện ảnh các tế bào), chế tạo LEDs màu trắng, các linh kiện viễn thông (khuếch đại quang và dẫn sóng), máy tính lượng tử và màn hình phân giải cao. Tài liệu gốc [2] cũng đề cập đến việc theo dõi ADN bằng cách đánh dấu bằng các hạt nanô bán dẫn, nhờ vào màu sắc phát ra đặc trưng.

II. Thách Thức Nghiên Cứu Ổn Định và Tối Ưu Tính Chất Quang CdSe ZnS

Mặc dù có nhiều ưu điểm, việc nghiên cứu và ứng dụng nanô tinh thể bán dẫn cũng gặp phải một số thách thức. Một trong những thách thức lớn nhất là làm thế nào để ổn định hóa nanô tinh thể, ngăn chặn sự kết tụ và duy trì tính chất quang theo thời gian. Khả năng phát xạ liên quan đến các trạng thái bề mặt của các nanô tinh thể là rất lớn. Vì vậy, để hạn chế quá trình phát quang do các trạng thái bề mặt và làm tăng hiệu suất phát quang, thì việc làm thụ động hoá bề mặt các hạt nanô tinh thể, bằng cách bọc nó bởi một lớp vỏ của một chất bán dẫn khác, có độ rộng vùng cấm lớn hơn rất cần thiết. Việc kiểm soát kích thước, thành phần và cấu trúc core-shell một cách chính xác cũng là một vấn đề quan trọng để đạt được tính chất quang mong muốn.

2.1. Ảnh hưởng của trạng thái bề mặt đến tính chất quang

Trạng thái bề mặt của nanô tinh thể ảnh hưởng lớn đến tính chất quang. Các khuyết tật bề mặt có thể tạo ra các bẫy điện tử hoặc lỗ trống, làm giảm hiệu suất lượng tử và thay đổi phổ phát xạ. Do đó, cần có các phương pháp xử lý bề mặt hiệu quả để cải thiện tính chất quang của nanô tinh thể. Ổn định húa nanô tinh thể là rất quan trọng

2.2. Kiểm soát kích thước và thành phần nanô tinh thể

Việc kiểm soát chính xác kích thước và thành phần của nanô tinh thể là rất quan trọng để điều chỉnh tính chất quang. Các phương pháp tổng hợp cần phải được tối ưu hóa để đảm bảo sự phân bố kích thước hẹp và độ đồng đều cao. Điều này có thể đạt được thông qua việc kiểm soát chặt chẽ các thông số phản ứng như nhiệt độ, thời gian và nồng độ chất phản ứng.

2.3. Vai trò của lớp vỏ ZnS trong bảo vệ và cải thiện tính chất quang

Lớp vỏ ZnS đóng vai trò quan trọng trong việc bảo vệ lõi CdSe khỏi các tác động từ môi trường bên ngoài, giảm thiểu các khuyết tật bề mặt và tăng cường độ bền quang. Lớp vỏ này cũng có thể cải thiện hiệu suất lượng tử bằng cách ngăn chặn sự tái hợp không bức xạ trên bề mặt.

III. Nghiên Cứu Chế Tạo Phương Pháp Micelle Đảo Cho CdSe ZnS Core Shell

Luận văn sử dụng phương pháp micelle đảo để tổng hợp nanô tinh thể CdSe/ZnS. Phương pháp này cho phép kiểm soát kích thước hạt tốt hơn và phù hợp với điều kiện phòng thí nghiệm. Quá trình bao gồm việc tạo ra các micelle đảo chứa các tiền chất của CdSe và ZnS, sau đó kết hợp chúng lại để tạo ra cấu trúc core-shell. Pha hữu cơ ở đây là hợp chất TOPO và TOP. Việc khống chế kích thước của các hạt nanô tinh thể CdSe được thực hiện nhờ việc sử dụng tỷ lệ chất khống chế bề mặt (tỷ lệ giữa TOPO và HDA), nhiệt độ cũng như thời gian thực hiện quá trình phản ứng.

3.1. Quy trình tổng hợp lõi CdSe bằng phương pháp micelle đảo

Các nanô tinh thể CdSe được chế tạo từ muối axetat Cadimi Cd(CH3COO)₂.2H₂O và Selen kim loại. Pha hữu cơ được sử dụng là hỗn hợp Trioctylphosphine (TOP), Trioctylphosphine Oxide (TOPO) và Hexadecylamine (HDA). Dung dịch TOPSe và TOPCd được trộn vào dung dịch hỗn hợp TOPO và HDA trong điều kiện khí N₂ và nhiệt độ cao. Kích thước hạt CdSe được kiểm soát bằng tỷ lệ TOPO/HDA, nhiệt độ và thời gian phản ứng.

3.2. Tạo lớp vỏ ZnS cho cấu trúc core shell CdSe ZnS

Sau khi có lõi CdSe, lớp vỏ ZnS được tạo ra từ dung dịch chứa ion Zn²⁺ và S²⁻. Tỷ lệ mole giữa ZnS và CdSe được tính toán dựa trên kích thước của lõi CdSe và chiều dày mong muốn của lớp vỏ. Các dung dịch chứa Zn(CH₃COO)₂.2H₂O và C₂H₅NS được trộn với dung dịch CdSe trong TOPO và HDA ở nhiệt độ cao, tạo ra cấu trúc core-shell CdSe/ZnS.

3.3. Các yếu tố ảnh hưởng đến kích thước và chất lượng nanô tinh thể

Nhiệt độ, thời gian phản ứng và tỷ lệ chất hoạt động bề mặt có ảnh hưởng lớn đến kích thước và chất lượng của nanô tinh thể. Nhiệt độ cao và thời gian phản ứng dài hơn thường dẫn đến kích thước hạt lớn hơn. Tỷ lệ chất hoạt động bề mặt cao hơn có thể giúp ổn định nanô tinh thể và ngăn chặn sự kết tụ.

IV. Tính Chất Quang Ảnh Hưởng Kích Thước và Cấu Trúc Lõi Vỏ CdSe ZnS

Tính chất quang của nanô tinh thể CdSe/ZnS phụ thuộc mạnh mẽ vào kích thước hạt và cấu trúc lõi vỏ. Kích thước hạt nhỏ hơn dẫn đến sự dịch chuyển phổ hấp thụ và phát xạ về phía bước sóng xanh (blue shift), do hiệu ứng giam giữ lượng tử. Lớp vỏ ZnS giúp tăng cường độ bền quang và hiệu suất lượng tử của lõi CdSe. Các phép đo phổ hấp thụ, phát xạ huỳnh quang và Raman được sử dụng để nghiên cứu tính chất quang của các vật liệu này.

4.1. Phân tích phổ hấp thụ UV Vis để xác định kích thước nanô tinh thể

Phổ hấp thụ UV-Vis được sử dụng để ước tính kích thước của nanô tinh thể thông qua sự dịch chuyển của bờ hấp thụ về phía bước sóng xanh. Công thức của Effros, Brus và Kayanuma được áp dụng để tính toán kích thước hạt dựa trên năng lượng vùng cấm hiệu dụng.

4.2. Nghiên cứu phổ phát xạ huỳnh quang và hiệu suất lượng tử

Phổ phát xạ huỳnh quang cho thấy các đỉnh phát xạ đặc trưng của nanô tinh thể CdSe/ZnS, phụ thuộc vào kích thước và thành phần. Lớp vỏ ZnS giúp tăng cường hiệu suất lượng tử bằng cách giảm thiểu các khuyết tật bề mặt và ngăn chặn sự tái hợp không bức xạ.

4.3. Phân tích phổ Raman để nghiên cứu cấu trúc tinh thể

Phổ Raman cung cấp thông tin về cấu trúc tinh thể và các trạng thái dao động điện tử trong nanô tinh thể. Sự dịch chuyển và mở rộng của các vạch phổ Raman có thể được sử dụng để ước tính kích thước hạt và xác định các pha tinh thể khác nhau.

V. Ứng Dụng Tiềm Năng Cảm Biến Hiển Thị và Y Sinh từ CdSe ZnS

Nanô tinh thể CdSe/ZnS có nhiều ứng dụng tiềm năng nhờ vào tính chất quang độc đáo của chúng. Chúng có thể được sử dụng trong các cảm biến quang học, các thiết bị hiển thị (như QLED) và trong y sinh học (như chất đánh dấu sinh học). Khả năng điều chỉnh tính chất quang và độ bền cao của nanô tinh thể này làm cho chúng trở thành một lựa chọn hấp dẫn cho nhiều ứng dụng công nghệ.

5.1. Ứng dụng trong cảm biến quang học và hiển thị

Nanô tinh thể CdSe/ZnS có thể được sử dụng trong các cảm biến quang học để phát hiện các chất hóa học hoặc sinh học. Chúng cũng có thể được sử dụng trong các thiết bị hiển thị, như QLED, nhờ vào khả năng phát ra ánh sáng với màu sắc chính xác và hiệu suất cao.

5.2. Ứng dụng trong y sinh học làm chất đánh dấu sinh học

Nanô tinh thể CdSe/ZnS có thể được sử dụng làm chất đánh dấu sinh học trong các ứng dụng y sinh học, như chẩn đoán bệnh và theo dõi phân phối thuốc. Chúng có thể được gắn vào các phân tử sinh học và theo dõi bằng cách quan sát ánh sáng phát ra.

VI. Kết Luận Tiềm Năng Phát Triển và Hướng Nghiên Cứu CdSe ZnS

Luận văn đã trình bày một nghiên cứu về chế tạo và tính chất quang của nanô tinh thể CdSe/ZnS với cấu trúc core-shell bằng phương pháp micelle đảo. Các kết quả cho thấy rằng phương pháp này có thể được sử dụng để tạo ra các nanô tinh thể với kích thước và tính chất quang có thể điều chỉnh được. Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc tối ưu hóa quá trình tổng hợp, cải thiện độ bền quang và khám phá các ứng dụng mới cho nanô tinh thể này.

6.1. Tối ưu hóa quy trình tổng hợp và tăng cường độ bền quang

Các nghiên cứu tiếp theo nên tập trung vào việc tối ưu hóa quy trình tổng hợp để đạt được sự phân bố kích thước hẹp hơn và cải thiện độ bền quang của nanô tinh thể. Các phương pháp xử lý bề mặt và các kỹ thuật bảo vệ khác có thể được sử dụng để tăng cường độ bền quang.

6.2. Nghiên cứu các ứng dụng mới và tiềm năng thương mại hóa

Các nghiên cứu tiếp theo nên tập trung vào việc khám phá các ứng dụng mới cho nanô tinh thể CdSe/ZnS, như trong các thiết bị cảm biến, hiển thị và y sinh học. Việc nghiên cứu các phương pháp sản xuất quy mô lớn và các chiến lược thương mại hóa cũng là rất quan trọng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU 1. Giới thiệu về các hệ bán dẫn thấp chiều Các hệ bán dẫn thấp chiều là những hệ có kích thước theo một, hai hoặc cả ba chiều có thể so sánh với bước sóng De Broglie của hạt tải (điện tử, lỗ trống). Việc giải ra nghiệm của phương trình Schrodinger cho thấy chiều của hệ đóng vai trò quan trọng trong phổ năng lượng của hệ. Theo số chiều này, ta có thể được chia ra làm bốn trường hợp như sau [1]: * Trường hợp 3D (vật liệu khối): phổ năng lượng điện tử liên tục, và điện tử chuyển động gần như tự do.

* Trường hợp 2D (hố lượng tử hay giếng lượng tử): chuyển động của điện tử bị giới hạn theo một chiều có kích thước vào cỡ bước sóng De Broglie, trong khi chuyển động của điện tử tự do theo hai chiều còn lại. Phổ năng lượng bị gián đoạn theo chiều bị giới hạn. * Trường hợp 1D (dây lượng tử): điện tử bị giới hạn theo hai chiều, nó chuyển động tự do dọc theo chiều dài của dây. Phổ năng lượng gián đoạn theo hai chiều trong không gian.

* Trường hợp 0D (gần như không chiều, là chấm lượng tử): về cơ bản, điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều trong không gian, và không thể chuyển động tự do. Các mức năng lượng bị gián đoạn theo cả ba chiều trong không gian. Một thông số quan trọng để hiểu sâu sắc hơn về phổ năng lượng do sự giảm số chiều là mật độ trạng thái     , cho số trạng thái khả dĩ trên một đơn vị năng lượng. Mật độ trạng thái phụ thuộc theo căn bậc hai vào năng lượng và được cho bởi quan hệ sau [1]: 1/ 2  m*  2E 3 D      2  (1.1)   2 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Ở đây, m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử, E là năng lượng của trạng thái điện tử.

Ngược lại, đối với giếng lượng tử, sự giới hạn điện tử trong một chiều khiến cho năng lượng là tổng của các trạng thái lượng tử hoá đi kèm với sự giam giữ: k22 n  * 2 (1.2) 2m L Ở đây,  n là mức năng lượng thứ n, L là độ rộng của giếng thế năng. Mật độ trạng thái trong giếng lượng tử liên quan với năng lượng này và được cho bởi: m* 2 D     2    E   n  (1.3) 2 n với  là hàm bậc thang Heaviside. Mật độ trạng thái có dạng bậc thang, với mỗi số hạng trong tổng tương ứng có đóng góp từ vùng thứ n. Mỗi số hạng độc lập với mức m* năng lượng  n , và cách nhau một khoảng.

2 2 Vật liệu Giếng Sợi lượng Chấm khối lượng tử tử lượng tử Năng lượng Năng lượng Năng lượng Năng lượng Hình 1. Sự giam giữ lượng tử dẫn đến sự thay đổi các mức năng lượng và mật độ các trạng thái từ tinh thể bán dẫn khối tới giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử. TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Mức năng lượng và mật độ trạng thái trong hệ một chiều chịu thêm một giam giữ của một điện tử. Khi đó, năng lượng toàn phần là tổng của các mức năng lượng gián đoạn theo hai chiều bị giam giữ và liên tục theo chiều dài của dây.

Điều này dẫn đến mật độ trạng thái của hệ một chiều có dạng: 1/ 2  2 m*  1D      2 2      1 n ,n  E   x y  E  n ,n  x y  (1.4) n ,n x y Mật độ trạng thái này rất đặc biệt vì nó phân kỳ khi động năng nhỏ (ở đáy của các tiểu vùng nx, ny) và giảm khi động năng tăng. Với hệ gần như không chiều (trường hợp của các nanô tinh thể bán dẫn, còn được gọi là các chấm lượng tử), các mức năng lượng bị gián đoạn, và với một hệ lý tưởng, mật độ trạng thái là tổng của các nx , n y , nz  hàm delta: 0 D     2   E   n , n , n x y z  (1.3 minh họa các chiều giam giữ lượng tử và sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào năng lượng. Các trạng thái điện tử trong chấm lượng tử bán dẫn [21, 26] Một chấm lượng tử thường được miêu tả như là một nguyên tử nhân tạo bởi vì điện tử thì bị giam giữ về mặt chiều thì giống như là trong một nguyên tử và có các trạng thái năng lượng gián đoạn. Gần đây, đã có nhiều nỗ lực được tiến hành để có thể chế tạo ra các chấm lượng tử với các hình dáng hình học khác nhau, để có thể khống chế được hàng rào thế giam giữ các điện tử (và các lỗ trống) (Williamson, 2002).

Các mức năng lượng gián đoạn sinh ra các phổ hấp thụ và phát xạ hẹp và nhọn đối với các chấm lượng tử, thậm chí tại nhiệt độ phòng. Tuy nhiên, cũng cần phải lưu ý rằng điều này là lý tưởng, và các phổ do dịch chuyển quang học cũng bị mở rộng đồng nhất và bất đồng nhất. Do tỷ lệ lớn giữa thể tích và diện tích bề mặt của các nguyên tử của các chấm lượng tử, nên các chấm lượng tử còn biểu lộ các hiện tượng liên quan đến bề mặt. Các chấm lượng tử thường được miêu tả theo ngôn ngữ của mức độ giam giữ.

Chế độ giam giữ mạnh được xác định cho trường hợp khi kích thước của chấm lượng nhỏ hơn bán kính Bohr exciton (aB). Khi này, sự phân chia năng lượng giữa TIEU LUAN MOI download : [e-mail] các vùng (sub-bands) - là sự biến đổi các mức của các điện tử và các lỗ trống - được lượng tử hoá, thì rất lớn hơn là năng lượng liên kết exciton. Bởi thế, các điện tử và các lỗ trống thì thường được biểu diễn bằng các trạng thái năng lượng của các vùng sub-bands của chúng. Khi kích thước của chấm lượng tử tăng, sự phân chia năng lượng giữa các vùng sub-bands trở nên so sánh được, một cách hiển nhiên với năng lượng liên kết exciton.

Đây là trường hợp của chế độ giam giữ yếu, khi kích thước của chấm lượng tử thì lớn hơn bán kính Bohr exciton. Năng lượng liên kết điện tử - lỗ trống trong trường hợp này thì gần như là trong bán dẫn khối. Để bắt đầu xem xét về một vài tính chất của các hạt lượng tử thì cần xem xét các điện tử trong tinh thể, ở đây, cần nhớ lại bài toán từ cơ lượng tử cơ bản, là một hạt trong một giếng thế năng. Chúng ta bắt đầu với hạt trong một giếng thế năng một chiều [23].

Phương trình Schrodinger độc lập về thời gian liên quan có thể viết là: 2 2   ( x)  U ( x) ( x)  E ( x) (1.6) 2m x 2 ở đây m là khối lượng của hạt, E là năng lượng hạt, và thế năng U(x) được xem là giếng hình trụ với độ cao thành giếng là không xác định, nó là:  0 khi x  a / 2 U ( x)   (1.7)  khi x a/2 Trong phương trình trên, a ký hiệu cho độ rộng của giếng. Đã được biết từ cơ lượng tử là từ phương trình Schrodinger ở trên (1.6) có lời giải các loại chẵn và lẻ. Kết quả quan trong nhất của bài toán là một tập hợp các giá trị năng lượng gián đoạn được cho bởi công thức: 2 2 En  2 n2 (1.8) 2ma Khoảng cách giữa các mức năng lượng liền kề được cho bởi công thức:  2 2 (2n  1) En  En 1  En  (1.9) 2ma 2 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] và nó tăng theo n. Các hàm sóng đối với mỗi một trạng thái năng lượng thì triệt tiêu ở x  a.

Biên độ của các hàm sóng là giống nhau, và sác xuất tổng cộng để tìm thấy một hạt ở bên trong hộp chính xác là bằng một đơn vị đối với tất cả các trạng thái. Lưu ý rằng phương trình (1.8) cho ta các giá trị động năng. Bằng cách dùng quan hệ p2 giữa năng lượng E, môment p, và số sóng k là E  ,p k (1.10) 2m chúng ta có thể viết các giá trị mômnet và số sóng liên quan:   pn  , kn  n (1.11) a a các đại lượng này cũng lấy các giá trị gián đoạn. Nếu có tồn tại một hạt, thì đại lượng * phải khác 0 tại một nơi nào đó.

Như vậy, lời giải thoả mãn (1.7) với n = 0 không thể được phép, bởi vì điều này sẽ phủ nhận sự tồn tại của một hạt. Năng lượng tối thiểu mà một hạt có thể có được cho bởi 2 2 E1  (1.12) 2m a 2 Năng lượng này được gọi là năng lượng điểm zero của hạt. Nó có thể được rút ra từ kết quả của hệ thức bất định Heisenberg: px  (1.13) 2 Một hạt bị giam chặt trong vùng không gian x = a. Do đó, phù hợp với (1.13), nó phải là không xác định nếu môment của nó có giá trị p .

Số hạng sau tương 2a ứng năng lượng tối thiểu  p   2 2 E  (1.14) 2m 8ma 2 tương tự với E1 trong (1.12) với độ chính xác của 2/4. Trong trường hợp các thành giếng có chiều cao xác định, các hàm sóng không thể bị triệt tiêu tại bờ của thành giếng, nhưng bị giảm theo hàm mũ ở bên trong vùng cấm cổ điển x  > a/2. Sác xuất khác 0 hiện ra để tìm ra một hạt ở bên ngoài TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Với sự tăng n, sác xuất này tăng.

Số các trạng thái ở bên trong giếng được kiểm soát bởi điều kiện a 2mUo  (n 1) (1.15) ở đây Uo là chiều cao của giếng.15) luôn giữ đối với n =1. Bởi vậy, ít nhất là có một trạng thái ở bên trong giếng thế năng một chiều với bất kỳ sự liên hợp nào của a và Uo. Số khả năng của các trạng thái ở bên trong giếng tương ứng với giá trị cực đại n đối với (1.15) vẫn còn được giữ. Vị trí tuyệt đối của các mức năng lượng thì thấp hơn giá trị xác định Uo được so sánh với Uo   bởi vì bước sóng hiệu dụng của hạt trở nên lớn hơn.

Đối với các trạng thái sâu, phương trình (1.8) có thể được coi nhu là gần đúng tốt. Tất cả các trạng thái với E n > Uo tương ứng với chuyển động không xác định và hình thành các trạng thái liên tục.