I. Giới thiệu và cơ sở lý thuyết
Luận văn 'Lý Thuyết Đồng Điều Và Đối Đồng Điều Kỳ Dị' tập trung vào việc khám phá các khái niệm cơ bản và nâng cao trong lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị. Các khái niệm này được phát triển từ công trình của Poincaré và được mở rộng bởi Eilenberg và Steenrod. Luận văn nhấn mạnh tầm quan trọng của hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod trong việc xây dựng lý thuyết đồng điều tổng quát. Các không gian tôpô, phạm trù, và hàm tử là những công cụ không thể thiếu trong việc phân tích và ứng dụng lý thuyết này.
1.1. Không gian tôpô và ánh xạ liên tục
Không gian tôpô là nền tảng cơ bản trong lý thuyết đồng điều. Một không gian tôpô được định nghĩa bởi một tập hợp và một họ các tập mở thỏa mãn các tiên đề nhất định. Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô là công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất bất biến. Ví dụ, ánh xạ liên tục từ một n-đơn hình chuẩn đến một không gian tôpô X là cơ sở để xây dựng dây chuyền kỳ dị và đồng điều kỳ dị.
1.2. Phạm trù và hàm tử
Phạm trù là một khái niệm trừu tượng bao gồm các vật và các cấu xạ giữa chúng. Trong lý thuyết đồng điều, phạm trù các không gian tôpô và phạm trù các nhóm Abel đóng vai trò quan trọng. Hàm tử là các ánh xạ giữa các phạm trù, chẳng hạn như hàm tử đồng điều, biến các không gian tôpô thành các nhóm Abel. Các hàm tử này giúp liên kết các tính chất tôpô với các tính chất đại số.
II. Hệ tiên đề Eilenberg Steenrod
Hệ tiên đề Eilenberg-Steenrod là nền tảng cho việc xây dựng lý thuyết đồng điều tổng quát. Các tiên đề này bao gồm các yêu cầu về tính tự nhiên, tính khớp dài, và tính bất biến đồng luân. Luận văn trình bày chi tiết các tiên đề này và minh họa bằng các ví dụ cụ thể. Tiên đề số chiều và tiên đề khoét là những yếu tố quan trọng giúp xác định các nhóm đồng điều của các không gian tôpô.
2.1. Tiên đề tự nhiên và tính khớp dài
Tiên đề tự nhiên yêu cầu rằng các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô phải tương ứng với các đồng cấu giữa các nhóm đồng điều. Tính khớp dài đảm bảo rằng với mỗi cặp không gian (X, A), tồn tại một dãy khớp dài liên kết các nhóm đồng điều của X, A, và X/A. Điều này giúp nghiên cứu các tính chất tôpô của không gian thông qua các nhóm đại số.
2.2. Tiên đề số chiều và tiên đề khoét
Tiên đề số chiều xác định rằng nhóm đồng điều của một không gian điểm là tầm thường ở mọi bậc khác 0. Tiên đề khoét cho phép tính toán các nhóm đồng điều của một không gian bằng cách khoét đi một tập con mở. Các tiên đề này là công cụ mạnh mẽ trong việc tính toán và ứng dụng lý thuyết đồng điều.
III. Lý thuyết đồng điều và đối đồng điều kỳ dị
Lý thuyết đồng điều kỳ dị là một trường hợp đặc biệt của lý thuyết đồng điều, được xây dựng dựa trên các ánh xạ liên tục từ các đơn hình chuẩn đến không gian tôpô. Luận văn trình bày cách xây dựng dây chuyền kỳ dị, phức dây chuyền kỳ dị, và các nhóm đồng điều kỳ dị. Các nhóm đồng điều này là bất biến đối với các không gian tương đương đồng luân, làm cho chúng trở thành công cụ hữu ích trong nghiên cứu tôpô đại số.
3.1. Dây chuyền kỳ dị và phức dây chuyền
Dây chuyền kỳ dị được xây dựng từ các ánh xạ liên tục từ các đơn hình chuẩn đến không gian tôpô. Toán tử bờ trên các đơn hình này tạo thành một phức dây chuyền kỳ dị. Đồng điều kỳ dị là đồng điều của phức dây chuyền này, và các nhóm đồng điều nhận được là bất biến đối với các không gian tương đương đồng luân.
3.2. Ứng dụng của đồng điều kỳ dị
Đồng điều kỳ dị có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như hình học vi phân, hình học đại số, và tôpô vi phân. Các nhóm đồng điều kỳ dị giúp nghiên cứu các tính chất tôpô của không gian thông qua các bất biến đại số. Luận văn cũng đề cập đến các lý thuyết đồng điều khác như đồng điều của CW-phức và đồng điều phổ.
