CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN HÀM VÀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC ĐẶT KHÔNG CHỈNH Trong chương này, luận văn nhắc lại các định nghĩa, khái tính chất của các không gian hàm cơ bản, của các chuẩn và tích vô hướng, cũng như của toán tử tuyến tính bị chặn và toán tit compact. Mot ết quả chỉ tiết, đầy đủ và chuyên sâu hơn của giải tích hàm, người đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2],(3],(4). Chương này cũng nhắc lại các khái niệm cơ bản trong lý thuyết bài toán ngược đặt không chỉnh như các khái niệm về bài toán thuận và ngược, bài toán đặt chỉnh và không đặt chỉnh và tính đặt không chỉnh của phương trình toán tử compact. Chúng tôi chỉ đến các tài liệu [1],[4], cho một nghiên cứu sâu và toàn diện về lý thuyết bài toán ngược đặt không chỉnh, các phương pháp chỉnh hóa và ứng dụng.CÁC KHÔNG GIAN HÀM 1.
Không gian định chuẩn (Normed Spaces) Định nghĩa 1. Cho X là một không gian vectơ trên trường R. Một chuẩn trên X là một ánh xạ. :XoR œ e> ||z|| thỏa mãn các tính chất sau: 1) |lz||>0, YzeX, và llzl|=0 œz= 2) llazll = lalllzl|, Vee X, VaeR, 3) lẽ +ø|| < lell+ llu|l.
6 Một không gian vectơ X trên R với chuẩn |(.|| được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường số thực R, kí hiệu (X, ||.||) hay gọi ngắn gọn là X, nếu ||.||) là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó, ánh xạ d:XxX>R (x,y) > d(x,y) = ||z — yl) là một metric trên X. Ta gọi đ là một metric được sinh ra từ chuẩn hay chuẩn cảm sinh mmetric d trên X. Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian metric.
Không gian tuyến tính định chuẩn (X, |||) được gọi là không gian Banach nêu nó đầy đủ với mêtric được sinh ra bởi chuẩn. Không gian Hilbert (Hilbert Spaces) Định nghĩa 1. Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Mot tích vô hướng trong X là một ánh xạ (,):XxXSR (x,y) > (x,y) thỏa mãn các tính chất sau: 1) (,#) > 0V # 0,(z,z) = 0 @z =0, 2) (x,y) = (u,+),V,z,u € X, 3) (az,) = a(z,),Vz,u € X,Va €R, 4) @@+,z) = ứ,2) + (y,z),Wz, w,z € X.
Khi đó, (z,) được gọi là tích uô hướng của hai vectơ # và y. Không gian tuyến tính X trên R cùng với tích vô hướng (-,:) trên được gọi là không gian tiền Hilbert tren R, ký hiệu (X, (s,:)). 7 Ngoài ra, khi tich vo huGng (-,-) đã được xác định rõ ràng, ta thường, kí hiệu không gian tiền Hilbert là X thay vì viết dạng đầy đủ (X, (-,-)). Một không gian định chuẩn X trên R được gọi là một không gian Ba- nách nếu chuẩn ||.|| cảm sinh từ tích vô hướng.
Một không gian tiền Hilbert (X,(,)) đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Các không gian R", L7[a, 6] 1 cdc khong gian Hilbert với tích vô hướng được xác định tương ứng là: Œu) = Ð tị # = (t;6,. tịn) € RP, a , € la, (eu)= [ s@)6()de,ø,6 1. Chuan: Orthonormal Định nghĩa 1.
(Chuẩn: Orthonormal) Cho X là không gian tiền Hilbert.z X, xác định một Chuẩn (Orthonormal) trên X. Ta nói rằng ||z|| là chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng. Hệ trực chuẩn: Orthonormal System Định nghĩa 1. TOAN TU BI CHAN VA TOAN TU LIEN HOP 1.
Toan tif tuyén tinh (Linear Operator) Định nghĩa 1. Cho X va Y là hai không gian tuyến tính bắt kỳ. Ánh xa A: X — Y được gọi là todn tit tuyén tinh (Orthonormal System) néu: (i) A(w+y) = A(x) +A(y) ,We,y © X; (ii) A(az) =aA(œ),Vz€ X,Va €R. Nếu 4: X — R là một toán tử tuyến tính, thì ta nói rằng 4 là một phiếm hàm tuyến tính.
Néu A: X +Y là toán tử tuyến tính, thì ta thường viết Az thay cho A (x). Ngoai ra, ta ký hiệu: N(A) = {x € X|Ar = 0} R(A) = {Az|x X}. Khi d6, N(A) là một không gian con của X, được gọi là không gian không điểm của A, và R(A) là không gian con của Y, được gọi là miền giá trị của A. Toán tử liên tục (Continuos Operator) Định nghĩa 1.
Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, một toán tử tuyến tính 4: X —> Y được gọi là liên fục nếu với mọi xp € X, va ©, > Zp, ta cd Ax, + Axo. Chuan cia toan tit (Boundedness, Norm of Operator) Định nghĩa 1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A: X© Y là một toán tử tuyến tính. Khi đó, 4 được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số e > 0 sao cho I.
9 Ta nói, chuẩn của toán tử A được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của hằng số này thỏa mãn bất đẳng thức trên, tức là A [Al := sup 471 70 Ì|*|| 1. Toán tử liên hợp (Adjoint Operator) Định nghĩa 1. Cho A : X —› Y là một toán tử tuyến tính và 'hặn giữa các không gian Hilbert. Khi đó, tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục và bị chặn A* : Ÿ —> X thỏa mãn (Aa,y) = (a, A*y), Vee X,yeY.
Toan tit A* : Y + X nay duge gọi là foán tử liên hợp của A. Trong trường hợp X = Y, toán tử A được gọi là fự liên hợp nếu A* = A.BÀI TOÁN ĐẶT CHỈNH VÀ BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và đặt không chỉnh được trình bày trên cơ sở xét một bài toán ở dạng phương trình: Ke =y, (1) Trong đó : X —› Y là một toán tử từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y, là phần tử thuộc Y: Sau đây là định nghĩa của Hadamard vé bai todn dat chinh (xem [1], [4]). Bài toán đặt chỉnh (Well-Posed Problems) Định nghĩa 1. Cho X và Ÿ là các không gian định chuẩn.
K: X — Y là ánh xạ.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (properly-posed / well-posed), néu théa mãn các điều kiện sau: 1) Sự tồn tai (Eristence): Vụ € Y, 3x € X sao cho Kx = y. 2) Tinh duy nhat (Uniqueness): Vy € Y có duy nhat mot x € X sao cho Ka=y. 10 3) Sự ổn định (Stabilify): Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào , có nghĩa là: cho mỗi dãy {z„} C X mà Kz„ —š> Kz (n 900) , thi 2, —> # (n 00). Bài toán đặt không chỉnh (II-Posed Problems) Định nghĩa 1.1) không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là bài foán đặt không chỉnh (improperly-posed / ill-posed) Trong toán học, sự tồn tại một nghiệm có thể có được bằng cách mở rộng hoặc thu hẹp không gian nghiệm.
Yêu cầu về sự ổn định là quan trọng nhất. Nếu một bài toán thiếu đi tính ổn định thì nghiệm của. nó sẽ không được tính toán một cách chính xác. Vì vậy, trong 3 điều kiện ở định nghĩa trên thì điều kiện 3 là điều kiện quan trọng nhất.
Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian nay nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác. Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác , ta chỉ biết xắp xỉ yŠ của nó thỏa mãn ||uŠ — || < ở. Giả sử zŠ là nghiệm của (1.1) với thay bởi vŸ (giả thiết rằng nghiệm này tồn tại). Khi ổ —> 0 thì yŸ —> nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì zŠ nói chung không hội tụ đến x.
BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC “Trong thực tế luôn tồn tại hai bài toán trái ngược nhau, một bài toán được gọi là bài toán thuận và bài toán kia được gọi là bài toán ngược. Tuy nhiên, trong hầu hết trường hợp, bài toán thuận thường là bài toán đặt đỉnh, còn bài toán ngược thường là bài toán đặt không chỉnh. Để ều rõ hơn về vấn đề này, chúng ta xét các bài toán sau: 11 Ví dụ : Cho Ñ : X —> Y là một toán tử liên tục tit khong gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Ta c6: * Bài toán 1: Cho z tìm Kx.
* Bài toán 2: Giả thiết bài toán cho trước thông tin về và mục đích là tim x sao cho Ka = y. Nếu quy định Bài toán 1 là bài toán thuận thì Bài toán 2 là bài toán ngược hoặc ngược lại, nếu Bài toán 2 là bài toán thuận thì Bài toán 1 sẽ là bài toán ngược. Tuy nhiên, như đã được đề cập ở trên, Bài toán 1 được xem là bài toán thuận, và Bài toán 2 được xem là bài toán ngược. Sau đây chúng ta sẽ khảo sát một số ví dụ đơn giản về cặp bài toán đối ngược nhau.
ñ + Bài toán 1: Cho z € L?({0,1)), tinh Kx. + Bài toán 9: Cho y € L?({0,1)), tim z € L*([0, 1]) : Kz Tời giải: + Với Bài toán 1, sự tồn tại và tồn tại duy nhất đều thỏa mãn. Ta xét sự ổn định trong bài toán: dữ liệu đã cho là z, cần chứng minh nếu #„ > 2 thi Ka, > Ke. Ta c6: x, — x trong L?((0, 1}), nghia la lz„ - *ll„ > 0(n + ov) =(/ụ „(Ð)—# 0/2) — 0(n — %) Ta phải chứng minh: z„ => Kz trong (0, 1]) tức là IKz„ — Kz|| —> 0.
12 “Ta có: UK — Keljs =f [Kx (t) Kx (0a - [ | feats — 2(3)}ds| at.2) Mặt khác: ( Is„@)~z@)t)' l ‘pea(s) —a(s)asl’ < (f' “(ƒ lal), Thay (1.2) ta được: < I |za(s) — z(s)Ï#ds = ||z„ — z|Ẻ.3) [Kay — Kallis < [ le — zIŸ:dt = le, = zl; =0 Vậy nếu z„ + x thi Kr, + Kz. Do đó, Bài toán 1 là bài toán đặt chỉnh, tức là Bà toán 7 được xem là bài toán thuận. * Với Bài toán 2, giả sử chọn y(s) = cos s va 1 Un(S) = cos s + an ns. © Kan = fi an(s)ds = cost + + sinnt => rn(t) = —sint + cosnt.
13 Vậy , llz„ —zlluz = lza(£) — +0) #4)” 2. Vay Bài toán 2 là bài toán đặt không chỉnh (Vì không thỏa mãn tính chất thứ 3 trong Định nghĩa 1. š]) định nghĩa bởi (Kz)() = [ Đụ + ts)e"x(s)ds, <t< 54 Bre + Bài toán 1: Cho x € L*((},4)), tính Kz. + Bài toán 2: Cho y € L*((}, $]), tim z e L2(,Š)) : Ka Lời giải: * Với Bài toán 1: sự tồn tại và tồn tại duy nhất đều thỏa mãn.
“Ta xét sự ổn định của bài toán này. Giả sử z„ — z trong L?((‡, ÿ]) nghĩa là [ln — zlliz —> 0 (n + 00) @ ( [alo —21084) 0 (2 +20). Ta phải chứng minh: Kz„ —> Kz trong z € /2([1. š]) tức là |Kz„ — Kz|| —> 0.