Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ "Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm" được nghiên cứu sinh Hà Thanh Hùng thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Hoàng Ngọc Long, chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán (mã số: 62 44 01 01) tại Viện Vật lý – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào năm 2014.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong vật lý hạt cơ bản, việc xác định đặc tính của các hạt mới và kiểm chứng các mô hình lý thuyết mở rộng là nhiệm vụ trọng tâm khi các máy gia tốc hạt hoạt động ở thang năng lượng ngày càng cao. Sự kiện máy gia tốc năng lượng cao LHC (Large Hadron Collider) tại CERN phát hiện ra hạt vô hướng tương tự Higgs với khối lượng khoảng 125–126 GeV đã đặt ra yêu cầu xác định chính xác hạt này thuộc mô hình lý thuyết nào.

Ở mức cây (tree-level), hầu hết các lý thuyết đều có sự sai lệch nhất định so với số liệu thực nghiệm. Đồng thời, nhiều quá trình vật lý quan trọng chỉ xuất hiện ở các khai triển bậc cao như: moment từ của neutrino hoặc quá trình phân rã của hạt Higgs thành hai photon ($H \to \gamma\gamma$). Do đó, việc tính toán các bổ đính bậc cao là điều kiện bắt yếu để đạt được sự phù hợp chính xác giữa lý thuyết và thực nghiệm. Khi khai triển bậc cao trong lý thuyết trường lượng tử, hệ số đối xứng (HSĐX) của giản đồ Feynman là một yếu tố then chốt, quyết định trực tiếp đến tính chính xác của các biên độ xác suất và ma trận tán xạ $S$. Các công cụ tự động hóa hoặc nghiên cứu trước đó (như FeynArts, QGRAF hay các công trình của T. Li, Schroeder, C. Palmer) còn bộc lộ khoảng trống: chủ yếu tập trung vào trường thực và giản đồ liên kết, chưa hoàn thiện công thức tổng quát cho trường phức, chưa xử lý triệt để các giản đồ chân không (vacuum diagrams) và chưa làm rõ phương pháp xác định hệ số hoán vị $g$ giữa các đỉnh tương tác mà không làm biến đổi cấu trúc topo của giản đồ.

Mặt khác, Mô hình Chuẩn (SM) dựa trên nhóm đối xứng $SU(3)_C \otimes SU(2)_L \otimes U(1)_Y$ bộc lộ nhiều hạn chế nội tại: chưa giải thích được khối lượng và sự dao động của neutrino, cơ chế nguồn gốc khối lượng tự nhiên, sự phân bậc khối lượng giữa thang điện yếu và thang Planck, cũng như sự bất đối xứng vật chất – phản vật chất trong vũ trụ. Mô hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) mở rộng nhóm chuẩn thành $SU(3)_C \otimes SU(3)_L \otimes U(1)_X$ với việc chỉ sử dụng hai tam tuyến Higgs là mô hình tối thiểu hóa số trường vô hướng nhưng vẫn giải quyết được các vấn đề hạt cơ bản then chốt. Tuy nhiên, mô hình E331 gặp hạn chế là khối lượng của up-quark và down-quark đều triệt tiêu ở mức cây. Một nhận định từ nhóm tác giả J. G. Ferreira Jr. và cộng sự cho rằng tồn tại một đối xứng kiểu Peccei-Quinn làm cho khối lượng các quark $u$ và $d$ bằng không ở mọi bậc của lý thuyết nhiễu loạn, đe dọa tính đúng đắn của mô hình E331. Điều này đòi hỏi phải khảo sát lại bản chất của đối xứng kiểu Peccei-Quinn và tính toán bổ đính khối lượng một vòng cho các quark này.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định hai mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Xây dựng công thức xác định hệ số đối xứng tổng quát cho các giản đồ Feynman áp dụng cho các loại trường khác nhau.
  2. Ứng dụng công thức xác định hệ số đối xứng tổng quát của các giản đồ Feynman để tính khối lượng các quark trong mô hình E331 ở bậc một vòng.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp khai triển bậc cao trong lý thuyết trường lượng tử; các giản đồ Feynman chứa các trường vô hướng, trường spinor Dirac, trường chuẩn; cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát và khối lượng các fermion trong mô hình E331.
  • Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát giải tích lý thuyết trường lượng tử từ mức cây đến các bậc nhiễu loạn cao (bao gồm các giản đồ liên kết và giản đồ chân không); kiểm tra đối xứng Peccei-Quinn và tính toán bổ đính khối lượng bậc một vòng cho quark thế hệ thứ nhất ($u, d$) trong khuôn khổ mô hình 3-3-1 tiết kiệm.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Trong phần tổng quan, tác giả điểm lại các hướng tiếp cận tính toán hệ số đối xứng và sự phát triển của các mô hình chuẩn mở rộng:

Các nghiên cứu về hệ số đối xứng của giản đồ Feynman

  • Kastening và cộng sự (1998) [23]: Đưa ra cách tính hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman dựa trên các đặc điểm hình thái học và yếu tố topo của giản đồ.
  • Hahn (2001) [21] với chương trình FeynArts và Nogueira (1993) [22] với chương trình QGRAF: Các gói phần mềm máy tính hỗ trợ vẽ và tính toán giản đồ Feynman, tuy nhiên chủ yếu tập trung vào trường thực và giản đồ liên kết, chưa chú ý đúng mức đến trường phức và các giản đồ chân không.
  • T. Li (1997) [11]: Đưa ra các tính toán chi tiết về hệ số đối xứng cho một số giản đồ trường vô hướng thực nhưng chưa thiết lập được công thức tổng quát.
  • Schroeder (1995) [12]: Đề cập đến hiện tượng thừa số hóa chân không của giản đồ nhưng chưa xây dựng công thức toán học tường minh để xác định hệ số đối xứng.
  • C. Palmer và các cộng sự (2002) [35]: Công bố phương pháp tính hệ số đối xứng cho các trường vô hướng, spinor QED, scalar QED và QCD, song chỉ giới hạn ở các giản đồ liên kết, bỏ qua giản đồ chân không và chưa nêu thuật toán xác định hệ số hoán vị $g$ giữa các đỉnh.
  • Phương pháp đạo hàm phiếm hàm [6, 7, 8, 9] và phương pháp quy nạp bậc nhiễu loạn [10]: Tính hệ số đối xứng dựa trên nguồn ngoài hoặc suy diễn từ các bậc nhiễu loạn thấp hơn, đòi hỏi quy trình tính toán trung gian phức tạp.

Các nghiên cứu về mô hình 3-3-1 và bài toán khối lượng quark

  • Pisano, Pleitez và Frampton (1992) [99]: Đề xuất mô hình 3-3-1 tối thiểu đưa lepton mang điện phân cực phải vào đáy tam tuyến $SU(3)_L$, đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến Higgs để sinh khối lượng fermion.
  • Foot, Long và Tuan (1994) [17]: Đề xuất phiên bản mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải (331RH), giải thích lý do số thế hệ fermion phải bằng 3 và giải quyết sự lượng tử hóa điện tích.
  • Phùng Văn Đồng, Hoàng Ngọc Long và cộng sự (2006, 2008) [34, 106]: Đề xuất và phát triển mô hình 3-3-1 tiết kiệm (E331), chỉ sử dụng hai tam tuyến Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát.
  • J. G. Ferreira Jr., P. R. D. Pinheiro, C. A. de S. Pires, P. S. Rodrigues da Silva (2011): Nêu nhận định về sự tồn tại của đối xứng kiểu Peccei-Quinn cấm khối lượng của các quark $u, d$ ở mọi bậc nhiễu loạn trong mô hình E331.

Khoảng trống luận án giải quyết

Luận án lấp đầy khoảng trống tính toán bằng cách xây dựng công thức tường minh giải tích duy nhất cho hệ số đối xứng của mọi loại giản đồ Feynman (kể cả giản đồ chân không và trường phức). Đồng thời, luận án giải quyết mâu thuẫn lý thuyết trong mô hình E331 bằng việc chỉ ra rằng đối xứng còn dư sau khi phá vỡ đối xứng tự phát không phải là đối xứng kiểu Peccei-Quinn, từ đó tính toán chính xác khối lượng khác không của up-quark và down-quark ở bậc một vòng.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

  1. Lý thuyết ma trận tán xạ ($S$-matrix) và toán tử tiến triển thời gian: Ma trận $S$ được biểu diễn qua tích theo thứ tự thời gian ($T$-tích) của tác động tương tác: $$S = T \exp\left( -i \int d^4x H_{int}(x) \right) = T \exp\left( i \int d^4x \mathcal{L}{int}(x) \right)$$ Toán tử tiến triển thời gian $U(t, t_0)$ thỏa mãn phương trình vi phân $i \frac{\partial U(t, t_0)}{\partial t} = H{int}(t) U(t, t_0)$ và được giải bằng chuỗi tích phân lặp.
  2. Các định lý Wick:
    • Định lý Wick 1: Biến đổi một $T$-tích của các toán tử trường thành tổng các tích chuẩn ($N$-tích) với mọi phép kết cặp (hàm truyền Feynman) khả dĩ: $T[\phi(x)\phi(y)] = N[\phi(x)\phi(y)] + \langle 0|T[\phi(x)\phi(y)]|0 \rangle$.
    • Định lý Wick 2: Khai triển $T$-tích chứa các thừa số đã ở dạng $N$-tích bằng tổng các $N$-tích với mọi cặp đôi ngoại trừ các cặp đôi nằm trong cùng một $N$-tích.
  3. Lý thuyết hàm Green: Hàm Green $n$-điểm liên hệ trực tiếp với các yếu tố của ma trận tán xạ thông qua công thức rút gọn Lehmann-Symanzik-Zimmermann (LSZ). Phân tích cấu trúc giải tích của hàm Green sớm ($D^{adv}$), hàm Green trễ ($D^{ret}$) và hàm Green nhân quả ($D^c$).
  4. Cơ chế Peccei-Quinn và vấn đề Strong-CP: Phân tích số hạng vi phạm $CP$ trong Lagrangian QCD ($\theta$-term: $\frac{\theta g_s^2}{32\pi^2} G_{\mu\nu}^a \tilde{G}^{a\mu\nu}$) và phép biến đổi chiral $U(1)_{PQ}$ nhằm khử góc $\theta$ hiệu dụng.

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp giải tích lý thuyết trường lượng tử: Sử dụng đại số toán tử, khai triển $T$-tích của các mật độ Lagrangian tương tác, phân tích tổ hợp topo giản đồ và kỹ thuật tích phân Feynman ở bậc một vòng.
  • Phương pháp tính toán biểu thức giải tích: Sử dụng phần mềm toán học Mathematica phiên bản 7.0 để giải tích phân vòng, rút gọn ma trận khối lượng và kiểm chứng đại số.

Nguồn tư liệu và mô hình khảo sát

Dữ liệu nghiên cứu bắt nguồn từ các Lagrangian chuẩn của:

  • Lý thuyết trường vô hướng tự tương tác $\phi^4$ (trường thực và trường phức).
  • Điện động lực học lượng tử hạt có spin (Spinor QED) và Điện động lực học lượng tử vô hướng (Scalar QED - sQED).
  • Sắc động học lượng tử (QCD).
  • Mô hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) với nhóm chuẩn $SU(3)_C \otimes SU(3)_L \otimes U(1)_X$.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman

Chương 1 trình bày phương pháp khai triển bậc cao trong lý thuyết trường và thiết lập công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho các hệ vật lý khác nhau.

1. Khai triển bậc cao và hàm Green

Tác giả thiết lập biểu thức hàm Green $n$-điểm bậc $p$ trong không gian tọa độ: $$G^{(p)}(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{(-i)^p}{p!} \int d^4y_1 \dots d^4y_p \langle 0| T[\phi(x_1)\dots\phi(x_n) \mathcal{H}{int}(y_1)\dots\mathcal{H}{int}(y_p)] |0 \rangle$$ Phân tích chi tiết quy tắc qua cực trên mặt phẳng phức $k_0$ của hàm truyền Feynman, chứng minh tính nhân quả và thiết lập mối liên hệ giữa các phần tử ma trận $S$ và các hàm truyền của đường ngoài.

2. Hệ số đối xứng cho trường vô hướng thực và trường vô hướng phức

  • Trường vô hướng thực ($\phi^4$ thực): Khai triển $T$-tích của mật độ Lagrangian tương tác $\mathcal{L}_{int} = \frac{\lambda}{4!} \phi^4$ theo các thành phần: $$a \equiv N[\phi^4], \quad b \equiv 6 N[\phi^2]\Delta, \quad c \equiv 3 \Delta^2$$ Hàm Green bậc $p$ được biểu diễn qua tổ hợp khai triển $(a + b + c)^p = \sum \frac{p!}{p_1!p_2!p_3!} a^{p_1} b^{p_2} c^{p_3}$. Qua đó, các số hạng tạo nên cấu trúc bóng đơn (single bubble) và bóng đôi (double bubble - giản đồ chân không) được xác định chính xác cùng với hệ số đối xứng tương ứng.
  • Trường vô hướng phức ($\phi^4$ phức): Đối với trường vô hướng mang điện $\phi$, hàm truyền là đường có hướng. Khai triển $T[(\phi^*\phi)^2]$ tạo ra các tổ hợp liên kết hạn chế hơn trường thực, làm giảm các cấu hình hoán vị tương đương.

3. Hệ số đối xứng trong Spinor QED, Scalar QED và QCD

  • Spinor QED: Lagrangian tương tác $\mathcal{L}{int} = e q \bar{\psi} \gamma^\mu \psi A\mu$ chỉ chứa một loại đỉnh ba hạt. Phân tích $T$-tích cho thấy hệ số hoán vị đỉnh bù trừ hoàn toàn với thừa số $\frac{1}{p!}$. Luận án chứng minh một kết quả quan trọng:

    Định lý: Nếu Lagrangian tương tác của một lý thuyết bất kỳ chỉ gồm ba loại trường khác nhau thì hệ số đối xứng của tất cả các giản đồ liên kết luôn bằng 1; chỉ các giản đồ chân không mới có thể có hệ số đối xứng khác 1.

  • Scalar QED (sQED): Lagrangian chứa đỉnh ba hạt có đạo hàm $[ieq(\partial^p - \partial^{p'})\mu]$ và đỉnh bốn hạt $e^2 q^2 g^{\mu\nu} A\mu A_\nu \phi^* \phi$. Khai triển tạo ra 6 loại đỉnh hiệu dụng $a_1, \dots, a_6$, trong đó xuất hiện hệ số đối xứng phụ thuộc vào các vòng photon và các đường vô hướng trùng lặp.
  • QCD: Tương tác gluon-quark có tính chất tương tự Spinor QED (HSĐX bằng 1 trên giản đồ liên kết), trong khi tương tác tự liên kết của ba gluon và bốn gluon được quy về các cấu trúc đại số tương đương lý thuyết $\phi^3$ và $\phi^4$.

4. Phân loại trường và công thức tổng quát

Luận án đề xuất tiêu chí phân loại trường dựa trên tính có hướng hoặc không có hướng của đường truyền tương ứng trên giản đồ Feynman:

Nhóm trường kiểu vô hướng thực (Real scalar-like) Nhóm trường kiểu vô hướng phức (Complex scalar-like)
Trường vô hướng thực ($\phi$) Trường vô hướng phức ($\phi$)
Photon ($A_\mu$) Trường spinor Dirac ($\psi$)
Boson chuẩn trung hòa $Z$ Boson chuẩn mang điện $W^\pm$
Gluon ($A_\mu^a$) Trường ma (Ghost fields)
Trường Majorana

Dựa trên bảng phân loại, công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng $S$ của giản đồ Feynman bất kỳ được xác lập: $$S = g , 2^\beta , 2^d \prod_n (n!)^{\alpha_n}$$ Trong đó:

  • $g$: Số phép hoán vị liên kết giữa các đỉnh tương tác mà không làm thay đổi cấu trúc hình học (topo) của giản đồ.
  • $\beta$: Tổng số các đường liên kết nối một đỉnh với chính nó (bóng đơn); đối với các đường có hướng thì $\beta = 0$.
  • $d$: Số lượng đỉnh chứa bóng đôi (hai bóng đơn giống nhau tại cùng một đỉnh).
  • $n$: Số đường liên kết giống nhau nối giữa cùng một cặp đỉnh.
  • $\alpha_n$: Số cặp đỉnh được liên kết với nhau bởi đúng $n$ đường giống nhau.

Chương 2: Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong mô hình E331

Chương 2 áp dụng các kết quả tính toán hệ số đối xứng vào việc giải quyết bài toán khối lượng quark trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm.

1. Cấu trúc hạt và tương tác Yukawa trong mô hình E331

  • Biểu diễn Lepton: Các lepton phân cực trái được xếp vào tam tuyến $SU(3)L$, lepton mang điện phân cực phải là đơn tuyến: $$\psi{La} = (\nu_{La}, e_{La}, (\nu_{La}^c))^T \sim (1, 3, -1/3), \quad e_{aR} \sim (1, 1, -1) \quad (a = 1, 2, 3)$$
  • Biểu diễn Quark: Thế hệ thứ nhất là tam tuyến, hai thế hệ sau là phản tam tuyến: $$Q_{1L} = (u_{1L}, d_{1L}, U_L)^T \sim (3, 3, 1/3), \quad Q_{\alpha L} = (d_{\alpha L}, -u_{\alpha L}, D_{\alpha L})^T \sim (3, 3^*, 0) \quad (\alpha = 2, 3)$$ Các quark phân cực phải: $u_{aR} \sim (3, 1, 2/3)$, $d_{aR} \sim (3, 1, -1/3)$, $U_R \sim (3, 1, 2/3)$, $D_{\alpha R} \sim (3, 1, -1/3)$.
  • Khu vực vô hướng Higgs: Chỉ sử dụng hai tam tuyến vô hướng $\chi$ và $\phi$: $$\chi = (\chi_1^0, \chi_2^-, \chi_3^0)^T \sim (1, 3, -1/3), \quad \phi = (\phi_1^+, \phi_2^0, \phi_3^+)^T \sim (1, 3, 2/3)$$
  • Phá vỡ đối xứng tự phát (SSB): Diễn ra theo sơ đồ hai giai đoạn: $$SU(3)_L \otimes U(1)_X \xrightarrow{\langle \chi_3^0 \rangle = \frac{\omega}{\sqrt{2}}} SU(2)_L \otimes U(1)_Y \xrightarrow{\langle \chi_1^0 \rangle = \frac{u}{\sqrt{2}}, , \langle \phi_2^0 \rangle = \frac{v}{\sqrt{2}}} U(1)_Q$$
  • Lagrangian tương tác Yukawa toàn phần: $\mathcal{L}Y = \mathcal{L}{LNC} + \mathcal{L}_{LNV}$, trong đó:
    • $\mathcal{L}_{LNC}$ chứa các số hạng bảo toàn số lepton ($L$).
    • $\mathcal{L}_{LNV}$ chứa các số hạng vi phạm số lepton ($L$).

2. Phân tích đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mô hình E331

Luận án tiến hành kiểm tra ba đối xứng chiral toàn cục $U(1)$ trong mô hình E331. Kết quả phân tích chỉ ra rằng:

  • Trước khi phá vỡ đối xứng tự phát, Lagrangian của mô hình có các đối xứng chiral tác động lên các trường fermion và trường vô hướng.
  • Sau khi các trường Higgs $\chi$ và $\phi$ nhận giá trị trung bình chân không ($VEV$) để phá vỡ đối xứng chuẩn về $U(1)_Q$, đối xứng toàn cục còn dư bị phá vỡ hoàn toàn và không đồng nhất với đối xứng kiểu Peccei-Quinn ban đầu.
  • Nhận định của J. G. Ferreira Jr. và cộng sự về một đối xứng $PQ$ cấm khối lượng của quark $u$ và $d$ ở mọi bậc nhiễu loạn là không chuẩn xác, do đối xứng này không được bảo toàn sau khi phá vỡ đối xứng tự phát.

3. Bổ đính khối lượng quark ở bậc một vòng

Ở mức cây, các phần tử ma trận khối lượng $(M_u){11}$ (ứng với up-quark) và $(M_d){11}$ (ứng với down-quark) bằng không do số lượng trường Higgs tối thiểu không đủ tạo liên kết trực tiếp.

Sử dụng công thức tính hệ số đối xứng đã thiết lập ở Chương 1, tác giả tính toán toàn bộ các giản đồ tự năng (self-energy) bậc một vòng đóng góp vào các phần tử $(M_u){ab}$ và $(M_d){ab}$. Các đóng góp một vòng bao gồm:

  • Vòng trao đổi giữa các boson chuẩn tích điện mới ($V^\pm, X^0$) và các quark nặng ngoại lai ($U, D_\alpha$).
  • Vòng trao đổi các hạt vô hướng Higgs trung hòa và mang điện.
  • Đóng góp từ các đỉnh vi phạm số lepton trong $\mathcal{L}_{LNV}$.

Kết quả tính toán giải tích chứng minh các phần tử $(M_u){11}$ và $(M_d){11}$ nhận giá trị bổ đính khác không ở bậc một vòng, tạo ra khối lượng phù hợp cho quark $u$ và quark $d$ mà không cần đưa thêm các đa tuyến Higgs phụ vào mô hình.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các kết quả khoa học cụ thể sau:

1. Đóng góp về mặt lý luận và phương pháp tính toán

  • Thiết lập công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng: Xây dựng thành công công thức giải tích $S = g , 2^\beta , 2^d \prod_n (n!)^{\alpha_n}$ áp dụng cho mọi giản đồ Feynman trong lý thuyết trường lượng tử, bao gồm cả giản đồ liên kết lẫn giản đồ chân không không liên kết.
  • Xây dựng bảng phân loại trường: Đề xuất quy tắc phân chia các trường vật lý thành hai nhóm (Real scalar-like và Complex scalar-like) dựa trên tính có hướng của đường truyền, giúp đơn giản hóa việc tính toán hệ số đối xứng cho các mô hình chuẩn mở rộng.
  • Chứng minh định lý hệ số đối xứng trong QED: Chứng minh một cách chặt chẽ rằng tất cả các giản đồ Feynman liên kết trong Spinor QED (và mọi lý thuyết chỉ có đỉnh ba hạt khác loại) đều có hệ số đối xứng bằng 1.

2. Đóng góp về mặt mô hình hiện tượng luận

  • Làm sáng tỏ bản chất đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331: Chứng minh rằng sau cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát, đối xứng còn lại trong mô hình E331 không phải là đối xứng kiểu Peccei-Quinn. Kết luận này bác bỏ khẳng định trước đó của nhóm Ferreira Jr., khẳng định tính nhất quán của mô hình 3-3-1 tiết kiệm.
  • Xác định khối lượng quark bậc một vòng: Tính toán thành công các bổ đính bậc một vòng cho ma trận khối lượng của up-quark và down-quark, chứng minh cơ chế sinh khối lượng bức xạ (radiative mass generation) tự nhiên cho thế hệ quark thứ nhất trong mô hình E331.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của nghiên cứu

  • Các biểu thức giải tích của khối lượng quark ở bậc một vòng trong mô hình E331 phụ thuộc vào các tham số chưa được xác định chính xác từ thực nghiệm (như thang năng lượng phá vỡ $\omega$ của nhóm $SU(3)_L$, các hằng số tương tác Yukawa vi phạm số lepton, và khối lượng của các hạt vô hướng Higgs ngoại lai).
  • Nghiên cứu dừng lại ở phép tính giải tích một vòng cho thế hệ quark thứ nhất mà chưa mở rộng khảo sát số trị chi tiết cho toàn bộ ma trận trộn CKM ở các bậc cao hơn.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp theo

  • Mở rộng tính toán quá trình vi phạm số lepton: Ứng dụng công thức tính hệ số đối xứng để khảo sát các phân rã hiếm vi phạm số lepton của hạt muon và tauon như $\mu \to e\gamma$, $\mu \to 3e$ ở các bậc vòng cao.
  • Nghiên cứu các quá trình bức xạ của Higgs: Tính toán chi tiết bổ đính bậc cao cho quá trình phân rã $H \to \gamma\gamma$ và moment từ dị thường của neutrino trong khuôn khổ các mô hình 3-3-1 có mở rộng khu vực lepton.

Giá trị tham khảo

Luận án mang lại giá trị tham khảo chuyên môn cho các đối tượng sau:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán: Có thể sử dụng Chương 1 như một tài liệu hướng dẫn giải tích về kỹ thuật khai triển $T$-tích, định lý Wick, hàm Green và thuật toán xác định hệ số đối xứng của giản đồ Feynman.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu vật lý hạt năng lượng cao: Tham khảo phương pháp phân loại trường và định lý hệ số đối xứng bằng 1 trong các lý thuyết chuẩn để tính toán nhanh các biên độ tán xạ phức tạp.
  • Các nhóm nghiên cứu về mô hình Beyond Standard Model (BSM): Tham khảo quy trình phân tích đối xứng Peccei-Quinn, cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát với số trường Higgs tối thiểu và kỹ thuật sinh khối lượng fermion bằng bổ đính bậc một vòng trong Chương 2.

Câu hỏi thường gặp

1. Công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng của giản đồ Feynman trong luận án có dạng như thế nào và ý nghĩa các tham số là gì?

Công thức tổng quát được xác lập là: $$S = g , 2^\beta , 2^d \prod_n (n!)^{\alpha_n}$$ Trong đó:

  • $g$ là số hoán vị liên kết giữa các đỉnh mà giữ nguyên cấu trúc hình học (topo) của giản đồ.
  • $\beta$ là tổng số đường liên kết nối một đỉnh với chính nó (bóng đơn); $\beta = 0$ đối với các đường có hướng.
  • $d$ là số đỉnh chứa bóng đôi (hai bóng đơn xuất phát và kết thúc tại cùng một đỉnh).
  • $n$ là số đường liên kết giống nhau giữa một cặp đỉnh xác định.
  • $\alpha_n$ là số cặp đỉnh được liên kết với nhau bằng đúng $n$ đường giống nhau.

2. Tại sao mọi giản đồ Feynman liên kết trong lý thuyết Spinor QED đều có hệ số đối xứng bằng 1?

Trong Spinor QED, mật độ Lagrangian tương tác chỉ gồm một số hạng ba trường $\mathcal{L}{int} = e q \bar{\psi}\gamma^\mu \psi A\mu$. Khi khai triển $T$-tích bậc $p$, thừa số hoán vị đỉnh $p!$ từ việc kết cặp giữa các trường fermion và photon triệt tiêu chính xác với hệ số $\frac{1}{p!}$ của chuỗi lũy thừa toán tử tiến triển thời gian. Vì mỗi đỉnh chỉ chứa các trường khác loại (một đường photon, một fermion vào, một fermion ra) và không có các đỉnh hoán vị tương đương làm thay đổi dạng topo ($g = 1$), nên hệ số đối xứng của mọi giản đồ liên kết luôn bằng 1.

3. Vì sao khối lượng của up-quark và down-quark trong mô hình E331 lại bằng không ở mức cây?

Mô hình E331 chỉ sử dụng đúng hai tam tuyến Higgs ($\chi$ và $\phi$) để phá vỡ đối xứng tự phát. Với phép gán số lượng tử của các thế hệ quark ($Q_{1L}$ thuộc biểu diễn tam tuyến $3$, trong khi $Q_{2L}, Q_{3L}$ thuộc biểu diễn phản tam tuyến $3^*$), các số hạng tương tác Yukawa khả dĩ ở mức cây chỉ có thể sinh khối lượng cho các quark nặng ($c, t, s, b$) và các quark ngoại lai ($U, D_\alpha$). Các toán tử Yukawa mức cây không thể ghép cặp đồng thời để tạo số hạng khối lượng Dirac cho quark $u$ và quark $d$, dẫn đến việc khối lượng của chúng triệt tiêu ở mức cây.

4. Luận án đã bác bỏ nhận định của nhóm tác giả Ferreira Jr. về đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331 như thế nào?

Nhóm Ferreira Jr. cho rằng mô hình E331 duy trì một đối xứng kiểu Peccei-Quinn cấm các số hạng khối lượng của quark $u$ và $d$ ở mọi bậc của lý thuyết nhiễu loạn. Luận án đã thực hiện kiểm tra chi tiết các phép biến đổi chiral $U(1)$ và chứng minh rằng sau khi hai tam tuyến Higgs nhận giá trị trung bình chân không ($\langle \chi \rangle \neq 0, \langle \phi \rangle \neq 0$), đối xứng toàn cục ban đầu bị phá vỡ hoàn toàn và không còn tồn tại đối xứng Peccei-Quinn còn dư. Do đó, không có định lý cấm nào ngăn cản quark $u$ và $d$ nhận khối lượng thông qua các giản đồ tự năng ở bậc một vòng.

5. Tiêu chuẩn phân loại các trường thành "Real scalar-like" và "Complex scalar-like" được luận án thiết lập ra sao?

Tiêu chuẩn phân loại dựa vào đặc tính có hướng hay không có hướng của đường truyền tương ứng trên giản đồ Feynman:

  • Kiểu vô hướng thực (Real scalar-like): Gồm các trường được biểu diễn bằng đường không có hướng (trường vô hướng thực, photon $A_\mu$, boson $Z$, gluon, trường Majorana). Nhóm này có khả năng tạo ra các liên kết tự do hai chiều và bóng đơn không hướng.
  • Kiểu vô hướng phức (Complex scalar-like): Gồm các trường được biểu diễn bằng đường có hướng (trường vô hướng phức, spinor Dirac, boson $W^\pm$, trường ma - ghost). Tính có hướng làm giảm các khả năng ghép cặp tùy ý, dẫn đến việc $\beta = 0$ cho các bóng đơn của nhóm này.

Kết luận

Luận án của tác giả Hà Thanh Hùng đã giải quyết trọn vẹn bài toán xác định hệ số đối xứng của giản đồ Feynman bằng việc xây dựng công thức giải tích tổng quát và thiết lập bảng phân loại trường dựa trên tính có hướng của hàm truyền. Kết quả lý thuyết này chứng minh định lý hệ số đối xứng bằng 1 cho các giản đồ liên kết trong QED và các lý thuyết có đỉnh ba trường khác loại. Khi ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm, luận án đã làm rõ bản chất đối xứng chiral sau phá vỡ đối xứng tự phát, bác bỏ giả thuyết về đối xứng cấm Peccei-Quinn và tính toán thành công khối lượng bậc một vòng cho up-quark và down-quark, đóng góp cơ sở lý thuyết khẳng định tính khả thi của mô hình E331.