Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1. Khái niệm xác suất và một số tính chất cơ bản 1. Khái niệm xác suất Quan sát các biến cố đối với một phép thử, mặc dù không thể khẳng định một biến cố có xảy ra hay không nhưng người ta có thể phỏng đoán khả năng xảy ra của các biến cố này là ít hay nhiều. Khả năng xảy ra khách quan của một biến cố được gọi là xác suất (probality) của biến cố đó.
P (A) là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra nhiều hay ít cho một biến cố. Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P (A), có thể được định nghĩa bằng nhiều dạng sau: • Dạng cổ điển. • Dạng hình học. • Dạng thống kê.
• Dạng tiên đề Kolmogorow.1 Định nghĩa cổ điển Nếu A là biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một không gian biến cố sơ cấp gồm n(Ω) biến cố cùng khả năng xuất hiện thì LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4 n(A) tỉ số P (A) = được gọi là xác suất của A. +) Các biến cố sơ cấp phải có cùng khả năng xuất hiện. Để tính xác suất cổ điển ta sử dụng phương pháp đếm của giải tích tổ hợp. Sau đây, ta nhắc lại một số công thức: • Quy tắc cộng Nếu có m1 cách chọn loại đối tượng X1 , m2 cách chọn loại đối tượng X2 , .,mn cách chọn loại đối tượng Xn.
Các cách chọn đối tượng Xi không trùng với cách chọn Xj nếu i 6= j; i, j = 1, n thì có m1 + m2 +. + mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho. • Quy tắc nhân Giả sử công việc H gồm nhiều công đoạn liên tiếp H1 , H2 ,. , Hk và mỗi công đoạn Hi có ni cách thực hiện thì có tất cả n1 .ni cách thực hiện công việc H.
• Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử, (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là Pn .1) • Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ phận gồm k phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là Akn .2) (n − k)! LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 5 • Chỉnh hợp lặp Cho tập hợp X gồm n, (n ∈ N ∗ ) phần tử. Một dãy có độ dài m, (m ∈ N ∗ ) các phần tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp đi lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập m của n phần tử. Số chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử kí hiệu là X̄nm .3) • Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tập con gồm k phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (0 ≤ k ≤ n).
Cũng có thể xem một tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn đồng thời k của tập n phần tử. Hai chỉnh hợp chập k của n phần là khác nhau nếu: - Có ít nhất 1 phần tử của chỉnh hợp này không có trong chỉnh hợp kia. - Các phần tử đều như nhau nhưng thứ tự khác nhau. Vậy với mỗi tổ hợp chập k của n phần tử có k! chỉnh hợp tương ứng.
Mặt khác, hai chỉnh hợp khác nhau ứng với hai tổ hợp khác nhau. Do đó, số tổ hợp chập k của n, kí hiệu Cnk là: n! Cnk = .2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Giả sử một điểm được rơi ngẫu nhiên vào một miền D, A là một miền con của D. Khi đó xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A được xác định bởi công thức: số đo miền A P (A) = .5) số đo miền D Số đo ở đây có thể là độ dài, diện tích, hay thể tích tùy thuộc vào miền xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian ba chiều. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển trực quan, dễ hiểu.
Tuy nhiên khi số kết quả có thể vô hạn hoặc không đồng khả năng thì cách tính xác suất cổ điển không áp dụng được. Giả sử phép thử X có thể được lặp lại nhiều lần độc lập trong những điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử X, biến cố A xuất hiện kn (A) lần thì tỉ số kn (A) fn (A) =. n được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử.
Người ta chứng minh được (định lý luật số lớn) khi n tăng lên vô hạn thì fn (A) tiến đến một giới hạn xác định. Ta định nghĩa giới hạn này là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P (A).6) x→∞ Trên thực tế P (A) được tính xấp xỉ bởi tần xuất fn (A) khi n đủ lớn. Định nghĩa xác xuất theo thống kê khắc phục được hạn chế của định nghĩa cổ điển, nó hoàn toàn dựa trên các thí nghiệm quan sát thực tế để tìm xác suất của biến cố. Ngày nay với sự trợ giúp của công nghệ thông tin, người ta có thể mô phỏng các phép thử ngẫu nhiên mà không cần thực hiện các phép thử trong thực tế.
Điều này cho phép tính xác suất theo phương pháp thống kê thuận tiện hơn.4 Định nghĩa tiên đề của xác suất Hệ tiên đề Kolmogorov I. Có tập Ω 6= ∅ gọi là không gian biến cố sơ cấp. Mỗi ω ∈ Ω được gọi là biến cố sơ cấp. Có một σ-đại số A các tập con của Ω.
Mỗi A ∈ A được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Với mỗi A ∈ A, có một số thực P (A) ≥ 0 gọi là xác suất của A. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Nếu {Ai , i ≥ 1} là họ vô hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi một xung khắc thì XA A X P( Ai ) = P (Ai ) (tiên đề σ - cộng tính).
i=1 i=1 Bộ ba (Ω, A, P ) được gọi là không gian xác suất. Từ tiên đề ta thấy: xác suất là một độ đo dương, σ - cộng tính, chuẩn hóa trên không gian đo (Ω, A). Do vậy nó có mọi tính chất của độ đo.5 Đai lượng ngẫu nhiên a/ Định nghĩa và phân loại Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể nhận một và chỉ một giá trị có thể có sau phép thử với xác suất tương ứng xác định. Các đại lượng sau là biến ngẫu nhiên: • Số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc.
• Tuổi thọ của một bóng đèn đang hoạt động. • Số cuộc gọi đến của một tổng đài. b/ Phân loại Người ta phân các đại lượng ngẫu nhiên thành hai loại: • Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: - là đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị. • Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: - là đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị của nó có thể lấp đầy một hoặc một số các khoảng hữu hạn hoặc vô hạn và xác suất P (X = a) bằng 0 với mọi a.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.6 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên a/ Kỳ vọng toán • Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất thì kì vọng toán của X được xác định bởi: n X E (X) = x i pi. i=1 • Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất thì: Z+∞ E (X) = xf (x) dx. −∞ • Tính chất: +) Kì vọng của hằng số: E(C) = C với C là hằng số.E (Y ), với X, Y là các biến cố độc lập. • Ý nghĩa của kỳ vọng: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình (tính theo xác suất) mà X nhận được, nó phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất của X.
Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, khi cần chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta thường chọn phương án sao cho kì vọng năng suất hay kì vọng lợi nhuận cao. b/ Phương sai Phương sai là kì vọng của bình phương độ lệch giữa đại lượng ngẫu nhiên so với kì vọng của nó. Kí hiệu phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X là D (X), là một số thực không âm được xác định bởi: D (X) = E(X − EX)2 = E X 2 − (EX)2 .7) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 9 • Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và P (X = xi ) = pi thì: !2 X X D (X) = x2i. i i • Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục và có hàm mật độ f (x) thì: +∞ 2 Z+∞ Z D (X) = x2.
• Ý nghĩa của phương sai: (X − EX)2 là bình phương sai biệt giữa giá trị của X so với trung bình của nó. Và phương sai là trung bình của sai biệt này, nên phương sai cho ta hình ảnh về sự phân tán của các số liệu: phương sai càng nhỏ thì số liệu càng tập trung xung quanh trung bình của chúng. Trong kĩ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư.
c/ Độ lệch tiêu chuẩn Do đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của X nên để so sánh được với các đặc trưng khác người ta đưa vào khái niệm độ lệch tiêu chuẩn: p σ (X) = D (X). Tính chất của xác suất Mệnh đề 1.1 Trên không gian xác suất (Ω, A, P ) ta có a. P (∅) = 0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail., Ann }là họnhữu hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi một P P xung khắc thì P = P (Ak ) (tính cộng tính).2 Giả sử A, B là các biến cố ngẫu nhiên bất kì.3 Trong không gian xác suất (Ω, A, P ) cho họ biến cố ngẫu nhiên {An , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện: (i) A1 ⊃ A2 ⊃. Hệ quả: 1) Nếu {Bn , n ≥ 1} là họ các biến cố thỏa mãn Bn ⊃ Bn−1 ⊃.
và S Bn = B thì P (Bn ) −→ P (B)(n −→ ∞).