I. Giới thiệu và bối cảnh nghiên cứu
Luận văn 'Đối Ngẫu Liên Hợp Trong Tối Ưu Đa Mục Tiêu Và Ứng Dụng' tập trung vào việc nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu liên hợp trong các bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng của chúng trong kinh tế. Lý thuyết đối ngẫu, được phát triển từ những năm 1950, đã trở thành một phần quan trọng trong lý thuyết tối ưu, cả về mặt lý thuyết và ứng dụng thực tiễn. Luận văn này mở rộng các kết quả trước đây bằng cách áp dụng phép biến đổi tựa liên hợp để nghiên cứu các bài toán tối ưu phi tuyến và đa mục tiêu.
1.1. Lý thuyết đối ngẫu và phép biến đổi tựa liên hợp
Lý thuyết đối ngẫu liên hợp được xây dựng dựa trên các phép biến đổi liên hợp như phép biến đổi Fenchel và phép biến đổi tựa liên hợp. Trong luận văn, tác giả sử dụng phép biến đổi tựa liên hợp để nghiên cứu các bài toán tối ưu đa mục tiêu, đặc biệt là các bài toán trong kinh tế. Phép biến đổi này giúp đảm bảo tính đối xứng và mạnh mẽ của đối ngẫu, điều mà các phương pháp truyền thống như đối ngẫu Lagrange không thể đạt được.
1.2. Ứng dụng trong kinh tế
Luận văn áp dụng lý thuyết đối ngẫu liên hợp vào các bài toán phân bổ nguồn lực và quy hoạch sản xuất trong kinh tế. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng các bài toán tối ưu đa mục tiêu có thể được quy về các bài toán tối ưu đơn giản hơn, giúp giải quyết các vấn đề phức tạp trong thực tế. Đặc biệt, các bài toán với ràng buộc phân bổ nguồn lực được chứng minh là tương đương với các bài toán tối ưu lồi, điều này mở ra hướng tiếp cận mới trong nghiên cứu kinh tế.
II. Phép biến đổi tựa liên hợp và tính chất
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các điều kiện đặc trưng cho lớp hàm thỏa mãn tính phản xạ và đóng kín thông qua phép biến đổi tựa liên hợp. Tác giả đưa ra khái niệm tựa dưới vi phân và chứng minh một số tính chất của nó, giúp hỗ trợ cho việc chứng minh các kết quả về đối ngẫu trong các chương sau.
2.1. Tính phản xạ và đóng kín
Tác giả chứng minh rằng lớp hàm đa diện lõm, thuần nhất dương, và đơn điệu tăng trên Rn+ thỏa mãn tính phản xạ và đóng kín qua phép biến đổi tựa liên hợp. Đây là sự mở rộng gần nhất cho lớp hàm tuyến tính đã được nghiên cứu trước đây. Kết quả này giúp đảm bảo tính đối xứng của đối ngẫu cho cặp bài toán gốc-đối ngẫu.
2.2. Tựa dưới vi phân
Khái niệm tựa dưới vi phân được giới thiệu và chứng minh một số tính chất cơ bản. Tựa dưới vi phân là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu, đặc biệt là các bài toán không lồi. Các tính chất của tựa dưới vi phân được sử dụng để chứng minh các kết quả về đối ngẫu trong các chương tiếp theo.
III. Đối ngẫu liên hợp trong tối ưu đa mục tiêu
Chương này trình bày lý thuyết đối ngẫu liên hợp cho các bài toán tối ưu vô hướng và tối ưu đa mục tiêu. Tác giả đưa ra các điều kiện cần và đủ để đạt được đối ngẫu mạnh, đồng thời chứng minh tính đối xứng của đối ngẫu trong các bài toán tối ưu đa mục tiêu.
3.1. Đối ngẫu cho bài toán tối ưu vô hướng
Tác giả trình bày các điều kiện cần và đủ để đạt được đối ngẫu mạnh cho các bài toán tối ưu vô hướng. Các kết quả này dựa trên phép biến đổi tựa liên hợp và các tính chất của tựa dưới vi phân. Đối ngẫu mạnh đảm bảo rằng bài toán đối ngẫu cung cấp thông tin hữu ích về bài toán gốc, giúp giải quyết bài toán gốc một cách hiệu quả hơn.
3.2. Đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu
Trong trường hợp bài toán tối ưu đa mục tiêu, tác giả chứng minh rằng bài toán đối ngẫu cũng là một bài toán tối ưu đa mục tiêu. Điều này giúp đảm bảo tính đối xứng của đối ngẫu và cung cấp các thông tin quan trọng về tập nghiệm hữu hiệu Pareto của bài toán gốc và đối ngẫu.
IV. Ứng dụng trong kinh tế
Chương này trình bày các ứng dụng của lý thuyết đối ngẫu liên hợp vào các bài toán phân bổ nguồn lực và quy hoạch sản xuất trong kinh tế. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng các bài toán tối ưu đa mục tiêu có thể được quy về các bài toán tối ưu đơn giản hơn, giúp giải quyết các vấn đề phức tạp trong thực tế.
4.1. Bài toán phân bổ nguồn lực
Tác giả chứng minh rằng bài toán tìm phương án sản xuất với một ràng buộc phân bổ nguồn lực tương đương với bài toán cực đại một hàm lõm chặt trên một đa diện lồi. Kết quả này giúp chỉ ra rằng bài toán với một ràng buộc phân bổ nguồn lực có một nghiệm duy nhất và được giải bằng bài toán tối ưu lồi đơn giản hơn.
4.2. Bài toán quy hoạch sản xuất
Bài toán mở rộng tìm phương án sản xuất với nhiều ràng buộc phân bổ nguồn lực tương đương với bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm sản xuất Cobb-Douglas. Kết quả này giúp quy một lớp các bài toán tối ưu không lồi về bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu Pareto của một bài toán tối ưu đa mục tiêu.
