I. Luận Văn Thạc Sĩ
Luận Văn Thạc Sĩ của Đỗ Thị Kim Huệ tập trung vào việc nghiên cứu và trình bày một cách hệ thống các định lý cơ bản của phép tính vi phân và ứng dụng của chúng trong giải toán sơ cấp. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Ngọc Quốc Thương. Mục tiêu chính của luận văn là cung cấp một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh phổ thông, giúp họ hiểu sâu hơn về các định lý cơ bản và cách áp dụng chúng trong giải toán sơ cấp.
1.1. Mục tiêu và ý nghĩa
Luận văn nhằm mục đích nghiên cứu các định lý cơ bản của phép tính vi phân như định lý Fermat, định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy, định lý L’Hospital, định lý Darboux, và định lý Taylor. Các định lý này không chỉ là nền tảng của giải tích toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán toán sơ cấp như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, giải phương trình và bất phương trình. Luận văn cũng giới thiệu một số bài toán thi học sinh giỏi và Olympic toán học, giúp người đọc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
II. Định Lý Cơ Bản
Chương này tập trung vào việc trình bày các định lý cơ bản của phép tính vi phân, bao gồm định lý Fermat, định lý Rolle, định lý Lagrange, và định lý Cauchy. Các định lý này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định cực trị của hàm số, tính liên tục, và khả vi của hàm số. Định lý Fermat chỉ ra rằng nếu một hàm số đạt cực trị tại một điểm và khả vi tại điểm đó, thì đạo hàm tại điểm đó bằng 0. Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange, nó khẳng định sự tồn tại của ít nhất một điểm trong khoảng mà tại đó đạo hàm bằng 0 nếu hàm số liên tục trên đoạn và khả vi trong khoảng.
2.1. Định lý Fermat
Định lý Fermat là một trong những định lý cơ bản của phép tính vi phân. Nó chỉ ra rằng nếu một hàm số đạt cực trị tại một điểm và khả vi tại điểm đó, thì đạo hàm tại điểm đó bằng 0. Tuy nhiên, điều kiện này chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ để tồn tại cực trị. Ví dụ, hàm số f(x) = x^3 có đạo hàm bằng 0 tại x = 0 nhưng không có cực trị tại điểm này. Định lý Fermat cũng được sử dụng để xác định các điểm tới hạn của hàm số, từ đó giúp tìm cực trị địa phương.
2.2. Định lý Rolle
Định lý Rolle là một định lý cơ bản khác trong phép tính vi phân. Nó khẳng định rằng nếu một hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b), và f(a) = f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c trong khoảng (a, b) sao cho f'(c) = 0. Định lý Rolle là cơ sở để chứng minh định lý Lagrange, và nó cũng có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến cực trị và tính đơn điệu của hàm số.
III. Ứng Dụng Giải Toán Sơ Cấp
Chương này trình bày các ứng dụng của các định lý cơ bản trong giải toán sơ cấp. Các định lý như định lý Fermat, định lý Rolle, và định lý Lagrange được sử dụng để giải quyết các bài toán như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, giải phương trình và bất phương trình. Định lý L’Hospital được sử dụng để tính giới hạn của các hàm số có dạng vô định, trong khi định lý Taylor giúp xấp xỉ hàm số bằng đa thức. Các ứng dụng này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển kỹ năng giải toán.
3.1. Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức
Các định lý cơ bản của phép tính vi phân được sử dụng để chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức trong toán sơ cấp. Ví dụ, định lý Lagrange có thể được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến sự biến thiên của hàm số. Định lý Rolle cũng được áp dụng để chứng minh sự tồn tại của nghiệm trong các phương trình và bất phương trình. Các ứng dụng này giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đại lượng trong toán học và cách sử dụng các định lý để giải quyết các bài toán phức tạp.
3.2. Giải phương trình và bất phương trình
Các định lý cơ bản như định lý Rolle và định lý Lagrange được sử dụng để giải các phương trình và bất phương trình. Định lý Rolle giúp xác định sự tồn tại của nghiệm trong một khoảng nhất định, trong khi định lý Lagrange được sử dụng để đánh giá sự biến thiên của hàm số và từ đó tìm ra nghiệm của phương trình. Các ứng dụng này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi và Olympic toán học.
