Luận Văn Thạc Sĩ: Nghiên Cứu Chéo Hóa Schmudgen Ma Trận Đa Thức Và Ứng Dụng

• Tác giả: Trần Thị Minh Thư
• Người hướng dẫn: TS. Lê Thanh Hiếu
• Trường học: Trường Đại Học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Đại Số Và Lý Thuyết Số
• Đề tài: Chéo Hóa Schmudgen Các Ma Trận Đa Thức Và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Bình Định

• MỞ ĐẦU
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: VẤN ĐỀ CHÉO HÓA MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
• 1.1. Một số định nghĩa
• 1.2. Chéo hóa ma trận trên một trường
• 1.3. Chéo hóa ma trận trên vành giao hoán có đơn vị: Dạng chuẩn tắc Smith
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SCHMÜDGEN CHÉO HÓA MA TRẬN ĐA THỨC
• 2.1. Sơ lược về ∗-đại số
• 2.2. Phương pháp Schmüdgen chéo hóa ma trận trên một ∗-đại số giao hoán có đơn vị
• 2.3. Chéo hóa Schmüdgen cho ma trận đa thức thực đối xứng
• 2.3.1. Phương pháp Schmüdgen
• 2.3.2. Thực hiện thuật toán
• 3. CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TỔNG BÌNH PHƯƠNG HERMIT CHO MA TRẬN ĐA THỨC
• 3.1. Biểu diễn tổng bình phương Hermit cho các đa thức và ma trận đa thức
• 3.2. Minh họa với phần mềm tính toán
• 3.2.1. Mô hình tối ưu ma trận hạng
• 3.2.2. Một số ví dụ minh họa của Định lý Schur cho ma trận đối xứng và ma trận Hermit
• 3.2.3. Chéo hóa ma trận đa thức (Định lý 2.4 Tìm biểu diễn tổng bình phương cho đa thức một biến qua ma trận đồng hành
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Luận văn thạc sĩ và vấn đề chéo hóa ma trận

Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu chéo hóa ma trận, đặc biệt là Schmudgen ma trận và ma trận đa thức. Mục tiêu chính là tìm hiểu các phương pháp chéo hóa ma trận trên vành giao hoán có đơn vị, với trọng tâm là phương pháp của Schmudgen. Nghiên cứu này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn mang lại ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như toán học ứng dụng, đại số tuyến tính, và lý thuyết ma trận.

1.1. Chéo hóa ma trận trên trường và vành giao hoán

Phần này trình bày lại các phương pháp chéo hóa ma trận trên trường và vành giao hoán có đơn vị, cụ thể là dạng chuẩn tắc Smith. Đây là hai phương pháp kinh điển, giúp người đọc có cái nhìn tổng quan và so sánh với phương pháp Schmudgen. Chéo hóa ma trận trên trường không áp dụng được cho vành giao hoán, đặc biệt là các ma trận đa thức, do đó việc nghiên cứu phương pháp mới là cần thiết.

1.2. Ý nghĩa của chéo hóa ma trận trong toán học ứng dụng

Chéo hóa ma trận là công cụ quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong các lĩnh vực như toán tổ hợp, lý thuyết đồ thị, và lý thuyết toán tử. Việc chéo hóa ma trận trên vành giao hoán mở ra hướng nghiên cứu mới, giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong kinh tế và kỹ thuật.

II. Phương pháp Schmudgen chéo hóa ma trận đa thức

Chương này trình bày chi tiết phương pháp Schmudgen để chéo hóa ma trận đa thức trên *-đại số giao hoán có đơn vị. Phương pháp này dựa trên các kết quả quan trọng của *-đại số và được minh họa bằng các ví dụ tính toán sử dụng ngôn ngữ lập trình SageMath và Python. Đây là nội dung chính của luận văn thạc sĩ, mang tính ứng dụng cao trong nghiên cứu toán học.

2.1. Sơ lược về đại số và phép đối hợp

Phần này giới thiệu khái niệm *-đại số giao hoán có đơn vị, cùng với phép đối hợp. Các phần tử tự liên hợp, chuẩn tắc, và unita được định nghĩa và phân tích chi tiết. Phương pháp Schmudgen dựa trên các tính chất này để chéo hóa ma trận đa thức.

2.2. Thực hiện thuật toán Schmudgen

Phần này mô tả chi tiết cách thực hiện phương pháp Schmudgen bằng lập trình. Các bước thuật toán được trình bày rõ ràng, kèm theo ví dụ minh họa cụ thể. Việc sử dụng SageMath và Python giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và kiểm chứng kết quả.

III. Ứng dụng thực tiễn của chéo hóa Schmudgen

Chương này tập trung vào ứng dụng thực tiễn của chéo hóa Schmudgen, cụ thể là trong việc biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức. Các ví dụ tính toán được trình bày chi tiết, minh họa bằng SageMath và Python. Nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn mang lại hiệu quả trong các bài toán thực tế.

3.1. Biểu diễn tổng bình phương Hermit

Phần này trình bày cách sử dụng chéo hóa Schmudgen để biểu diễn tổng bình phương Hermit cho ma trận đa thức. Các ví dụ minh họa được thực hiện bằng SageMath, giúp người đọc hiểu rõ hơn về ứng dụng của phương pháp này trong toán học cao cấp.

3.2. Minh họa với phần mềm tính toán

Các ví dụ tính toán cụ thể được thực hiện bằng SageMath và Python, minh họa hiệu quả của phương pháp Schmudgen trong việc giải quyết các bài toán phức tạp. Phần này cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc kết hợp lý thuyết và thực hành trong nghiên cứu toán học.