Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản hữu dụng cho các chương sau như: Định lý về trung bình số học và trung bình hình học, tỉ số lượng giác, một số đẳng thức cơ bản trong hình học. Các kết quả trong chương này được trình bày dựa vào [4], [7].1 Các định lý về trung bình số học và trung bình hình học Định nghĩa 1. Trung bình số học A của n số a1 , · · · , an là a1 + a2 + · · · + an. n Trung bình số học của một tập hợp các số thực còn được gọi là trung bình cộng của các số đó.
Tích của n số dương với tổng cho trước là lớn nhất khi các n X số ấy bằng nhau. Cụ thể, nếu ai > 0 (i = 1, · · · , n) và ai = nA không i=1 đổi thì a1 · a2 · · · an ≤ A n .1) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an. Hiểu theo nghĩa hình học, trong tất cả các hình hộp n chiều có tổng độ dài các cạnh không đổi thì khối hộp n chiều có thể tích lớn nhất. Một cách 6 e 7 phát biểu hình học tương đương khác là: "Nếu một đoạn thẳng có độ dài cho trước được chia thành hữu hạn các đoạn thẳng nhỏ có độ dài nhỏ hơn thì tích các độ dài các đoạn thẳng ấy là lớn nhất khi các đoạn thẳng được chia có độ dài bằng nhau".
n X Xét các số dương a1 , a2 , · · · , an và ai = nA không đổi. i=1 Nếu ai = A, i = 1, 2, · · · , n thì dấu = trong (1. Nếu có ai 6= A thì sẽ có ít nhất một số lớn hơn A và một số nhỏ hơn A. Giả sử là a1 và a2.
Tiếp tục đặt a01 = A, a02 = A + k − h. Khi đó a01 + a02 = 2A + k − h = a1 + a2 , và n X a01 + a02 + a3 + · · · + an = ai = nA. i=1 Rõ ràng a01 , a02 là các số dương. Đồng thời ta được một tập hợp mới gồm n số dương thỏa mãn tổng của chúng bằng tổng của n số dương ban đầu.
Ta cần chứng minh a01 a02 > a1 a2. Thật vậy, ta có: a01 a02 = A (A + k − h) = A2 + (k − h) A, a1 a2 = (A − h) (A + k) = A2 + (k − h) A − hk. Suy ra a01 a02 = a1 a2 + hk > a1 a2. Vì vậy a01 · a02 · a3 · · · an > a1 · a2 · a3 · · · an.
Bây giờ nếu A = a01 = a02 = a3 = · · · = an thì (1. Ngược lại tồn tại ít nhất một số lớn hơn A và một số nhỏ hơn A. Lặp lại chứng minh trên với hai số b1 , b2 ta cũng tìm được một tập hợp các số dương mới thỏa mãn tổng của chúng bằng tổng n số dương ban đầu và tích của chúng lớn hơn a01 · a02 · a3 · · · an. Tiếp tục lặp lại quá trình trên (nhiều nhất n − 1 lần) ta sẽ được n số dương e 8 bằng nhau và bằng A và có tích lớn hơn tích của n số dương khác có cùng tổng.
Tổng của n số thực dương có tích bằng 1 luôn lớn hơn hoặc bằng n. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số bằng nhau và bằng 1. n X Cụ thể, nếu ai > 0, i = 1, · · · , n và a1 · a2 · · · an = 1 thì ai ≥ n. 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ai = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n.
Hiểu theo nghĩa hình học: "Nếu thể tích của một hình hộp chữ nhật n chiều (khối hộp chữ nhật) là 1, thì tổng chiều dài các cạnh đạt giá trị nhỏ nhất khi nó là khối n chiều". Ta có ai > 0, ∀i = 1, 2, · · · , n và a1 · a2 · · · an = 1. Ta cần chứng minh Xn ai ≥ n. i=1 Dấu = xảy ra khi ai = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n.
Ta chia mỗi số cho tổng của chúng, khi đó ta được n số mới có tổng bằng 1 và áp dụng Định lý 1. Đặt n X ai s= ai , bi = , i=1 s Ta có n n 1X 1 X ai 1 s 1 bi = = · =. n 1 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b1 = b2 = · · · = bn =. n Tức là n a1 · a2 · a3 · · · an 1 ≤.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ai = 1, ∀i = 1, 2, · · · , n. Trung bình hình học G của n số dương a1 , a2 , · · · , an là căn bậc n của tích của chúng. Tức là √ G = n a1 · a2 · · · an .3 tương đương với định lý nổi tiếng về trung bình số học và trung bình hình học. (Bất đẳng thức AM - GM) Trung bình hình học của n số dương không vượt quá trung bình số học của chúng.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số dương bằng nhau. Ta cần chứng minh G ≤ A.2 suy ra điều phải chứng minh.2 Tỉ số lượng giác của một góc Cho α và β là những góc lượng giác sao cho các công thức có nghĩa. Khi đó ta có các công thức dưới đây Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sin α sin2 α + cos2 α = 1, tan α = , tan α · cot α = 1, cos α 1 2 1 2 = 1 + tan α, 2 = 1 + cot2 α. cos α sin α Quan hệ lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt a.
Hai góc đối nhau (α và −α) sin(−α) = − sin α, e 10 cos(−α) = cos α, tan(−α) = − tan α, cot(−α) = − cot α. Hai góc bù nhau (α và π − α) sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = − cos α, tan(π − α) = − tan α, cot(π − α) = − cot α. Hai góc phụ nhau (α và − α) 2 π sin( − α) = cos α, 2 π cos( − α) = sin α, 2 π tan( − α) = cot α, 2 π cot( − α) = tan α. Hai góc hơn kém nhau π (α và π + α) sin(π + α) = − sin α, cos(π + α) = − cos α, tan(π + α) = tan α, cot(π + α) = cot α.
Công thức cộng góc a. sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, b. cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β, tan α ± tan β c. 1 ∓ tan α tan β e 11 Công thức góc nhân đôi a.
sin 2α = 2 sin α cos α, b. cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α, 2 tan α c. 1 − tan2 α Công thức hạ bậc 1 − cos 2α 1 + cos 2α 1 − cos 2α sin2 α = , cos2 α = , tan2 α =. 2 2 1 + cos 2α Công thức góc nhân ba a.
sin 3α = −4 sin3 α = 3 sin α, b. cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α. Liên hệ giữa sin 2α, cos 2α và tan α 2 tan α a. sin 2α = , 1 + tan2 α 1 − tan2 α b.
1 + tan2 α Công thức biến đổi tích thành tổng 1 a. 2 e 12 Công thức biến đổi tổng thành tích α±β α±β a. sin α ± sin β = 2 sin cos , 2 2 α+β α−β b. cos α + cos β = 2 cos cos , 2 2 α+β α−β c.
cos α − cos β = −2 sin sin .3 Một số đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản trong hình học Cho ∆ABC. Kí hiệu độ dài các cạnh BC = a, CA = b, AB = c, độ dài đường cao tương ứng kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là ha , hb , hc , độ dài đường trung tuyến tương ứng là ma , mb , mc , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r, nửa chu vi tam giác a+b+c p=. Khi đó, ta có các kết quả sau. Mở rộng bất đẳng thức tam giác ta được bất đẳng thức ba điểm cho ta đánh giá chặt chẽ hơn.
(Bất đẳng thức ba điểm) Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C. Khi đó, ta có AB + BC ≥ BC. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng.1 Gọi ha là độ dài của đường cao AH , xem hình (1. Đặt e = HC , khi đó 2 c2 − (a − e) = h2a = b2 − e2.
Vì vậy, c2 − a2 + 2ae = b2 hay e = 2a e 14 1 Ta có T = SABC = aha , thay h2a = b2 − e2 ta được, 2 2T = aha , 2 1 ⇒ 4T = a2 h2a = a2 (b2 − e2 ) = a2 b − 2 (a2 + b2 − c2 ) , 2 4a 2 ⇒ 16T 2 = 4a2 b2 − (a2 + b2 − c2 ) = h[2ab + (a2 + bi2 h− c2 )] [2ab − (a 2 2 2 i + b − c )] 2 2 = (a + b) − c2 c2 − (a − b) = (a + b + c) (a + b − c) (c + a − b) (c − a + b) = P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c).3) đã được chứng minh. Chúng ta thường quen thuộc với công thức Heron ở dạng sau q SABC = p(p − a)(p − b)(p − c). Ta có thể chứng minh công thức trên bằng cách chia cả hai vế của (1.3) cho 16 sau đó lấy căn bậc hai của hai vế và lưu ý P = 2p. (Định lý hàm số cos trong tam giác) a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
sin A sin B sin C Định lý 1. (Công thức Brahmagupta) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) với AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.