Luận án tiến sĩ vật lý: Nghiên cứu mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian chín chiều

Luận án tiến sĩ vật lý khám phá mở rộng đơn cực Dirac và Yang trong không gian chín chiều, ứng dụng lý thuyết trường lượng tử hiện đại.

• Tác giả: Nguyễn Thành Sơn
• Người hướng dẫn: PGS. Trần Văn Hoàng
• Trường học: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM
• Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
• Đề tài: Mở rộng đơn cực Dirac và Yang trong không gian 9 chiều
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Luận án tiến sĩ vật lý

Luận án tiến sĩ vật lý này tập trung vào việc mở rộng đơn cực Dirac và Yang-Mills trong không gian 9 chiều. Nghiên cứu này nhằm khám phá các tính chất và ứng dụng của đơn cực từ trong các không gian nhiều chiều, đặc biệt là không gian 9 chiều. Luận án sử dụng các phương pháp vật lý lý thuyết để phân tích và mở rộng các lý thuyết hiện có về đơn cực Dirac và Yang-Mills. Mục tiêu chính là xây dựng một mô hình toán học chính xác để mô tả đơn cực từ trong không gian 9 chiều, đồng thời tìm hiểu các ứng dụng thực tiễn của nó trong nghiên cứu vật lý.

1.1. Đơn cực Dirac

Đơn cực Dirac là một khái niệm quan trọng trong vật lý lý thuyết, được Paul Dirac đề xuất năm 1931. Nó giải thích sự lượng tử hóa của điện tích và từ tích. Trong luận án, đơn cực Dirac được mở rộng từ không gian 3 chiều lên không gian 9 chiều. Các tính chất cơ bản của đơn cực Dirac như thông lượng từ và đối xứng cầu được nghiên cứu kỹ lưỡng. Việc mở rộng này dựa trên các phép biến đổi toán học như phép biến đổi Hurwitz và phép biến đổi Levi-Civita, giúp kết nối bài toán dao động tử điều hòa với bài toán nguyên tử hydro trong không gian nhiều chiều.

1.2. Yang Mills

Yang-Mills là một lý thuyết trường gauge quan trọng trong vật lý lý thuyết, được sử dụng để mô tả các tương tác cơ bản trong tự nhiên. Trong luận án, Yang-Mills được áp dụng để mở rộng đơn cực Dirac trong không gian 9 chiều. Các tính chất của đơn cực Yang như thông lượng trường và đối xứng cầu được nghiên cứu chi tiết. Luận án cũng đề xuất một mô hình tương tác giữa trường gauge SU(2) và hạt có iso spin, giúp mở rộng đơn cực Yang từ không gian 5 chiều lên không gian 9 chiều.

II. Không gian 9 chiều

Không gian 9 chiều là một môi trường toán học phức tạp được sử dụng để mở rộng các lý thuyết về đơn cực Dirac và Yang-Mills. Trong luận án, không gian 9 chiều được nghiên cứu thông qua các phép biến đổi toán học như phép biến đổi Hurwitz mở rộng. Các tính chất của không gian 9 chiều như đối xứng và thông lượng trường được phân tích kỹ lưỡng. Luận án cũng đề xuất một mô hình tương tác giữa bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều, giúp làm xuất hiện đơn cực SO(8) trong không gian 9 chiều.

2.1. Phép biến đổi Hurwitz

Phép biến đổi Hurwitz là một công cụ toán học quan trọng được sử dụng để kết nối các bài toán vật lý trong không gian nhiều chiều. Trong luận án, phép biến đổi Hurwitz mở rộng được sử dụng để kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều với bài toán nguyên tử hydro 9 chiều. Các biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz được đưa ra để xây dựng mối liên hệ giữa các bài toán này. Kết quả là đơn cực SO(8) được tìm thấy trong không gian 9 chiều, đây là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang.

2.2. Đơn cực SO 8

Đơn cực SO(8) là một dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang trong không gian 9 chiều. Trong luận án, đơn cực SO(8) được xây dựng thông qua phép biến đổi Hurwitz mở rộng. Các tính chất của đơn cực SO(8) như thông lượng trường và đối xứng cầu được nghiên cứu chi tiết. Luận án cũng đề xuất một mô hình tương tác giữa đơn cực SO(8) và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều, giúp làm xuất hiện bài toán MICZ-Kepler 9 chiều.

III. Ứng dụng và kết quả

Luận án đã đạt được nhiều kết quả quan trọng trong việc mở rộng đơn cực Dirac và Yang-Mills trong không gian 9 chiều. Các kết quả này bao gồm việc xây dựng đơn cực SO(8) và bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Các ứng dụng thực tiễn của nghiên cứu này bao gồm việc hiểu rõ hơn về tác động của đơn cực từ lên các bài toán vật lý trong không gian nhiều chiều. Luận án cũng đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo, bao gồm việc tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của đơn cực SO(8) và các ứng dụng của nó trong vật lý lý thuyết.

3.1. MICZ Kepler 9 chiều

MICZ-Kepler 9 chiều là một bài toán quan trọng được xây dựng từ đơn cực SO(8) trong không gian 9 chiều. Trong luận án, bài toán MICZ-Kepler 9 chiều được nghiên cứu thông qua các phương pháp giải tích. Các tính chất đối xứng của bài toán này được phân tích kỹ lưỡng. Luận án cũng tìm ra hàm sóng và năng lượng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều, giúp hiểu rõ hơn về tác động của đơn cực từ lên bài toán nguyên tử hydro 9 chiều.

3.2. Hướng phát triển

Luận án đề xuất các hướng phát triển tiếp theo, bao gồm việc nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của đơn cực SO(8) và các ứng dụng của nó trong vật lý lý thuyết. Các hướng nghiên cứu tiếp theo cũng bao gồm việc tìm hiểu các bài toán tương tự trong các không gian có số chiều cao hơn, giúp mở rộng các lý thuyết hiện có về đơn cực từ và Yang-Mills.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Đơn cực từ và phép biến đổi Hurwitz 1. Tổng quan về đơn cực từ Kiến thức thông thường về điện từ học cho chúng ta biết một nam châm bao giờ cũng có một cực bắc và một cực nam, điện tích sinh ra điện trường còn từ trường là do điện tích chuyển động sinh ra. Tuy nhiên nếu xét trên phương diện đối ngẫu điện từ thì tại sao lại không tồn tại các hạt từ tích là nguồn của từ trường tương ứng với điện tích là nguồn của điện trường và tại sao lại chỉ tồn tại những hạt điện tích hoặc dương hoặc âm mà không tồn tại những hạt từ tích hoặc bắc hoặc nam? Câu hỏi này đã được đưa ra từ rất lâu bởi Petrus Peregrinus Maricourt vào năm 1269 trong công trình “The Epistola de Magnete” [106]. Vì vậy, có thể xem Maricourt là người đầu tiên đưa ra ý tưởng về đơn cực từ.1: Mô phỏng hai cực của nam châm bị tách ra thành hai đơn cực từ Trải qua sự phát triển của điện từ học cổ điển, Maxwell đã thống nhất và mô tả trường điện từ bằng hệ phương trình nổi tiếng: E  e  0 , B  0, B  1 E  (1.1)  E   ,   B  0  J e  , dt   0 t  10 trong đó, E , B là cường độ điện trường và cảm ứng từ, đây là hai đại lượng đặc trưng cho điện trường và từ trường.

 ,  là hằng số điện môi và độ từ thẩm phụ thuộc vào môi trường.  0 , 0 là hằng số điện và hằng số từ. e , J e là mật độ điện tích và mật độ dòng điện tích. Các phương trình trên thể hiện nguồn gốc và tính chất của trường điện từ.

Hai phương trình bên trái cho chúng ta biết rằng điện trường tĩnh (có đường sức hở) do điện tích gây ra, còn điện trường xoáy (có đường sức kín) do sự biến thiên của từ trường gây ra. Hai phương trình bên phải cho ta biết từ trường luôn xoáy (có đường sức là đường cong kín), từ trường được sinh ra do các điện tích chuyển động (dòng điện dẫn) và do sự biến thiên của điện trường (dòng điện dịch). Dựa trên ý nghĩa vật lý cũng như hình thức các phương trình trên ta thấy mặc dù điện trường và từ trường thống nhất với nhau trong trường điện từ và có vai trò như nhau nhưng ở đây ta thấy có sự bất cân xứng giữa điện và từ. Để giải quyết vấn đề này, Pierre Curie là người đã đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của đơn cực từ trong tự nhiên thông qua công trình [105] vào năm 1894.

Với giả thuyết này, điện và từ sẽ có tính đối ngẫu và hệ phương trình Maxwell được điều chỉnh lại cho thấy sự đối xứng giữa điện và từ: E  e  0 , B  0  m , B  E  (1. dt  t  Ở hệ phương trình này, m , J m là mật độ từ tích và mật độ dòng từ tích. Giả thuyết của Pierre Curie chỉ dừng lại ở mức ý tưởng cho đến năm 1931, trong khi khảo sát tính chất thừa số pha của hàm sóng, Dirac chứng minh rằng cần thiết phải có nguồn sinh ra từ trường tồn tại độc lập, để thông lượng từ gửi qua một mặt kín là khác không. Ngoài ra, nguồn của từ trường gọi là từ tích hoặc đơn cực từ, cũng bị lượng tử hóa đồng thời với điện tích.

Các đơn cực từ có từ tích luôn bằng 11 c một số nguyên lần từ tích nguyên tố g = ng 0 , ở đây g 0 = là từ tích nguyên tố và 2e n là số nguyên, bằng hằng số Planck chia 2 và c là vận tốc ánh sáng. Công trình của Dirac là một công trình rất quan trọng thúc đẩy các nhà vật lý nghiên cứu đơn cực từ trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Hiện nay, về mặt lý thuyết, nhiều loại đơn cực từ đã được nghiên cứu. Tên của đơn cực được gọi theo tên các tác giả nghiên cứu, trong đó phải kể đến những đơn cực sau:  Đơn cực từ Dirac: Được Paul Dirac tìm ra năm 1931 trong công trình [25].

Công trình này đã giải thích được sự lượng tử hóa điện tích và từ tích. Với khái niệm từ tích của Dirac, hệ phương trình mô tả trường điện từ của Maxwell đã thể hiện được tính đối ngẫu giữa điện và từ. Thế đơn cực Dirac có kì dị dây Dirac.  Đơn cực Wu-Yang: là lời giải đầu tiên của phương trình Yang-Mills [96] được Tai Tsun Wu và Chen Ning Yang tìm ra năm 1969.

Thế đơn cực Wu- Yang có kỳ dị tại vị trí đặt đơn cực và độ lớn của nó tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ vị trí đang xét đến đơn cực. Sau đó, vào năm 1984, Akihiro Itô đã mở rộng đơn cực này cho nhóm đối xứng O (n  1) theo mô hình  [35].  Đơn cực ‘t Hooft-Polyakov: Đơn cực tương tự như đơn cực Dirac nhưng khác biệt là không có kỳ dị dây Dirac, được Alexander Polyakov [82] và Gerard ‘t Hooft [91] tìm ra độc lập nhau vào năm 1974. Xét ở xa vị trí đặt đơn cực, đơn cực ‘t Hooft-Polyakov chuyển thành dạng của đơn cực Dirac.

 Đơn cực BPS: Đơn cực được Eugène Bogomol’nyi, Manoj Prasad và Charles Sommerfield độc lập nghiên cứu công bố vào các năm 1975, 1976 [16, 83]. Hạt mang cả điện tích và từ tích, gọi là lưỡng tích (charged-dyon). Đơn cực BPS có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển lý thuyết siêu hấp dẫn và lý thuyết dây. 12  Đơn cực Yang: dựa trên các tính chất của đơn cực Dirac, Chen Ning Yang đã mở rộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5 chiều vào năm 1978.

Thế đơn cực Yang có nhóm đối xứng SU(2). Bộ thế đơn cực Yang có cùng dạng và tính chất với đơn cực Dirac. Đây là dạng thế đơn cực mở rộng trực tiếp của đơn cực Dirac trong không gian 5 chiều.  Đơn cực trong không gian chín chiều: Được đề xuất đầu tiên bởi Grossmann năm 1984, là lời giải cho phương trình Yang-Mills trong trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf [28].

Năm 2003, khi nghiên cứu hiệu ứng Hall lượng tử trong không gian cầu 8 chiều, nhóm nghiên cứu của Zhang đã dẫn ra đơn cực trong không gian chín chiều với đại số SO(8) [11]. Tuy nhiên, các công trình trên chưa đưa ra dạng tường minh của bộ thế đơn cực. Với giả thiết về sự tồn tại của đơn cực từ trong lý thuyết, rất nhiều vấn đề trong vật lý hiện đại được giải thích một cách hợp lý. Từ tích được cho là nguồn sinh ra từ trường, xuất hiện trong nhiều lý thuyết vật lý quan trọng như: lý thuyết thống nhất lớn [98], lý thuyết hấp dẫn lượng tử [33], lý thuyết siêu đối xứng [97], lý thuyết siêu dây [42, 98] và cả trong vũ trụ học [27].

Dạng thức động lực của trường đơn cực từ còn được sử dụng trong vật lý hệ ngưng tụ [31, 58]. Đây cũng là lĩnh vực mở ra nhiều triển vọng về khả năng tìm thấy đơn cực từ trong tự nhiên. Về mặt thực nghiệm, việc tìm kiếm và nghiên cứu những bằng chứng thật sự về sự tồn tại của đơn cực từ đã trở thành một vấn đề thời sự. Từ sau công trình của Dirac xuất bản năm 1931 cho đến nay, việc tìm kiếm đơn cực từ đã trở nên rất sôi động.

Giới khoa học tìm kiếm các bằng chứng trong tự nhiên cho sự tồn tại của đơn cực từ cũng như xây dựng các phòng thí nghiệm hiện đại để tìm kiếm trực tiếp đơn cực từ ở tất cả các vùng năng lượng mới [26, 53]. Hiện tại, các máy gia tốc hiện đại nhất tại các trung tâm nghiên cứu lớn trên thế giới (như CERN, RHIC) [19, 22, 77, 78, 92] đang thực hiện nhiều thí nghiệm để tìm kiếm đơn cực từ. CERN bố trí hẳn một khu vực riêng thuộc LHC nhằm phát hiện đơn cực từ thông qua các va chạm của các hạt được gia tốc đến năng lượng lớn, cỡ 8 TeV (trong tương lai có thể đạt mức 13 14 TeV) [19]. Bên cạnh đó, nhiều nhóm nghiên cứu khác tìm kiếm đơn cực từ thông qua phân tích các bức xạ vũ trụ [9, 21].2: Thí nghiệm LHCb với máy dò MOEDAL tại máy gia tốc CERN LHC [92] Hình 1.3: Mặt cắt máy dò đơn cực tại RHIC [22] Từ năm 2009, nhiều thí nghiệm với độ chính xác cao nhằm tìm kiếm đơn cực từ đã được tiến hành và cho kết quả khả quan.

Nhiều công trình liên quan đến việc quan sát được chuẩn đơn cực từ (magnetic monopole quasiparticle) trong tinh thể băng spin đã được công bố trên các tạp chí uy tín bậc nhất của thế giới như Nature, Science [31, 57, 58]. Công trình thực nghiệm do Morris và các cộng sự đăng trên tạp chí Science năm 2009 cho biết tinh thể một chiều dyprosyum titanate được làm lạnh đến nhiệt độ trong khoảng từ 0,6 đến 2 Kelvin, quan sát bằng tán xạ nơtron hành xử 14 như một chuẩn đơn cực từ [58]. Năm 2010 nhóm nghiên cứu Hans-Benjamin Braun đã công bố ảnh chụp các dây Dirac trong băng spin trên tạp chí Nature Physics [57]. Năm 2011, cũng trên tạp chí Nature Physics, nhóm của Giblin thực hiện thí nghiệm cùng đối tượng với nhóm của Morris nhưng ở nhiệt độ thấp hơn (0,35 Kelvin) cũng cho kết quả tương tự [31].

Gần đây nhất vào tháng 01 năm 2014, nhóm nghiên cứu của David Hall tại Massachusetts đã công bố quan sát được đơn cực từ Dirac trong hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein bằng cả thực nghiệm và mô phỏng [86]. Công trình là một bước đột phá lớn trong việc tìm kiếm đơn cực từ. Tuy nhiên, nhóm tác giả vẫn chưa đo được khối lượng của “hạt từ tích” tìm thấy và chưa thể kết luận hạt được quan sát là đơn cực từ thực thụ. Mặc dù các công trình nghiên cứu trên vẫn chưa tìm thấy đơn cực từ thực thụ, tuy nhiên nó sẽ tạo một niềm tin rất lớn trong việc tìm kiếm đơn cực từ trong tương lai.4: Sự tạo ra và tách các cặp đơn cực và các dây Dirac [57].

Bên trái là hình ảnh thực chụp được. Bên phải là bản đồ từ tích (màu xanh là từ tích nam và màu đỏ là từ tích bắc).5: Mô phỏng đơn cực từ Dirac trong công trình [86]. Đơn cực từ Dirac Năm 1931, trong khi khảo sát tính chất thừa số pha của hàm sóng, Dirac chứng minh rằng, cần thiết phải có nguồn sinh ra từ trường tồn tại độc lập gọi là đơn cực từ, để thông lượng từ gửi qua một mặt kín là khác không.