I. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Nghiên cứu về luận án tiến sĩ toán học liên quan đến tính hầu tuần hoàn, tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của các luồng thủy khí là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng. Các phương pháp như nguyên lý Massera và nguyên lý điểm bất động của Tikhonov đã được áp dụng để chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho các phương trình vi phân. Tuy nhiên, trong các miền không bị chặn, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm bị chặn trở nên khó khăn. Việc sử dụng nguyên lý dạng Massera đã cho thấy rằng nếu một phương trình vi phân có nghiệm bị chặn thì nó có nghiệm tuần hoàn. Các nghiên cứu gần đây đã mở rộng khái niệm này cho các dòng thủy khí, đặc biệt là phương trình Navier-Stokes. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm hầu tuần hoàn đã được chứng minh cho nhiều loại phương trình khác nhau, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề mở cần được giải quyết.
1.1 Mục đích đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án này là nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và các loại nghiệm khác của các phương trình tiến hóa. Đối tượng nghiên cứu bao gồm các phương trình Navier-Stokes và hệ phương trình Boussinesq trong các không gian nội suy như không gian Lorentz và không gian Besov. Phạm vi nghiên cứu sẽ tập trung vào việc phân tích các nghiệm trong miền không bị chặn và trên toàn trục thời gian, nhằm cung cấp những kết quả mới và có giá trị cho lĩnh vực này.
II. Kiến thức chuẩn bị
Để thực hiện nghiên cứu này, cần có kiến thức vững chắc về các khái niệm như nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích và không gian hàm. Các không gian nội suy như không gian Lorentz và không gian Besov đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích tính chất của nghiệm. Các hàm hầu tuần hoàn và hầu tự đồng hình cũng cần được hiểu rõ để áp dụng vào các phương trình vi phân. Việc nghiên cứu các lớp hàm này không chỉ giúp giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như cơ học chất lỏng và truyền nhiệt. Các kết quả từ các nghiên cứu trước đây sẽ là nền tảng cho việc phát triển các phương pháp mới trong luận án này.
2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và nửa nhóm giải tích
Nửa nhóm liên tục mạnh và nửa nhóm giải tích là những khái niệm cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân. Chúng cho phép phân tích sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm trong các không gian khác nhau. Việc áp dụng các nửa nhóm này vào các phương trình Navier-Stokes và Boussinesq sẽ giúp xác định các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính ổn định và sự tồn tại của nghiệm. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng nửa nhóm ổn định mũ có thể chỉ ra tính bị chặn của nghiệm trong không gian Lp, từ đó mở rộng khả năng áp dụng cho các phương trình phức tạp hơn.
III. Sự tồn tại và tính ổn định của một số lớp nghiệm
Nghiên cứu về sự tồn tại và tính ổn định của các lớp nghiệm cho các phương trình tiến hóa là một phần quan trọng trong luận án. Các phương trình như Navier-Stokes và Boussinesq đã được nghiên cứu sâu sắc, với nhiều kết quả quan trọng được công bố. Sự tồn tại của nghiệm hầu tuần hoàn và hầu tự đồng hình đã được chứng minh cho nhiều loại phương trình khác nhau. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các nghiệm tựa hầu tuần hoàn có trọng và hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov vẫn còn là những vấn đề mở. Các phương pháp chứng minh như nguyên lý dạng Massera và nguyên lý điểm bất động sẽ được áp dụng để chỉ ra sự tồn tại và tính ổn định của các nghiệm này.
3.1 Phương trình Navier Stokes
Phương trình Navier-Stokes là một trong những phương trình quan trọng nhất trong cơ học chất lỏng. Nghiên cứu về sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm cho phương trình này đã thu hút sự quan tâm lớn từ các nhà toán học. Các kết quả gần đây đã chỉ ra rằng sự tồn tại của nghiệm hầu tuần hoàn có thể được chứng minh thông qua các đánh giá Lp − Lq và các định lý nội suy. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các nghiệm hầu tự đồng hình và các nghiệm có trọng vẫn còn nhiều thách thức. Các phương pháp mới cần được phát triển để giải quyết những vấn đề này.
