I. Giới thiệu và lý do chọn đề tài
Luận án tiến sĩ Toán học tập trung vào nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian, một lĩnh vực quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Bài toán này xuất phát từ nhu cầu thực tiễn trong các lĩnh vực như công nghệ, địa vật lý, thủy động học, và xử lý ảnh. Phương trình parabolic ngược thời gian thường được sử dụng để xác định các giá trị ban đầu từ dữ kiện cuối cùng, một vấn đề phổ biến trong lý thuyết truyền nhiệt và khoa học vật liệu. Luận án này nhằm mục đích phát triển các phương pháp chỉnh hóa và đánh giá ổn định cho các bài toán này, đặc biệt là trong trường hợp hệ số phụ thuộc thời gian.
1.1. Bài toán ngược thời gian
Bài toán ngược thời gian là một dạng bài toán đặt không chỉnh, nơi mà các dữ kiện ban đầu không được biết trực tiếp mà phải suy ra từ dữ kiện cuối cùng. Điều này dẫn đến sự không ổn định trong nghiệm, đòi hỏi các phương pháp chỉnh hóa để đảm bảo tính ổn định và độ chính xác của nghiệm. Phương trình parabolic ngược thời gian là một ví dụ điển hình, thường xuất hiện trong các bài toán truyền nhiệt và khuếch tán.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận án là phát triển các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian trong các không gian hàm khác nhau, bao gồm L2 và Lp. Ngoài ra, luận án cũng tập trung vào việc chỉnh hóa bài toán bằng các phương pháp như bài toán giá trị biên không địa phương và sơ đồ sai phân tiến ổn định.
II. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp toán học tiên tiến như phương pháp lồi logarithm, phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương, và phương pháp làm nhuyễn do Đinh Nho Hào đề xuất. Các phương pháp này được áp dụng để đạt được các đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian.
2.1. Phương pháp lồi logarithm
Phương pháp lồi logarithm là một công cụ mạnh để đạt được các đánh giá ổn định trong các bài toán đặt không chỉnh. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các hàm lồi để kiểm soát sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ kiện ban đầu, đảm bảo tính ổn định của nghiệm.
2.2. Phương pháp bài toán giá trị biên không địa phương
Phương pháp này được sử dụng để chỉnh hóa các bài toán đặt không chỉnh bằng cách thay thế các điều kiện biên cổ điển bằng các điều kiện biên không địa phương. Điều này giúp cải thiện tính ổn định của nghiệm và giảm thiểu sai số trong quá trình tính toán.
III. Kết quả và ứng dụng
Luận án đã đạt được các kết quả quan trọng trong việc đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như truyền nhiệt, xử lý ảnh, và đồng hóa số liệu.
3.1. Đánh giá ổn định
Luận án đã chứng minh được các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian trong các không gian hàm L2 và Lp. Các đánh giá này giúp xác định mức độ ổn định của nghiệm và cung cấp cơ sở cho việc phát triển các phương pháp số hiệu quả.
3.2. Ứng dụng thực tiễn
Các kết quả của luận án có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực thực tiễn, bao gồm truyền nhiệt, nơi mà việc xác định nhiệt độ trong quá khứ từ dữ kiện hiện tại là cần thiết, và xử lý ảnh, nơi mà các bài toán ngược thời gian được sử dụng để khôi phục ảnh từ dữ liệu bị nhiễu.
