I. Giới thiệu về Lý thuyết Nevanlinna
Lý thuyết Nevanlinna, được phát triển từ đầu thế kỷ XX, là một trong những thành tựu quan trọng trong Toán học. Lý thuyết này chủ yếu nghiên cứu về phân bố giá trị của các hàm phân hình, với hai định lý cơ bản: Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai. Những định lý này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, như hệ động lực phức và phương trình vi phân phức. Đặc biệt, nghiên cứu về vấn đề duy nhất cho hàm phân hình đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này đã mở ra nhiều hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo.
1.1. Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai
Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai trong lý thuyết Nevanlinna cung cấp các công cụ mạnh mẽ để phân tích các hàm phân hình. Định lý cơ bản thứ nhất liên quan đến mối quan hệ giữa hàm đặc trưng Nevanlinna và hàm đếm, trong khi định lý cơ bản thứ hai mở rộng các kết quả này cho các trường hợp phức tạp hơn. Những định lý này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn trong Toán học hiện đại.
II. Nghiên cứu về hình vành khuyên
Hình vành khuyên là một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết Nevanlinna. Nghiên cứu về các hàm phân hình trên hình vành khuyên đã dẫn đến nhiều kết quả mới và thú vị. Các định lý cơ bản cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên đã được phát triển, mở rộng các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học, như lý thuyết động lực học và lý thuyết hàm phức.
2.1. Các định lý cơ bản cho đường cong chỉnh hình
Các định lý cơ bản cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên đã được chứng minh và phát triển. Những định lý này cung cấp các điều kiện cần thiết để xác định mối quan hệ giữa các hàm phân hình và các siêu mặt trong không gian xạ ảnh. Kết quả này không chỉ mở rộng lý thuyết Nevanlinna mà còn tạo ra các ứng dụng mới trong nghiên cứu về các hàm phân hình và ánh xạ chỉnh hình.
III. Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình
Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình là một trong những chủ đề nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết Nevanlinna. Các kết quả nghiên cứu đã chỉ ra rằng hai hàm phân hình có thể được xác định duy nhất bởi ảnh ngược của một số điểm phân biệt. Điều này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc xác định các hàm phân hình trong không gian xạ ảnh. Nghiên cứu về vấn đề duy nhất đã dẫn đến nhiều kết quả mới và mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực này.
3.1. Giả thuyết Bru ck
Giả thuyết Brück là một trong những vấn đề mở trong lý thuyết Nevanlinna. Nghiên cứu về giả thuyết này đã dẫn đến nhiều kết quả quan trọng, đặc biệt là trong trường hợp các hàm nguyên và hàm phân hình. Các kết quả này không chỉ mở rộng lý thuyết Nevanlinna mà còn tạo ra các ứng dụng mới trong nghiên cứu về các hàm phân hình và ánh xạ chỉnh hình.
