I. Luận án tiến sĩ Toán học
Luận án tiến sĩ Toán học của Phạm Bích Như tập trung vào nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p, một chủ đề quan trọng trong lý thuyết đại số và tôpô đại số. Luận án được thực hiện tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của PGS. Phan Hoàng Chơn và PGS. Nguyễn Sum. Nghiên cứu này nhằm mục đích khám phá các tính chất và ứng dụng của đồng cấu Lannes-Zarati trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đối đồng điều và nhóm đồng luân ổn định.
1.1. Nghiên cứu đồng cấu Lannes Zarati
Đồng cấu Lannes-Zarati modulo p là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod. Luận án tập trung vào việc phân tích các tính chất của đồng cấu này, đặc biệt là trong trường hợp p lẻ. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng đồng cấu Lannes-Zarati có mối liên hệ mật thiết với ánh xạ Hurewicz, một công cụ quan trọng trong việc mô tả nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu.
1.2. Phương pháp nghiên cứu toán học
Luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu toán học hiện đại, bao gồm đại số Lambda và đại số Dyer-Lashof, để phân tích cấu trúc của đồng cấu Lannes-Zarati. Các phương pháp này giúp tối ưu hóa việc tính toán và đưa ra các kết quả chính xác về tính chất đồng cấu và ảnh của đồng cấu trong các trường hợp cụ thể.
II. Lý thuyết số và đồng cấu trong đại số
Luận án cung cấp một cái nhìn sâu sắc về lý thuyết số và đồng cấu trong đại số, đặc biệt là trong việc áp dụng các công cụ này để nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng đồng cấu Lannes-Zarati có thể được biểu diễn thông qua phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum, một công cụ mạnh mẽ trong việc tính toán đối đồng điều của đại số Steenrod.
2.1. Cấu trúc đại số và đồng cấu
Luận án phân tích cấu trúc đại số của đồng cấu Lannes-Zarati thông qua việc sử dụng đại số Lambda và đại số Dyer-Lashof. Các kết quả cho thấy rằng đồng cấu Lannes-Zarati có thể được biểu diễn dưới dạng các toán tử tác động lên phức dây chuyền, giúp đơn giản hóa việc tính toán và phân tích các tính chất của đồng cấu.
2.2. Ứng dụng trong lý thuyết số
Luận án cũng đề cập đến các ứng dụng của đồng cấu Lannes-Zarati trong lý thuyết số, đặc biệt là trong việc nghiên cứu các hệ thống số và tính chất đồng cấu trong các trường hợp cụ thể. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng đồng cấu Lannes-Zarati có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến nhóm đồng luân ổn định và ánh xạ Hurewicz.
III. Kết quả và ứng dụng thực tiễn
Luận án đã đạt được nhiều kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p, đặc biệt là trong trường hợp p lẻ. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đối đồng điều và nhóm đồng luân ổn định.
3.1. Giá trị lý thuyết
Luận án đã chứng minh rằng đồng cấu Lannes-Zarati là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng đồng cấu Lannes-Zarati có thể được sử dụng để mô tả ảnh của ánh xạ Hurewicz, một vấn đề quan trọng trong lý thuyết đồng luân.
3.2. Ứng dụng thực tiễn
Các kết quả nghiên cứu của luận án có nhiều ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến nhóm đồng luân ổn định và ánh xạ Hurewicz. Các phương pháp và công cụ được phát triển trong luận án có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học máy tính.
