Luận Án Tiến Sĩ Toán Học: Nghiên Cứu Đa Tạp Bất Biến Ứng Dụng Trong Phương Trình Vi Phân

Luận án tiến sĩ toán học nghiên cứu đa tạp bất biến chấp nhận được cho các lớp phương trình vi phân, ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực.

• Tác giả: Đinh Xuân Khánh
• Người hướng dẫn: Nguyễn Thiệu Huy
• Trường học: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Đa Tạp Bất Biến Chấp Nhận Được Đối Với Một Số Lớp Phương Trình Vi Phân
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Luận án tiến sĩ Toán học

Luận án tiến sĩ Toán học của Đinh Xuân Khánh tập trung vào nghiên cứu đa tạp bất biến trong các phương trình vi phân. Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Thiệu Huy và TS. Phan Xuân Thành. Mục tiêu chính của luận án là khám phá sự tồn tại và tính chất của đa tạp bất biến chấp nhận được trong các lớp phương trình vi phân cụ thể, từ đó ứng dụng vào các mô hình thực tế như mô hình Fisher-Kolmogorov và Hutchinson.

1.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung vào các phương trình vi phân đạo hàm riêng và đa tạp bất biến chấp nhận được trong các phương trình này. Cụ thể, nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến ổn định và không ổn định, cũng như tính hút của các đa tạp này. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ và không có trễ, với ứng dụng trong các mô hình sinh thái và kỹ thuật.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các phương pháp toán học hiện đại như lý thuyết nửa nhóm giải tích, lý thuyết đặt chỉnh, và lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được. Các phương pháp này giúp xây dựng và phân tích nghiệm của các phương trình tiến hóa, đồng thời chứng minh sự tồn tại và tính chất của đa tạp bất biến.

II. Đa tạp bất biến và phương trình vi phân

Đa tạp bất biến là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa tạp và phương trình vi phân. Trong luận án, đa tạp bất biến chấp nhận được được nghiên cứu trong các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có và không có trễ. Các kết quả chính bao gồm sự tồn tại của đa tạp bất biến không ổn định và tính hút của chúng, cũng như ứng dụng vào các mô hình thực tế.

2.1. Sự tồn tại đa tạp bất biến

Luận án chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được trong các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. Điều kiện chính cho sự tồn tại này là tính nhị phân mũ của phần tuyến tính và tính ϕ-Lipschitz của phần phi tuyến. Các kết quả này được áp dụng để nghiên cứu tính chất tiệm cận của nghiệm trong các mô hình thực tế.

2.2. Ứng dụng trong mô hình Fisher Kolmogorov

Luận án áp dụng các kết quả về đa tạp bất biến vào mô hình Fisher-Kolmogorov, một mô hình quan trọng trong sinh thái học. Các kết quả cho thấy sự tồn tại của đa tạp bất biến không ổn định và tính hút của chúng, giúp hiểu rõ hơn về sự tiến hóa của các quần thể sinh vật trong môi trường.

III. Phương trình vi phân có trễ và đa tạp bất biến

Luận án mở rộng nghiên cứu về đa tạp bất biến trong các phương trình vi phân có trễ. Các kết quả chính bao gồm sự tồn tại của đa tạp bất biến không ổn định và tính hút của chúng trong các phương trình này. Các kết quả này được áp dụng vào mô hình Hutchinson, một mô hình quan trọng trong sinh thái học.

3.1. Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ

Luận án nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được trong các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ. Các kết quả cho thấy rằng, với điều kiện nhị phân mũ và tính ϕ-Lipschitz, đa tạp bất biến không ổn định tồn tại và có tính hút.

3.2. Ứng dụng vào mô hình Hutchinson

Luận án áp dụng các kết quả về đa tạp bất biến vào mô hình Hutchinson, một mô hình mô tả sự phát triển của quần thể sinh vật với sự trễ trong tương tác. Các kết quả cho thấy sự tồn tại của đa tạp bất biến ổn định địa phương và tính chất tiệm cận của nghiệm trong mô hình này.

IV. Ý nghĩa và ứng dụng của luận án

Luận án có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển lý thuyết đa tạp bất biến và ứng dụng vào các phương trình vi phân trong thực tế. Các kết quả của luận án giúp hiểu rõ hơn về tính chất tiệm cận của nghiệm trong các mô hình sinh thái và kỹ thuật, đồng thời mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học ứng dụng.

4.1. Ý nghĩa lý thuyết

Luận án đóng góp vào việc phát triển lý thuyết đa tạp bất biến và phương trình vi phân bằng cách chứng minh sự tồn tại và tính chất của đa tạp bất biến chấp nhận được trong các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. Các kết quả này mở rộng hiểu biết về cấu trúc hình học của nghiệm và tính chất tiệm cận của chúng.

4.2. Ứng dụng thực tiễn

Luận án áp dụng các kết quả lý thuyết vào các mô hình thực tế như Fisher-Kolmogorov và Hutchinson. Các kết quả này giúp dự đoán và đánh giá quy mô, tính chất của các hệ thống sinh thái và kỹ thuật trong tương lai, dựa trên các điều kiện ban đầu và quá khứ.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở sử dụng trong các chương tiếp theo. Trước tiên là khái niệm về không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thắng IR. Tiếp theo là khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nó. Sau đó là khái niệm về họ tiến hóa, nhị phân mũ của họ tiến hoá (xem [19, 20, 21]).

e Chương 2: Nhằm nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định thuộc £-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du bi p= Ault) + flt,w) voi te R (3) u(0) = uo € X, trong đó, toán tử tuyến tính A(t) có thể không bị chặn sinh ra họ tiến hóa (U(f, s));>„ trên không gian Banach X, toán tử phi tuyến ƒ lấy giá trị trong không gian Banach và thỏa mãn điều kiện y-Lipschitz. Sau khi đưa ra điều kiện tồn tại đa tạp bất biến không ổn định của phương 8 trình (3), chúng tôi trình bày kết quả chính của chương này về tính hút của đa tạp không ổn định và ứng dụng lý thuyết này cho mô hình Fisher-Kolmogorov. Chương 3: Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của chương 2, chứng minh sự tồn tại đa tạp bất biến không ổn định thuộc £-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ, tính hút của đa tạp và ứng dụng vào mô hình thực tế. Cụ thể, chúng tôi xét phương trình có dạng: “ = A(t)u(t) + f(t,u) voit eR 0 u(0) =u EC, trong d6 A(t) 1a toan tii tuyén tinh (c6 thé khong bi chin) trén không gian Banach X, C := C({—r,0],X) lA không gian Banach với chuẩn tương ứng là ||ø||e = suÐạ«4-„ø¡ ||@(0)|| với ó € Œ, hàm ƒ :lR x £ —> X là toán tử phi tuyến liên tục thỏa mãn điều kiện ¿-Lipschitz, và u; 1A hàm lịch sử xác định bởi u;(Ø) := u( + 9) với Ø € [—r, 0].

Chương 4: Chúng tôi xét phương trình vi phân hàm có trễ “= A(i)u(t) + f(t.) voi te Ry 5) u(0) = tạ C C, trong đó phần tuyén tinh A(t) duoc xdc định như trong chương 2 và chương 3; phần phi tuyến ƒ : R, x C -> X liên tục y-Lipschitz dia phương; œ¿ là hàm lịch sử xác định bởi u, = u(t + 0) với Ø € [—r, 0]. Với phương trình (5), chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm, và với họ tiến hóa có nhị phân mũ chúng tôi chứng minh sự tồn tại đa tạp bất biến ổn định địa phương thuộc £-lớp, kiểm tra kết quả với mô hình Hutchinson. Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các bài [1] được 9 đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCT), bài [2] đăng trên tạp chí quốc tế và bài báo [3| đã gửi. 10 CHUONG 1 KHONG GIAN HAM, NUA NHOM VA HO TIEN HOA Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng IR.

(hoặc toàn bộ đường thang R) (xem [19]), tính nhị phân mũ của họ tiến hoá. Để tiện cho việc trình bày, trong chương này chúng tôi ký hiệu Ï thay cho R, R¿.1 Không gian hàm 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian hàm chấp nhận được (xem [19]). Một không gian vector F¡ gồm các hàm thực đo được Borel trên I được gọi là không gian hàm Banach trén (I, B, A), trong dé B là đại số Borel va À là độ đo Lebesgue trên II, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (1) E¡ là dàn Banach với chuẩn||- ||z,, tức là, (Hï, ||-||z,) là không gian Banach va néu y € Fy, ý là hàm thực đo được Borel sao cho |(-)| < |¿(-)|,À-hầu khắp nơi thì ý € Fy và ||ú||z, < lle|lz:: (2) Hàm đặc trưng xu € Eị với mọi A € B có do do hữu hạn và SUIP/e[ Xteeryll ey < 00; infjey lxị.¿-|lz; > 0; 11 (3) E¡ — Li„¿(D, tức là với mọi đoạn compact J CI tén tai 87 > 0 sao cho J |fOl\dt < Ba\lf ll với mọi f € Ex. Không gian ham Banach F1 được gọi là chấp nhận được nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: (i) Tén tai hang s6 M > 1 sao cho moi [a,b] C I va moi y € Ej ta c6 a) |l¿( at < / Tale đìị llyllz:: (1) E¡ là bất biến với toán tử Ai, trong đó Ai¿(Œ) = ƒ ¿(r)dr.

(1ñ) Eị là 7 bất biến với mọi 7 € ÏL, trong đó Nếu I—R¿ thì @(t—7) với†,t—r>0 0 với > 0 và f—7r <0 Tilt) = Néu I = R thì T* y(t) = y(t—7T) véit,r eR (iv) Ey la T> bat bién véi moi 7 € I, trong dé T, v(t) = y(t +7) véi moit EL. Hon nifa ton tai Ni, No > 0 sao cho ||T*||z < Mì, ||Tp lle < ÁN: với mọi Tel. Không gian L,(I), 1 < p < œ, và không gian t+1 M=M(l):= ¢ f € Litec(l) sap [i )Jdr < œ (1.1) tel 12 t+1 với chuẩn ||ƒ|lw := sup ƒ |ƒ(7)|dr là các không gian ham Banach chấp nhận tel 4 được. Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như là không gian Lorentz L„„, l <ø < œ, l1 < g< œ cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được.

Nêu Eq là không gian hàm Banach chấp nhận được thì F => M(I). Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được. Cho Ex la không gian hàm Banach chap nhén duoc. Ta có các khẳng định sau: (a) Cho @ € L1 ¡e¿(T) sao cho @ > 0 0à Aio€ Bị.

Với mọi o > 0 ta xác định Ng va Mp nhu sau: trong đó tạ = 0 néul = Rt va ty = —co néul=R. t Khi do, Ny, My € Ey. Va ta cé daénh giá No l-—e? M aT elle, Acelle S IAz#lÌs: S 7 lAalls (1-2) trong đó A7 va Ny, No duoc rác định trong Định nghĩa 1. Hơn nữa, nếu @ € MÍ(I (điều này được thoả mãn nếu @ € Eị (xem Chú y 1.4)) thi Mp va Alp bi chan va ta cing cé: No l—e? Ni aT glo, lAzelx < IA„e|l« < i |Arglloc (13) 13 (b) Ei chứa các hàm giảm cấp mũ e~°! uới mmợi t € I va hang s6 a > 0 cố định.

(c) En không chứa các hàm tăng cấp mi eb! uới mọi t € 1 va hang 86 b > 0 cố định. Tiếp theo chúng ta định nghĩa không gian liên kết của không gian hàm Banach như sau. Cho Ey 1A khong gian hàm Banach chấp nhận được và ký hiệu S(£;) la hinh cau don vi trong Ey. Néu L, = {g: 11g la do duge và fice < 00} I thì định nghĩa tập Ey tất cả các hàm nhận giá trị thực đo được j trén I sao cho evel, | |e(M°()ldt<k với mọi ý € SE) tel trong đó k chỉ phụ thuộc vào.

Khi đó, E7 là không gian định chuẩn với chuẩn được cho bởi (xem [12, Chương. te Ching ta goi Ey la khong gian liên kết của, Bì. Cho Ey la khong gian ham Banach chap nhan dugc va E; khong gian liên kết của nó. Khi đó, từ [12, Chương.] ta có Bất đẳng thức Holder: [ieutolae < llllzill0llz; với mọi ¿ € Bì, we Bị.

Gia stt Ey la không gian hàm Banach chấp nhận được sao cho không gian liên kết E7 của nó cũng là không gian hàm Banach chấp nhận 14 được. Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng E7 chứa hàm F]-bát biến mũ, nghĩa là với hàm ¿ > 0 và > 0 cố định hàm h„ được xác định bởi h(t) :=|le"" ele với£eT (1.2 Bất đẳng thức nón Định nghĩa 1. Một tập đóng K trong không gian Banach W/ được gọi 1A non nếu thỏa mãn các điều kiện sau: () z€K thì Àz €K với mọi À > 0, (H) z1, € K thì zi + z2 € K, (ii) +z € K thì z =0. Cho nón K trong không gian Banach W/.

Với +, € W ta xác định quan hệ z < nếu — z € K. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phan trén W. Cho non K trong không gian Banach W sao cho K la bat biến uới toán tử A € £(W), A có bán kính phổra < 1. Giả sử +z,z€ W thoả mãn # < Az-+-z.

Khi đó, tồn tại € W là nghiệm của phương trình = Au + z 0à thoả mãn x < y.2 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh (xem [14, I5]). Cho không gian Banach X, họ (T());>o C £(X) gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu: (Œ) 7Œ+s)=7)7@), Vt,s > 0, (ii) T(0) = I todn tir dong nhat, (iii) jim. Toán tử A: D(4) C X — X xác định bởi. Ll At := jim, 7 Ene — #) trên miền xác định D(4) = ( Ex: tim, x(T(h)z — +) tồn tại } gọi là toán ›—>0 tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(£));>o trên không gian Banach X.

Cho (A, 2(4)) là toán tử đóng trong không gian Banach X. Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là p(A) = {A € C| (AI — A) la song anh}. Khi đó R(A, A) := (AT — A) },À€ p(4) là giải thức của A, ơ(4) := C\ ø(4) gọi là tập phổ của A. Khi đó, ta có các tính chất sau: CO (i) NéuX€EC sao cho R(A)x := f eT (t)ads ton tai, Vx € X, thi 0 A € p(A) va R(A, A) = RA).

ii) ||R(A, A)|| < -A VA: Rev > w. Red\-w +00 Chti ¥ rang, cong thtte R(A, A)x = f e-*T(s)ads goi là biểu diễn tích 0 phân của giải thức. Tích phân ở đây là tích phân Riemamn suy rộng +00 t [< Y T6) = lim | e **7(s)zds.2 Tính ổn định và nhị phân mũ Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân mũ của nửa nhóm đó (xem [14, 15]). Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều: 17 Định nghĩa 1.

Nửa nhóm liên tục mạnh (7());¿>o với toán tử sinh (A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại e > 0 sao cho lim e“||T(t)|| = 0. too Tiếp theo là khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm.