I. Mở đầu
Luận án tiến sĩ 'Tính duy nhất và hữu hạn của họ hàm phân hình trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức' được thực hiện nhằm mở rộng các kết quả của Nevanlinna về tính duy nhất và tính hữu hạn của hàm phân hình. Đề tài này có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực hình học phức và lý thuyết phân bố giá trị. Nghiên cứu này không chỉ làm phong phú thêm kiến thức hiện có mà còn mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo. Đặc biệt, việc nghiên cứu các hàm phân hình trên hình vành khuyên có thể giúp giải quyết nhiều bài toán trong toán học hiện đại.
II. Tổng quan
Chương này tóm tắt các kết quả của các tác giả trước về vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Các định lý nổi bật như Định lý bốn điểm và năm điểm của Nevanlinna đã được mở rộng và phát triển. Nghiên cứu này chỉ ra rằng việc áp dụng lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên hình vành khuyên vẫn còn nhiều hạn chế. Do đó, việc nghiên cứu các hàm phân hình trên hình vành khuyên là cần thiết để làm rõ hơn các vấn đề này.
III. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ
Chương này trình bày các kết quả về hai hàm phân hình trên hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ. Các định nghĩa và ký hiệu được đưa ra để thuận tiện cho việc trình bày. Kết quả cho thấy rằng nếu hai hàm phân hình có chung ảnh ngược không kể bội của ít nhất năm hàm nhỏ, thì chúng phải trùng nhau. Điều này mở rộng các kết quả trước đó và cung cấp một cái nhìn sâu sắc hơn về tính duy nhất của hàm phân hình.
IV. Vấn đề hữu hạn của họ hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị
Chương này tập trung vào vấn đề hữu hạn của các hàm phân hình trên hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị. Kết quả cho thấy rằng có nhiều nhất hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược không kể bội của bốn giá trị. Điều này không chỉ khẳng định tính hữu hạn mà còn mở rộng các định lý trước đó của Nevanlinna cho trường hợp này.
V. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số cặp giá trị
Chương này nghiên cứu hai hàm phân hình trên hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số cặp giá trị. Kết quả cho thấy rằng nếu hai hàm phân hình có chung ảnh ngược không kể bội của một số cặp giá trị, thì chúng có thể liên kết với nhau bởi một phép biến đổi Möbius. Điều này mở rộng các kết quả trước đó và cung cấp một cái nhìn mới về mối quan hệ giữa các hàm phân hình.
VI. Kết luận và kiến nghị
Luận án đã đạt được những kết quả quan trọng về tính duy nhất và tính hữu hạn của các hàm phân hình trên hình vành khuyên. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo để mở rộng hơn nữa các kết quả đã đạt được.
